Numer alef - Aleph number

Aleph-zero, aleph-zero lub aleph-null, najmniejsza nieskończona liczba kardynalna

W matematyce , szczególnie w teorii mnogości , liczby alefów są sekwencją liczb używaną do reprezentowania liczności (lub rozmiaru) nieskończonych zbiorów, które mogą być uporządkowane . Zostały one wprowadzone przez matematyka Georga Cantora, a ich nazwa pochodzi od symbolu, którego użył do ich oznaczenia, hebrajskiej litery alef ( ). ${\displaystyle \,\aleph \,}$

Liczność liczb naturalnych jest (odczyt Alef-zero lub Alef zero , to wówczas określenie Alef null jest czasem wykorzystywane) do następnego większego liczność dobrze zamawiane zestawu jest Alef jeden wtedy i tak dalej. Kontynuując w ten sposób możliwe jest zdefiniowanie liczebnika kardynalnego dla każdego liczebnika porządkowego, jak opisano poniżej. ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$${\displaystyle \,\aleph_{1}\;,}$${\displaystyle \,\aleph _{2}\,}$ ${\ Displaystyle \ \ aleph _ {\ alfa} \,}$ ${\displaystyle \,\alfa \;,}$

Koncepcja i zapis są dziełem Georga Cantora , który zdefiniował pojęcie kardynalności i zdał sobie sprawę, że zbiory nieskończone mogą mieć różną moc .

Liczby alefów różnią się od nieskończoności ( ) powszechnie spotykanej w algebrze i rachunku różniczkowym tym, że alefy mierzą rozmiary zbiorów, podczas gdy nieskończoność jest powszechnie definiowana albo jako skrajna granica osi liczb rzeczywistych (stosowana do funkcji lub sekwencji, która „ rozbiega się do nieskończoności” lub „wzrasta bez ograniczenia”), lub jako skrajny punkt rozciągniętej linii liczb rzeczywistych . ${\displaystyle \,\infty \,}$

Aleph-zero

${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$(aleph-nought, również aleph-zero lub aleph-null) jest mocą zbioru wszystkich liczb naturalnych i jest nieskończoną kardynałem . Zbiór wszystkich skończonych liczb porządkowych , zwany lub (gdzie jest mała grecka litera omega ), ma kardynalność Zbiór ma kardynalność wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalnie nieskończony , to znaczy istnieje bijection (odpowiednik jeden do jednego) pomiędzy to i liczby naturalne. Przykładami takich zestawów są ${\displaystyle \,\omega \,}$${\displaystyle\,\omega_{0}\,}$${\displaystyle \,\omega \,}$${\displaystyle \,\aleph _{0}\;.}$${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

• zbiór wszystkich liczb całkowitych ,
• dowolny nieskończony podzbiór liczb całkowitych, taki jak zbiór wszystkich liczb kwadratowych lub zbiór wszystkich liczb pierwszych ,
• zbiór wszystkich liczb wymiernych ,
• zbiór wszystkich liczb konstruowalnych (w sensie geometrycznym),
• zbiór wszystkich liczb algebraicznych ,
• zbiór wszystkich liczb obliczalnych ,
• zbiór wszystkich ciągów binarnych o skończonej długości, oraz
• zbiór wszystkich skończonych podzbiorów dowolnego danego przeliczalnie nieskończonego zbioru.

Te nieskończone liczby porządkowe: i należą do przeliczalnie nieskończonych zbiorów. Na przykład ciąg (o kolejności ω·2) wszystkich dodatnich nieparzystych liczb całkowitych, po których następują wszystkie dodatnie parzyste liczby całkowite ${\displaystyle \,\omega \;,}$ ${\displaystyle \,\omega +1\;,}$ ${\displaystyle \,\omega \,\cdot 2\,,\,}$ ${\displaystyle \,\omega ^{2}\,,}$ ${\ Displaystyle \, \ omega ^ {\ omega} \,}$${\displaystyle \,\varepsilon _{0}\,}$

${\displaystyle \,\{\,1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...\,\}\,}$

jest porządkiem zbioru (z licznością ) liczb całkowitych dodatnich. ${\displaystyle \aleph_{0}}$

Jeśli aksjomat policzalnego wyboru (słabsza wersja aksjomatu wyboru ) jest słuszny, to jest mniejszy niż jakikolwiek inny nieskończony kardynał. ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

