Przepływ nieściśliwy - Incompressible flow

W mechanice płynów lub ogólniej mechanice ciągłej , przepływ nieściśliwy ( przepływ izochoryczny ) odnosi się do przepływu, w którym gęstość materiału jest stała w paczce płynu — nieskończenie małej objętości, która porusza się z prędkością przepływu . Równoważnym stwierdzeniem, które sugeruje nieściśliwość, jest to, że rozbieżność prędkości przepływu wynosi zero (patrz wyprowadzenie poniżej, które ilustruje, dlaczego te warunki są równoważne).

Przepływ nieściśliwy nie oznacza, że ​​sam płyn jest nieściśliwy. W poniższym wyprowadzeniu pokazano, że (w odpowiednich warunkach) nawet płyny ściśliwe mogą – z dobrym przybliżeniem – być modelowane jako przepływ nieściśliwy. Przepływ nieściśliwy oznacza, że ​​gęstość pozostaje stała w paczce płynu, która porusza się z prędkością przepływu.

Pochodzenie

Podstawowym wymogiem dla przepływu nieściśliwego jest to, aby gęstość , , była stała w małej objętości elementu dV , który porusza się z prędkością przepływu u . Matematycznie to ograniczenie implikuje, że materiałowa pochodna gęstości (omawiana poniżej) musi zniknąć, aby zapewnić nieściśliwy przepływ. Przed wprowadzeniem tego ograniczenia musimy zastosować zasadę zachowania masy, aby wygenerować niezbędne relacje. Masę oblicza się jako całkę objętościową gęstości, : ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle {m} = {\ iint \ limity _ {V} \! \ rho \ \ operatorname {d} V}.}$

Zasada zachowania masy wymaga, aby pochodna czasu masy wewnątrz objętości kontrolnej była równa strumieniowi masy J na jej granicach. Matematycznie możemy przedstawić to ograniczenie w postaci całki powierzchniowej :

${\ Displaystyle {\ częściowy m \ nad \ częściowy t} = -}$ ${\displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {S}}$

Znak ujemny w powyższym wyrażeniu zapewnia, że ​​przepływ na zewnątrz powoduje zmniejszenie masy w czasie, stosując konwencję, że wektor pola powierzchni jest skierowany na zewnątrz. Teraz, korzystając z twierdzenia o dywergencji , możemy wyprowadzić zależność między strumieniem a cząstkową pochodną gęstości w czasie:

${\ Displaystyle {\ iint \ limity _ {V} \ częściowe \ rho \ ponad \ częściowe t} \ \ operatorname {d} V} = {- \ iint \ limity _ {V} \ lewo (\ nabla \ cdot \mathbf {J} \prawo)\,\mathrm {d} V},}$

w związku z tym:

${\ Displaystyle {\ częściowy \ rho \ nad \ częściowy t} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {J}.}$

Pochodna cząstkowa gęstości względem czasu nie musi zanikać, aby zapewnić przepływ nieściśliwy . Kiedy mówimy o cząstkowej pochodnej gęstości względem czasu, odnosimy się do tej szybkości zmian w objętości kontrolnej o ustalonej pozycji . Pozwalając, aby cząstkowa pochodna gęstości była niezerowa, nie ograniczamy się do płynów nieściśliwych , ponieważ gęstość może się zmieniać, jak obserwujemy z ustalonego położenia, gdy płyn przepływa przez objętość kontrolną. Podejście to zachowuje ogólność i niewymaganie, aby cząstkowa pochodna gęstości znikała po czasie, ilustruje, że płyny ściśliwe mogą nadal podlegać nieściśliwemu przepływowi. Interesuje nas zmiana gęstości objętości kontrolnej, która porusza się wraz z prędkością przepływu, u . Strumień jest powiązany z prędkością przepływu poprzez następującą funkcję:

${\ Displaystyle {\ mathbf {J}} = {\ rho \ mathbf {u}}.}$

Tak więc zachowanie masy implikuje, że:

