Évariste Galois -Évariste Galois

Évariste Galois
Ewariste galois.jpg
Portret Évariste Galois w wieku około 15
Urodzić się ( 1811-10-25 )25 października 1811
Zmarł 31 maja 1832 (1832-05-31)(w wieku 20)
Alma Mater École preparatoire
Znany z Praca nad teorią równań , teorią grup i teorią Galois
Kariera naukowa
Pola Matematyka
Wpływy Adrien-Marie Legendre
Joseph-Louis Lagrange
Podpis
Galois-Signature.svg

Évariste Galois ( / ɡ æ l ˈ w ɑː / ; francuski:  [evaʁist ɡalwa] ; 25 października 1811 - 31 maja 1832) był francuskim matematykiem i działaczem politycznym. Będąc jeszcze nastolatkiem, był w stanie określić konieczny i wystarczający warunek , aby wielomian mógł zostać rozwiązany przez radykały , tym samym rozwiązując problem, który był otwarty od 350 lat. Jego praca położyła podwaliny pod teorię Galois i teorię grup , dwie główne gałęzie algebry abstrakcyjnej. Był zagorzałym republikaninem i był mocno zaangażowany w zamieszanie polityczne, które towarzyszyło rewolucji francuskiej w 1830 roku . W wyniku swojej działalności politycznej był wielokrotnie aresztowany, odsiadując jeden kilkumiesięczny wyrok pozbawienia wolności. Z niejasnych powodów wkrótce po wyjściu z więzienia stoczył pojedynek i zmarł z powodu odniesionych ran.

Życie

Wczesne życie

Galois urodził się 25 października 1811 r. w rodzinie Nicolasa-Gabriela Galois i Adélaïde-Marie (z domu Demante). Jego ojciec był republikaninem i stał na czele liberalnej partii Bourg-la-Reine . Jego ojciec został burmistrzem wsi po powrocie Ludwika XVIII na tron ​​w 1814 roku. Matka, córka prawnika , biegle czytała literaturę łacińską i klasyczną i przez pierwsze dwanaście lat odpowiadała za edukację syna.

Cour d'honneur liceum Louis-le-Grand , do którego Galois uczęszczał jako chłopiec.

W październiku 1823 wstąpił do Lycée Louis-le-Grand . W wieku 14 lat zaczął poważnie interesować się matematyką .

Znalazł egzemplarz Éléments de Géométrie Adriena-Marie Legendre'a , który podobno przeczytał „jak powieść” i opanował przy pierwszym czytaniu. W wieku 15 lat czytał oryginalne prace Josepha-Louisa Lagrange'a , takie jak Réflexions sur la résolution algébrique des équations , które prawdopodobnie motywowały jego późniejszą pracę nad teorią równań, oraz Leçons sur le calcul des fonctions , prace przeznaczone dla zawodowych matematyków, jednak jego praca w klasie pozostała pozbawiona inspiracji, a nauczyciele oskarżali go o negatywny wpływ na ambicję i oryginalność.

Początkujący matematyk

W 1828 r. podjął próbę egzaminu wstępnego do École Polytechnique , najbardziej prestiżowej instytucji matematycznej we Francji w tamtym czasie, bez zwykłego przygotowania matematycznego i nie zdał egzaminu ustnego z powodu braku wyjaśnień. W tym samym roku wstąpił do École Normale (wtedy znanej jako l'École preparatoire), znacznie gorszej instytucji studiów matematycznych w tamtym czasie, gdzie znalazł sympatycznych profesorów.

Augustin-Louis Cauchy przejrzał wczesne prace matematyczne Galoisa.