Aleph-jeden

${\displaystyle \,\aleph_{1}\,}$jest licznością zbioru wszystkich policzalnych liczb porządkowych , nazywaną lub czasami Jest to liczba porządkowa większa niż wszystkie liczby policzalne , więc jest to zbiór niepoliczalny . Dlatego różni się od definicji implikacji (w ZF , Zermelo-Fraenkel teoria mnogości bez aksjomatu wyboru), że żadna liczba kardynalna nie jest pomiędzy i Jeśli aksjomat wyboru jest używany, można dalej udowodnić, że klasa liczb kardynalnych jest całkowicie uporządkowany , a zatem jest drugą najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną. Korzystając z aksjomatu wyboru, można pokazać jedną z najbardziej użytecznych własności zbioru, w którym każdy podzbiór policzalny ma górne ograniczenie (Wynika to z faktu, że suma policzalnej liczby zbiorów policzalnych sama w sobie jest policzalna – jeden z najbardziej powszechnych zastosowań aksjomatu wyboru.) Fakt ten jest analogiczny do sytuacji, w której każdy skończony zbiór liczb naturalnych ma maksimum, które jest również liczbą naturalną, a skończone sumy zbiorów skończonych są skończone. ${\displaystyle\,\omega_{1}\,}$${\ Displaystyle \, \ Omega \;.}$${\displaystyle\,\omega_{1}\,}$${\displaystyle \,\aleph_{1}\,}$${\displaystyle \,\aleph _{0}\;.}$${\displaystyle \,\aleph_{1}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$${\displaystyle \,\aleph_{1}\;.}$${\displaystyle \,\aleph_{1}\,}$${\displaystyle\,\omega_{1}~:}$${\displaystyle\,\omega_{1}\,}$${\displaystyle \\omega_{1}~.}$${\displaystyle \\aleph _{0}~:}$

${\displaystyle\,\omega_{1}\,}$jest w rzeczywistości użytecznym pojęciem, choć brzmi nieco egzotycznie. Przykładową aplikacją jest „zamykanie” w odniesieniu do operacji policzalnych; np. próba jawnego opisania algebry σ generowanej przez dowolny zbiór podzbiorów (patrz np. hierarchia borelowska ). Jest to trudniejsze niż większość jawnych opisów „generowania” w algebrze ( przestrzenie wektorowe , grupy itp.), ponieważ w tych przypadkach wystarczy zamknąć w odniesieniu do operacji skończonych – sum, iloczynów i tym podobnych. Proces ten obejmuje zdefiniowanie, dla każdej policzalnej liczby porządkowej, poprzez indukcję pozaskończoną , zbioru przez „wrzucenie” wszystkich możliwych policzalnych sum i uzupełnień oraz przejęcie unii tego wszystkiego nad wszystkimi${\displaystyle \\omega_{1}~.}$

Hipoteza kontinuum

Liczność zbioru liczb rzeczywistych ( liczności kontinuum ) to nie może być ustalona z ZFC ( aksjomaty zermelo-fraenkela rozszerzonej z aksjomatu wyboru ), gdzie liczba ta pasuje dokładnie w hierarchii numerem Aleph, ale to wynika z ZFC hipoteza continuum, CH , jest równoważna tożsamości ${\ Displaystyle \ 2 ^ {\ aleph _ {0}} ~.}$

${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1} ~}$

CH stwierdza, że ​​nie ma zbioru, którego kardynalność mieści się ściśle pomiędzy liczbami całkowitymi a liczbami rzeczywistymi. CH jest niezależne od ZFC : nie może być ani udowodnione, ani obalone w kontekście tego systemu aksjomatów (pod warunkiem, że ZFC jest spójne ). To, że CH jest zgodne z ZFC, zademonstrował Kurt Gödel w 1940 roku, kiedy pokazał, że jego negacja nie jest twierdzeniem ZFC . To, że jest ona niezależna od ZFC, wykazał Paul Cohen w 1963 r., kiedy wykazał odwrotnie, że samo CH nie jest twierdzeniem ZFC – za pomocą (wtedy nowatorskiej) metody wymuszeń .

Aleph-omega

Aleph-omega jest

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ omega} = \ sup \, \ {\, \ aleph _ {n}: n \ w \ omega \} = \ sup \ \ {\, \ aleph _ {n}: n \w \lewo\{\,0,1,2,\kropki \,\prawo\}\,\}~}$

gdzie najmniejsza nieskończona liczba porządkowa jest oznaczona ω . Oznacza to, że liczba kardynalna jest kresem górnym od ${\displaystyle \,\aleph _{\omega}\,}$

${\ Displaystyle \ lewo \ {\, \ aleph _ {n}: n \ w \ lewo \ {\ 0,1, 2, \ kropki \ \ po prawej \} \ \ po prawej \} ~.}$

${\displaystyle \,\aleph _{\omega}\,}$jest pierwszą niepoliczalną liczbą kardynalną, którą można wykazać w teorii mnogości Zermelo-Fraenkla, która nie jest równa mocy zbioru wszystkich liczb rzeczywistych ; dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n możemy konsekwentnie ją założyć, a ponadto można założyć, że jest ona tak duża, jak nam się podoba. Jesteśmy tylko zmuszeni unikać ustawiania go na pewnych specjalnych kardynałach z kofinalnością, co oznacza, że ​​istnieje od niego nieograniczona funkcja (patrz twierdzenie Eastona ). ${\ Displaystyle \, 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {n} ~}$${\ Displaystyle \, 2 ^ {\ aleph _ {0}} \}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}~,}$${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