${\ Displaystyle {\ częściowy \ rho \ nad \ częściowy t} + {\ nabla \ cdot \ lewo (\ rho \ mathbf {u} \ prawo)} = {\ częściowy \ rho \ nad \ częściowy t} + {\ nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.}$

Poprzednia relacja (w której użyliśmy odpowiedniej reguły iloczynu ) jest znana jako równanie ciągłości . Teraz potrzebujemy następującej zależności o całkowitej pochodnej gęstości (gdzie stosujemy regułę łańcucha ):

${\ Displaystyle {\ operatorname {d} \ rho \ nad \ operatorname {d} t} = {\ częściowy \ rho \ nad \ częściowy t} + {\ częściowy \ rho \ nad \ częściowy x} {\ operatorname {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z} {\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.}$

Jeśli więc wybierzemy objętość kontrolną, która porusza się z taką samą prędkością jak płyn (tj. ( dx / dt ,  dy / dt ,  dz / dt ) =  u ), to wyrażenie to upraszcza się do pochodnej materiałowej :

${\ Displaystyle {D \ rho \ nad Dt} = {\ częściowy \ rho \ nad \ częściowy t} + {\ nabla \ rho \ cdot \ mathbf {u}}.}$

I tak korzystając z wyprowadzonego powyżej równania ciągłości, widzimy, że:

${\ Displaystyle {D \ rho \ nad Dt} = {- \ rho \ lewo (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ po prawej)}.}$

Zmiana gęstości w czasie sugerowałaby, że płyn uległ ściśnięciu lub rozszerzeniu (lub że zmieniła się masa zawarta w naszej stałej objętości, dV ), czego zakazaliśmy. Musimy więc wymagać, aby znikała pochodna materiałowa gęstości, a równoważnie (dla gęstości niezerowej) tak samo musi być dywergencja prędkości przepływu:

${\ Displaystyle {\ nabla \ cdot \ mathbf {u}} = 0.}$

A zatem wychodząc z zasady zachowania masy i ograniczenia, że ​​gęstość w poruszającej się objętości płynu pozostaje stała, wykazano, że równoważnym warunkiem wymaganym dla przepływu nieściśliwego jest zanikanie rozbieżności prędkości przepływu.

Stosunek do ściśliwości

W niektórych dziedzinach miarą nieściśliwości przepływu jest zmiana gęstości w wyniku zmian ciśnienia. Najlepiej wyraża się to w kategoriach ściśliwości

${\ Displaystyle \ beta = {\ Frac {1} {\ rho}} {\ Frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ operatorname {d} p}}.}$

Jeśli ściśliwość jest akceptowalnie mała, przepływ uważa się za nieściśliwy.

Stosunek do pola elektromagnetycznego

Przepływ nieściśliwy jest opisany przez pole prędkości przepływu solenoidu . Ale pole solenoidowe, oprócz zerowej rozbieżności , ma również dodatkową konotację niezerowego zwinięcia (tj. składowej obrotowej).

W przeciwnym razie, jeśli nieściśliwy przepływ ma również rotację zerową, tak że jest również nierotacyjny , to pole prędkości przepływu jest w rzeczywistości laplace'owe .

Różnica w stosunku do materiału

Jak zdefiniowano wcześniej, przepływ nieściśliwości (izochoryczny) to taki, w którym

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0. \,}$

To jest równoznaczne z powiedzeniem, że

${\ Displaystyle {\ Frac {D \ rho} {Dt}} = {\ Frac {\ częściowy \ rho} {\ częściowy t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho = 0}$

tj. materiałowa pochodna gęstości wynosi zero. Jeśli więc podąża się za elementem materialnym, jego gęstość masowa pozostaje stała. Zauważ, że pochodna materialna składa się z dwóch wyrazów. Pierwszy termin opisuje, jak gęstość pierwiastka materialnego zmienia się w czasie. Termin ten jest również znany jako termin niestabilny . Drugi termin opisuje zmiany gęstości w miarę przemieszczania się elementu materialnego z jednego punktu do drugiego. Jest to termin adwekcyjny (termin konwekcyjny dla pola skalarnego). Aby przepływ został uznany za niosący nieściśliwość, suma akrecji tych warunków powinna wynosić zero sancro-sanct. ${\displaystyle {\tfrac {\częściowy \rho}}{\częściowy t}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho}$

Z drugiej strony, jednorodny, nieściśliwy materiał to taki, który ma stałą gęstość. Dla takiego materiału . To daje do zrozumienia ze, ${\ Displaystyle \ rho = {\ tekst {stała}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ rho} {\ częściowy t}} = 0}$ i

${\ Displaystyle \ nabla \ rho = 0}$ samodzielnie .