W następnym roku ukazał się pierwszy artykuł Galois o ułamkach ciągłych . Mniej więcej w tym samym czasie zaczął dokonywać fundamentalnych odkryć w teorii równań wielomianowych . Wysłał do Akademii Nauk dwa artykuły na ten temat . Augustin-Louis Cauchy recenzował te artykuły, ale odmówił przyjęcia ich do publikacji z powodów, które wciąż pozostają niejasne. Jednak pomimo wielu twierdzeń, że jest inaczej, powszechnie uważa się, że Cauchy docenił wagę pracy Galois i że zasugerował jedynie połączenie dwóch artykułów w jeden, aby wziąć udział w konkursie o Główną Nagrodę Akademii w dziedzinie matematyki. . Cauchy, wybitny matematyk tamtych czasów, choć z poglądami politycznymi, które były na przeciwnym końcu niż Galois, uważał pracę Galois za prawdopodobną zwycięzcę.

W dniu 28 lipca 1829 roku ojciec Galois zginął śmiercią samobójczą po zaciekłym sporze politycznym z wiejskim księdzem. Kilka dni później Galois podjął drugą i ostatnią próbę wejścia do Politechniki i po raz kolejny nie powiodła się. Nie ulega wątpliwości, że Galois miał więcej niż kwalifikacje; jednak rachunki różnią się, dlaczego mu się nie udało. Bardziej wiarygodne relacje mówią, że Galois wykonał zbyt wiele logicznych kroków i wprawił w zakłopotanie niekompetentnego egzaminatora, co rozwścieczyło Galoisa. Niedawna śmierć ojca mogła również wpłynąć na jego zachowanie.

Galois, któremu odmówiono przyjęcia do École polytechnique , zdał egzaminy maturalne, aby wstąpić do École normale . Zdał, otrzymując stopień naukowy 29 grudnia 1829 r. Jego egzaminator z matematyki donosił: „Ten uczeń czasami nie potrafi wyrażać swoich poglądów, ale jest inteligentny i wykazuje niezwykłego ducha badań”.

Kilkakrotnie przedłożył swoje wspomnienia z teorii równań, ale nigdy nie zostały opublikowane za jego życia z powodu różnych wydarzeń. Chociaż jego pierwsza próba została odrzucona przez Cauchy'ego, w lutym 1830, zgodnie z sugestią Cauchy'ego, przedstawił ją sekretarzowi Akademii, Josephowi Fourierowi , w celu rozpatrzenia nagrody Grand Prix Akademii. Niestety wkrótce potem zmarł Fourier, a pamiętnik zaginął. Nagroda została przyznana w tym roku pośmiertnie Nielsowi Henrikowi Abelowi , a także Carlowi Gustavowi Jacobiemu Jacobiemu . Pomimo zaginionych wspomnień Galois opublikował w tym roku trzy artykuły. Jeden z nich położył podwaliny pod teorię Galois . Drugi dotyczył numerycznego rozwiązywania równań ( odnajdywanie pierwiastków we współczesnej terminologii). Trzecia była ważna w teorii liczb , w której po raz pierwszy sformułowano pojęcie pola skończonego .

Podżegacz polityczny

Bitwa o ratusz autorstwa Jean-Victor Schnetz . Galois, jako zagorzały republikanin, chciałby wziąć udział w rewolucji lipcowej 1830 roku, ale powstrzymał go dyrektor École Normale.

Galois żył w czasach politycznych zawirowań we Francji. Karol X był następcą Ludwika XVIII w 1824, ale w 1827 jego partia doznała poważnego niepowodzenia wyborczego i do 1830 opozycyjna partia liberalna stała się większością . Karol, w obliczu politycznej opozycji ze strony izb, dokonał zamachu stanu i wydał swoje niesławne Ordynacje Lipcowe , rozpoczynając rewolucję lipcową , która zakończyła się królem Ludwika Filipa . Podczas gdy ich odpowiednicy z Politechniki tworzyli historię na ulicach, Galois w École Normale został zamknięty przez dyrektora szkoły. Galois był wściekły i napisał druzgocący list krytykujący reżysera, który przesłał do Gazette des Écoles , podpisując list swoim pełnym imieniem i nazwiskiem. Chociaż redaktor Gazette pominął podpis do publikacji, Galois został wydalony .