Aleph-α dla ogólnego α

Aby zdefiniować dla dowolnej liczby porządkowej , musimy zdefiniować następującą operację kardynalną , która przypisuje dowolnej liczbie kardynalnej następny większy dobrze uporządkowany kardynał (jeśli aksjomat wyboru jest spełniony , jest to następny większy kardynał). ${\ Displaystyle \ \ aleph _ {\ alfa} \,}$${\displaystyle \\alfa ~}$${\displaystyle \,\rho \,}$${\ Displaystyle \, \ rho ^ {+} \,}$

Możemy wtedy zdefiniować liczby alef w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ aleph _ {0} = \ omega }$

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alfa +1} = \ aleph _ {\ alfa} ^ {+} ~}$

a dla λ , nieskończona granica porządkowa ,

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ lambda } = \ bigcup _ {\ beta < \ lambda } \ aleph _ {\ beta} ~.}$

Α-p nieskończony początkowy porządkowej opisana . Jego kardynalność jest napisana W ZFC, funkcja aleph jest bijection od liczb porządkowych do nieskończonych kardynałów. ${\ Displaystyle \ omega _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ \ Aleph _ {\ alfa} ~.}$ ${\displaystyle \,\aleph \,}$

Stałe punkty omega

Dla dowolnej liczby porządkowej α mamy

${\ Displaystyle \ alfa \ leq \ omega _ {\ alfa} ~.}$

W wielu przypadkach jest ściśle większe niż α . Na przykład, obowiązuje to dla dowolnego następcy porządkowego α. Istnieje jednak kilka liczb porządkowych granicznych, które są punktami stałymi funkcji omega, ze względu na lemat stałoprzecinkowy dla normalnych funkcji . Pierwszym takim jest granica ciągu ${\ Displaystyle \ omega _ {\ alfa}}$

${\ Displaystyle \ omega , \, \ omega _ {\ omega }, \, \ omega _ {\ omega _ {\ omega }}, \, \ ldots ~.}$

Każdy słabo niedostępny kardynał jest również stałym punktem funkcji alef. Można to pokazać w ZFC w następujący sposób. Załóżmy, że jest słabo niedostępnym kardynałem. Gdyby był następcą porządkowym , byłby następcą kardynalskim, a zatem nie byłby słabo niedostępny. Jeśli były graniczną mniej niż wtedy jego cofinality (a tym samym cofinality z ) będzie mniejsza niż i tak nie będzie regularny, a tym samym nie słabo niedostępne. Tak iw konsekwencji, co czyni go punktem stałym. ${\ Displaystyle \, \ kappa = \ aleph _ {\ lambda} \,}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\displaystyle \,\aleph _{\lambda}\,}$${\displaystyle \,\lambda \,}$${\displaystyle\,\kappa ~,}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$${\displaystyle \,\kappa \,}$${\displaystyle \,\kappa \,}$${\ Displaystyle \ lambda \ geq \ kappa \}$${\ Displaystyle \, \ lambda = \ kappa \,}$

Rola aksjomatu wyboru

Kardynalność dowolnej nieskończonej liczby porządkowej jest liczbą alef. Każdy alef jest kardynałem jakiejś liczby porządkowej. Najmniejszą z nich jest początkowa liczba porządkowa . Każdy zbiór, którego kardynalność jest alefem, jest równoliczny z liczbą porządkową, a zatem jest dobrze uporządkowany .

Każdy skończony zbiór jest dobrze uporządkowany, ale nie ma alef jako swojej kardynalności.

Założenie, że kardynalność każdego zbioru nieskończonego jest liczbą alef, jest równoważne w stosunku do ZF z istnieniem dobrego uporządkowania każdego zbioru, co z kolei jest równoważne aksjomatowi wyboru . Teoria mnogości ZFC, która zawiera aksjomat wyboru, implikuje, że każdy nieskończony zbiór ma liczbę alef jako swoją kardynalność (tj. jest równoliczny ze swoją początkową liczbą porządkową), a zatem początkowe liczby porządkowe liczb alef służą jako klasa reprezentantów wszystkich możliwe nieskończone liczby kardynalne.

Kiedy kardynalność jest badana w ZF bez aksjomatu wyboru, nie jest już możliwe udowodnienie, że każdy nieskończony zbiór ma pewną liczbę alef jako swoją kardynalność; zbiory, których kardynalność jest liczbą alef, są dokładnie zbiorami nieskończonymi, które można dobrze uporządkować. Metoda sztuczki Scotta jest czasami używana jako alternatywny sposób konstruowania reprezentantów liczb kardynalnych w ustawieniu ZF. Na przykład, można zdefiniować card( S ) jako zbiór zestawów o tej samej liczności co S o minimalnej możliwej randze. Ma to tę właściwość, że card( S ) = card( T ) wtedy i tylko wtedy, gdy S i T mają tę samą kardynalność. (Ustawiona karta ( S ) nie ma ogólnie tej samej kardynalności co S , ale wszystkie jej elementy mają.)

Zobacz też

• Numer Beth
• Funkcja Gimel
• Regularny kardynał
• Liczba nadskończona
• Liczba porządkowa

Uwagi

Cytaty

Zewnętrzne linki

• "Aleph-zero" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Aleph-0” . MatematykaŚwiat .