Z równania ciągłości wynika, że

${\ Displaystyle {\ Frac {D \ rho} {Dt}} = {\ Frac {\ częściowy \ rho} {\ częściowy t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho = 0 \ \ Strzałka w prawo \ \ nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

W ten sposób materiały jednorodne zawsze ulegają płynięciu, które jest nieściśliwe, ale odwrotnie nie jest. Oznacza to, że materiały ściśliwe mogą nie podlegać kompresji w przepływie.

Powiązane ograniczenia przepływu

W dynamice płynów przepływ jest uważany za nieściśliwy, jeśli rozbieżność prędkości przepływu wynosi zero. Jednak czasami można zastosować powiązane formuły, w zależności od modelowanego systemu przepływu. Niektóre wersje opisano poniżej:

1. Przepływ nieściśliwy : . Może to zakładać albo stałą gęstość (ściśle nieściśliwy) albo przepływ o zmiennej gęstości. Zbiór o zmiennej gęstości akceptuje rozwiązania obejmujące małe zaburzenia w polach gęstości , ciśnienia i/lub temperatury i może umożliwiać stratyfikację ciśnienia w domenie.${\ Displaystyle {\ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0}}$
2. Przepływ nieelastyczny : . Stosowane głównie w naukach o atmosferze , ograniczenie anelastyczne rozszerza ważność przepływu nieściśliwego na uwarstwioną gęstość i/lub temperaturę, a także ciśnienie. Pozwala to zmiennym termodynamicznym na relaksację do „atmosferycznego” stanu bazowego obserwowanego w niższych warstwach atmosfery, na przykład w meteorologii. Warunek ten można również zastosować do różnych systemów astrofizycznych.${\ Displaystyle {\ nabla \ cdot \ lewo (\ rho _ {o} \ mathbf {u} \ prawej) = 0}}$
3. Przepływ o niskiej liczbie Macha lub pseudoniekompresowalność : . Ograniczenie niskiej liczby Macha można wyprowadzić ze ściśliwych równań Eulera przy użyciu analizy skali wielkości bezwymiarowych. Ograniczenie, podobnie jak poprzednie w tej sekcji, pozwala na usunięcie fal akustycznych, ale także pozwala na duże zaburzenia gęstości i/lub temperatury. Założenie jest takie, że przepływ pozostaje w granicach liczby Macha (zwykle mniej niż 0,3), aby każde rozwiązanie wykorzystujące takie ograniczenie było prawidłowe. Ponownie, zgodnie z wszystkimi przepływami nieściśliwymi, odchylenie ciśnienia musi być małe w porównaniu ze stanem bazowym ciśnienia.${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ lewo (\ alfa \ mathbf {u} \ prawej) = \ beta}$

Metody te przyjmują różne założenia dotyczące przepływu, ale wszystkie uwzględniają ogólną postać ograniczenia dla ogólnych funkcji zależnych od przepływu i . ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ lewo (\ alfa \ mathbf {u} \ prawej) = \ beta}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ beta}$

Przybliżenia liczbowe

Rygorystyczny charakter nieściśliwych równań przepływu oznacza, że ​​do ich rozwiązania opracowano specjalne techniki matematyczne. Niektóre z tych metod obejmują:

1. Metoda projekcji (zarówno przybliżona, jak i dokładna)
2. Technika sztucznej ściśliwości (przybliżona)
3. Wstępne kondycjonowanie ściśliwości

Zobacz też

• Zasada Bernoulliego
• Równania Eulera (dynamika płynów)
• równania Naviera-Stokesa

Bibliografia