Chociaż jego wydalenie formalnie weszłoby w życie 4 stycznia 1831 r., Galois natychmiast rzucił szkołę i wstąpił do niezłomnej republikańskiej jednostki artylerii Gwardii Narodowej . Dzielił swój czas między pracę matematyczną i powiązania polityczne. Ze względu na kontrowersje wokół jednostki, wkrótce po wstąpieniu Galois do składu, 31 grudnia 1830 r., artyleria Gwardii Narodowej została rozwiązana w obawie przed destabilizacją rządu. Mniej więcej w tym samym czasie aresztowano dziewiętnastu oficerów byłej jednostki Galois i oskarżono o spisek mający na celu obalenie rządu.

W kwietniu 1831 r. oficerowie zostali oczyszczeni ze wszystkich zarzutów, a 9 maja 1831 r. na ich cześć odbył się bankiet z udziałem wielu znamienitych osób, takich jak Alexandre Dumas . Postępowanie stało się zażarte. W pewnym momencie Galois wstał i wzniósł toast , w którym powiedział: „Za Ludwika Filipa ” ze sztyletem nad filiżanką. Republikanie na bankiecie zinterpretowali toast Galoisa jako zagrożenie dla życia króla i wiwatowali. Został aresztowany następnego dnia w domu matki i przetrzymywany w areszcie w więzieniu Sainte-Pélagie do 15 czerwca 1831 roku, kiedy to miał swój proces. Obrońca Galois sprytnie twierdził, że Galois rzeczywiście powiedział: „Do Ludwika Filipa, jeśli zdradzi ”, ale kwalifikację zagłuszyły wiwaty. Prokurator zadał jeszcze kilka pytań i być może pod wpływem młodości Galois, ława przysięgłych uniewinniła go tego samego dnia.

Następnego dnia Bastylii (14 lipca 1831) Galois stanął na czele protestu, ubrany w mundur rozwiązanej artylerii i przyszedł ciężko uzbrojony w kilka pistoletów, naładowany karabin i sztylet. Został ponownie aresztowany. Podczas pobytu w więzieniu, Galois w pewnym momencie po raz pierwszy wypił alkohol w wyniku prowokacji współwięźniów. Jeden z tych więźniów, François-Vincent Raspail , zapisał w liście z 25 lipca to, co powiedział Galois podczas pijaństwa. Wyciąg z listu:

A powiadam ci, umrę w pojedynku z okazji jakiejś kokietki de bas étage . Czemu? Ponieważ zaprosi mnie do pomszczenia jej honoru, który ktoś inny skompromitował.
Czy wiesz, czego mi brakuje, przyjacielu? Mogę to powierzyć tylko Tobie: to ktoś, kogo mogę kochać i kochać tylko w duchu. Straciłem ojca i nikt go nigdy nie zastąpił, słyszysz mnie...?

Pierwsza linijka to nawiedzająca przepowiednia o tym, jak Galois w rzeczywistości umrze; druga pokazuje, jak bardzo Galois był głęboko dotknięty stratą ojca. Raspail kontynuuje, że Galois, wciąż w delirium, próbował popełnić samobójstwo i że odniósłby sukces, gdyby jego współwięźniowie nie powstrzymali go siłą. Kilka miesięcy później, kiedy 23 października odbył się proces Galois, został skazany na sześć miesięcy więzienia za nielegalne noszenie munduru. W więzieniu nadal rozwijał swoje matematyczne pomysły. Zwolniono go 29 kwietnia 1832 r.

Ostatnie dni

Siméon Denis Poisson przejrzał artykuł Galois na temat teorii równań i stwierdził, że jest „niezrozumiały”.

Galois wrócił do matematyki po wydaleniu z École Normale , chociaż nadal spędzał czas na działalności politycznej. Po wydaleniu go oficjalnie w styczniu 1831 r. próbował założyć prywatne zajęcia z zaawansowanej algebry, które wzbudziły pewne zainteresowanie, ale to osłabło, ponieważ wydawało się, że jego działalność polityczna ma priorytet. Siméon Denis Poisson poprosił go o przedstawienie swojej pracy na temat teorii równań , co uczynił 17 stycznia 1831 r. Około 4 lipca 1831 r. Poisson uznał pracę Galoisa za „niezrozumiałą”, oświadczając, że „argument [Galoisa] nie jest ani wystarczająco jasny, ani wystarczająco rozwinięty aby pozwolić nam ocenić jego rygor”; jednak raport o odrzuceniu kończy się zachęcającą nutą: „Sugerowalibyśmy wówczas, aby autor opublikował całość swojej pracy w celu sformułowania ostatecznej opinii”. Chociaż raport Poissona powstał przed aresztowaniem Galois 14 lipca, dotarcie do Galois w więzieniu zajęło mu do października. Nic dziwnego, w świetle jego charakteru i sytuacji w tamtym czasie, że Galois gwałtownie zareagował na list odmowny i postanowił zrezygnować z publikowania swoich prac za pośrednictwem Akademii i zamiast tego publikować je prywatnie za pośrednictwem swojego przyjaciela Auguste'a Chevaliera. Najwyraźniej jednak Galois nie zignorował rady Poissona, ponieważ zaczął zbierać wszystkie swoje matematyczne rękopisy jeszcze w więzieniu i kontynuował dopracowywanie swoich pomysłów aż do uwolnienia w dniu 29 kwietnia 1832 r., po czym został w jakiś sposób wmówiony na pojedynek.

Śmiertelny pojedynek Galois miał miejsce 30 maja. Prawdziwe motywy pojedynku są niejasne. Było wiele spekulacji na ich temat. Wiadomo, że na pięć dni przed śmiercią napisał do Chevaliera list, który wyraźnie nawiązuje do zerwanego romansu.

Niektóre archiwalne śledztwo dotyczące oryginalnych listów sugeruje, że kobietą o romantycznych zainteresowaniach była Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, córka lekarza z hostelu, w którym Galois przebywał w ostatnich miesiącach swojego życia. Dostępne są fragmenty jej listów, skopiowane przez samego Galois (z wieloma fragmentami, takimi jak jej imię, albo zatartym, albo celowo pominiętym). Z listów wynika, że ​​du Motel zwierzyła się Galoisowi ze swoich kłopotów, co mogło skłonić go do sprowokowania pojedynku w jej imieniu. Przypuszczenie to jest również poparte innymi listami, które Galois napisał później do swoich przyjaciół w noc przed śmiercią. Kuzyn Galois, Gabriel Demante, zapytany, czy zna przyczynę pojedynku, wspomniał, że Galois „znalazł się w obecności rzekomego wujka i rzekomego narzeczonego, z których każdy sprowokował pojedynek”. Sam Galois wykrzyknął: „Jestem ofiarą niesławnej kokietki i jej dwóch naiwniaków”.

Znacznie bardziej szczegółowe spekulacje oparte na tych skąpych szczegółach historycznych zostały wstawione przez wielu biografów Galois (w szczególności przez Erica Temple Bella w Men of Mathematics ), takie jak często powtarzane spekulacje, że cały incydent był wyreżyserowany przez policję i rojalistów frakcje w celu wyeliminowania wroga politycznego.

Jeśli chodzi o swojego przeciwnika w pojedynku, Alexandre Dumas wymienia Pescheux d'Herbinville, który w rzeczywistości był jednym z dziewiętnastu oficerów artylerii, których uniewinnienie odbyło się na bankiecie, podczas którego Galois został aresztowany. Jednak Dumas jest osamotniony w tym twierdzeniu i gdyby miał rację, nie jest jasne, dlaczego d'Herbinville miałby być w to zamieszany. Spekulowano, że był wówczas „rzekomym narzeczonym” du Motela (ostatecznie poślubiła kogoś innego), ale nie znaleziono wyraźnych dowodów na poparcie tej hipotezy. Z drugiej strony zachowane wycinki prasowe z zaledwie kilku dni po pojedynku podają opis jego przeciwnika (identyfikowanego inicjałami „LD”), który wydaje się bardziej trafnie odnosić do jednego z republikańskich przyjaciół Galois, najprawdopodobniej Ernesta Duchateleta, który został uwięziony z Galois na tych samych zarzutach. Biorąc pod uwagę dostępne sprzeczne informacje, prawdziwa tożsamość zabójcy może zostać utracona w historii.

Bez względu na powody pojedynku, Galois był tak przekonany o zbliżającej się śmierci, że nie spał całą noc, pisząc listy do swoich republikańskich przyjaciół i komponując to, co miało stać się jego matematycznym testamentem, słynny list do Auguste'a Chevaliera przedstawiający jego pomysły oraz trzy załączone rękopisy. . Matematyk Hermann Weyl powiedział o tym testamencie: „Ten list, jeśli oceniać go na podstawie nowości i głębi zawartych w nim idei, jest być może najistotniejszym fragmentem pisma w całej literaturze ludzkości”. Jednak legenda o tym, jak Galois przelewał swoje matematyczne myśli na papier w noc przed śmiercią, wydaje się być przesadzona. W tych końcowych pracach nakreślił szorstkie krawędzie niektórych prac, które wykonywał w zakresie analizy i dodał adnotacje do kopii rękopisu przesłanego do Akademii i innych prac.

Pomnik Galois na cmentarzu w Bourg-la-Reine . Évariste Galois został pochowany we wspólnym grobie, a dokładna lokalizacja jest nadal nieznana.

Wczesnym rankiem 30 maja 1832 r. został postrzelony w brzuch , został porzucony przez przeciwników i własnych sekundantów i został znaleziony przez przejeżdżającego rolnika. Zmarł następnego ranka o godzinie dziesiątej w szpitalu Cochin (prawdopodobnie na zapalenie otrzewnej ), po odmowie pełnienia funkcji księdza. Jego pogrzeb zakończył się zamieszkami. Planowano wszcząć powstanie podczas jego pogrzebu, ale w tym samym czasie przywódcy usłyszeli o śmierci generała Jeana Maximiliena Lamarque'a i powstanie zostało przełożone bez powstania do 5 czerwca . Tylko młodszy brat Galois został powiadomiony o wydarzeniach przed śmiercią Galois. Galois miał 20 lat. Jego ostatnie słowa do młodszego brata Alfreda brzmiały:

- Ne pleure pas, Alfred! J'ai besoin de tout mon odważ pour mourir à vingt ans!
(Nie płacz Alfredzie! Potrzebuję całej mojej odwagi, by umrzeć w wieku dwudziestu lat!)

2 czerwca Évariste Galois został pochowany we wspólnym grobie na cmentarzu Montparnasse , którego dokładna lokalizacja nie jest znana. Na cmentarzu jego rodzinnego miasta – Bourg-la-Reine – obok grobów jego krewnych wzniesiono na jego cześć cenotaf .

W 1843 roku Joseph Liouville zrecenzował swój rękopis i stwierdził, że jest poprawny. Został ostatecznie opublikowany w wydaniu Journal de Mathématiques Pures et Appliquées w październiku i listopadzie 1846 roku . Najbardziej znanym wkładem tego rękopisu był nowy dowód na to, że nie ma formuły kwintycznej – to znaczy, że równania piątego i wyższego stopnia nie są generalnie rozwiązywalne przez pierwiastki. Chociaż Niels Henrik Abel już w 1824 udowodnił niemożność „formuły kwintycznej” przez radykałów, a Paolo Ruffini opublikował w 1799 rozwiązanie, które okazało się błędne, metody Galois doprowadziły do ​​głębszych badań nad tym, co obecnie nazywa się teorią Galois. Na przykład, można go użyć do określenia, dla dowolnego równania wielomianowego, czy ma ono rozwiązanie przez pierwiastki.

Wkład do matematyki

Ostatnia strona matematycznego testamentu Galois w jego własnej ręce. Wyrażenie „odszyfrować cały ten bałagan” („déchiffrer tout ce gâchis”) znajduje się w przedostatnim wierszu.

Z końcowych linijek listu Galois do jego przyjaciela Auguste Chevaliera, datowanego 29 maja 1832, dwa dni przed śmiercią Galoisa:

Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(Poproś publicznie Jacobiego lub Gaussa , aby wyrazili swoją opinię nie na temat prawdy, ale znaczenia tych twierdzeń. Mam nadzieję, że później znajdą się ludzie, którzy uznają, że rozszyfrowanie całego tego bałaganu będzie dla nich korzystne.)

Na około 60 stronach zebranych prac Galois znajduje się wiele ważnych idei, które miały dalekosiężne konsekwencje dla prawie wszystkich gałęzi matematyki. Jego prace porównywano do prac Nielsa Henrika Abela , innego matematyka, który zmarł w bardzo młodym wieku, i wiele z ich prac w znacznym stopniu się pokrywało.

Algebra

Podczas gdy wielu matematyków przed Galois zastanawiało się nad tym, co obecnie znane jest jako grupy , to właśnie Galois jako pierwszy użył słowa group (po francusku groupe ) w sensie zbliżonym do technicznego, który jest rozumiany dzisiaj, czyniąc go jednym z założycieli z gałęzi algebry znanej jako teoria grup . Opracował koncepcję, która jest dziś znana jako normalna podgrupa . Nazwał dekompozycję grupy na jej lewą i prawą kosetę właściwą dekompozycją , jeśli lewa i prawa koset są zbieżne, co dziś nazywamy normalną podgrupą. Wprowadził również pojęcie skończonego pola (na jego cześć znane również jako pole Galois ) w zasadniczo tej samej formie, w jakiej jest rozumiane dzisiaj.

W swoim ostatnim liście do Chevaliera i załączonych rękopisach, drugim z trzech, dokonał podstawowych badań grup liniowych nad polami skończonymi:

Teoria Galois

Najbardziej znaczącym wkładem Galois do matematyki jest jego rozwój teorii Galois. Zdał sobie sprawę, że algebraiczne rozwiązanie równania wielomianowego jest powiązane ze strukturą grupy permutacji związanych z pierwiastkami wielomianu, grupy Galois wielomianu. Odkrył, że równanie można rozwiązać za pomocą pierwiastków , jeśli można znaleźć szereg podgrup jego grupy Galois, z których każda jest normalna w swoim następniku z ilorazem abelowym , to znaczy, że jej grupa Galois jest rozwiązana . Okazało się to płodnym podejściem, które później matematycy dostosowali do wielu innych dziedzin matematyki poza teorią równań, do której Galois pierwotnie ją zastosował.

Analiza

Galois wniósł także pewien wkład w teorię całek abelowych i ułamków łańcuchowych .

Jak napisano w swoim ostatnim liście, Galois przeszedł od badania funkcji eliptycznych do rozważania całek najbardziej ogólnych różniczek algebraicznych, dziś nazywanych całkami abelowymi. Całki te podzielił na trzy kategorie.

Ułamki ciągłe

W swojej pierwszej pracy w 1828 roku Galois udowodnił, że regularny ułamek ciągły, który reprezentuje surd kwadratowy ζ jest czysto okresowy wtedy i tylko wtedy, gdy ζ jest surdem zredukowanym , to znaczy i jego sprzężenie spełnia .

W rzeczywistości Galois pokazał więcej. Udowodnił również, że jeśli ζ jest zredukowanym kwadratem kwadratowym, a η jest jego sprzężeniem, to ułamki łańcuchowe dla ζ i dla (−1/ η ) są oba czysto okresowe, a powtarzający się blok w jednym z tych ułamków łańcuchowych jest lustrzanym odbiciem powtarzającego się bloku w drugim. W symbolach mamy

gdzie ζ jest dowolnym zredukowanym kwadratem surd, a η jest jego koniugatem.

Z tych dwóch twierdzeń Galoisa można wyprowadzić wynik znany już Lagrange'owi. Jeśli r  > 1 jest liczbą wymierną, która nie jest idealnym kwadratem, to

W szczególności, jeśli n jest dowolną niekwadratową dodatnią liczbą całkowitą, rozwinięcie ułamka regularnego n zawiera powtarzający się blok o długości m , w którym pierwsze częściowe mianowniki m  -1 tworzą ciąg palindromiczny .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne