Grupa abelowa - Abelian group

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro obraz suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny akcja Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupa V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór Koło Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v T mi

W matematyce , grupa przemienna , zwany również przemienna grupa , to grupa , w której wynikiem stosowania grupowego działania na dwóch elementach grupowych nie zależy od kolejności, w jakiej są one napisane. Oznacza to, że operacja grupowa jest przemienna . Po dodaniu jako operacji liczby całkowite i liczby rzeczywiste tworzą grupy abelowe, a pojęcie grupy abelowej można traktować jako uogólnienie tych przykładów. Grupy abelowe zostały nazwane na cześć matematyka Nielsa Henrika Abla z początku XIX wieku .

Pojęcie grupy abelowej leży u podstaw wielu podstawowych struktur algebraicznych , takich jak pola , pierścienie , przestrzenie wektorowe i algebry . Teoria grup abelowych jest generalnie prostsza niż teoria ich nieabelowych odpowiedników, a skończone grupy abelowe są bardzo dobrze rozumiane i w pełni sklasyfikowane .

Struktury algebraiczne
Grupa -like Grupa Półgrupa  / Monoid Stojak i kwantowa Quasigrupa i pętla Grupa abelowa Magma Grupa kłamstw Teoria grup
pierścień -like Dzwonić Rng Semiring Prawie pierścień Pierścień przemienny Domena integralna Pole Pierścień dywizji Teoria pierścieni
Krata -like Krata Semisiatka Uzupełniona krata Całkowite zamówienie Algebra Heyting Algebra Boole'a Mapa krat Teoria sieci
Moduł podobny Moduł Grupuj z operatorami Przestrzeń wektorowa Algebra liniowa
Algebra -like Algebra Asocjacyjny Nieskojarzone Algebra kompozycji Algebra kłamstwa Ocenione Bialgebra
v T mi

Definicja

Struktury grupowe
	Całość	Łączność	Tożsamość	Odwracalność	Przemienność
Semigroupoid	Niepotrzebne	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne	Niepotrzebne
Mała kategoria	Niepotrzebne	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne
Groupoid	Niepotrzebne	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne
Magma	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne	Niepotrzebne	Niepotrzebne
Quasigrupa	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne	Wymagany	Niepotrzebne
Jednolita Magma	Wymagany	Niepotrzebne	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne
Pętla	Wymagany	Niepotrzebne	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne
Półgrupa	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne	Niepotrzebne
Odwrotna półgrupa	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne	Wymagany	Niepotrzebne
Monoid	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne
Monoid przemienny	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne	Wymagany
Grupa	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne
Grupa abelowa	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Wymagany
^α Zamknięcie, które jest używane w wielu źródłach, jest równoważnym aksjomatem dla całości, choć różnie definiowanym.

Grupa przemienna jest zestaw , wraz z operacji , które łączy dwa dowolne elementy , a w celu wytworzenia kolejnego elementu oznaczone . Symbol jest ogólnym symbolem zastępczym dla konkretnie danej operacji. Aby zakwalifikować się jako grupa abelowa, zbiór i operacja , muszą spełniać pięć wymagań znanych jako aksjomaty grupy abelowej : ${\ Displaystyle A}$ ${\displaystyle \cdot}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle (A,\cdot)}$

Zamknięcie

Dla wszystkich , w , wynik operacji jest również w .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle a\cdot b}$${\ Displaystyle A}$

Łączność

Dla wszystkich , i w , równanie jest prawdziwe.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c)}$

Element tożsamości

Istnieje element w , tak że dla wszystkich elementów w , równanie jest spełnione.${\displaystyle e}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$

Odwrotny element

Dla każdego w istnieje element w taki, że , gdzie jest elementem tożsamości.${\displaystyle a}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$${\displaystyle e}$

Przemienność

Dla wszystkich , w , .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

Grupa, w której działanie grupowe nie jest przemienne, nazywana jest „grupą nieabelową” lub „grupą nieprzemienną”.

Fakty

Notacja

Istnieją dwie główne konwencje notacji dla grup abelowych – addytywna i multiplikatywna.

Konwencja	Operacja	Tożsamość	Uprawnienie	Odwrotność
Dodatek	${\displaystyle x+y}$	0	${\displaystyle nx}$	${\displaystyle -x}$
Mnożenie	${\displaystyle x\cdot y}$ lub ${\displaystyle xy}$	1	${\ Displaystyle x ^ {n}}$	${\ Displaystyle x ^ {-1}}$

Ogólnie, notacja multiplikatywna jest zwykłą notacją dla grup, podczas gdy notacja addytywna jest zwykłą notacją dla modułów i pierścieni . Notacja addytywna może być również użyta do podkreślenia, że ​​dana grupa jest abelowa, gdy brane są pod uwagę zarówno grupy abelowe, jak i nieabelowe, niektóre godne uwagi wyjątki to grupy bliskie pierścieni i grupy częściowo uporządkowane , gdzie operacja jest zapisywana addytywnie, nawet jeśli nieabelowa .

Tabliczka mnożenia

Aby sprawdzić, czy skończona grupa jest abelowa, można skonstruować tablicę (macierz) – zwaną tablicą Cayleya – w podobny sposób jak tabliczka mnożenia . Jeżeli grupa jest pod eksploatacji , -ty wpis tej tablicy zawiera produkt . ${\ Displaystyle G = \ {g_ {1} = e, g_ {2}, \ kropki, g_ {n} \}}$${\displaystyle \cdot}$${\ Displaystyle (i, j)}$${\ Displaystyle g_ {i} \ cdot g_ {j}}$

Grupa jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy ten stół jest symetryczny względem głównej przekątnej. Jest to prawdą, ponieważ grupa jest abelowa iff for all , co oznacza, że wpis w tabeli jest równy wpisowi dla all , tj. tabela jest symetryczna względem głównej przekątnej. ${\ Displaystyle g_ {i} \ cdot g_ {j} = g_ {j} \ cdot g_ {i}}$${\displaystyle i,j=1,...,n}$${\ Displaystyle (i, j)}$${\displaystyle (j,i)}$${\displaystyle i,j=1,...,n}$

Przykłady

• Dla liczb i operacja Ponadto , oznaczony , operacja + łączy każde dwie liczby całkowite, tworząc trzecią liczbę całkowitą dodawania asocjacyjny zero jest dodatek tożsamości , co całkowita ma Liczba przeciwna , oraz operacja dodawania jest przemienne, ponieważ dla każdego dwie liczby całkowite i .${\displaystyle +}$${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} ,+)}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle -n}$${\ Displaystyle n + m = m + n}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$
• Każda grupa cykliczna jest abelowa, ponieważ jeśli , są w , to . W ten sposób liczby całkowite , , tworzą grupę abelową z dodawaniem, podobnie jak liczby całkowite modulo , .${\ Displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle xy = a ^ {m} a ^ {n} = a ^ {m + n} = a ^ {n} a ^ {m} = yx}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$
• Każdy pierścień jest grupą abelową pod względem działania dodawania. W pierścieniu przemiennym elementy lub jednostki odwracalne tworzą abelową grupę multiplikatywną . W szczególności liczby rzeczywiste są dodawaną grupą abelową, a niezerowe liczby rzeczywiste to grupa abelowa poddawana mnożeniu.
• Każda podgrupa grupy abelowej jest normalna , więc każda podgrupa daje początek grupie ilorazowej . Podgrupy, ilorazy i sumy bezpośrednie grup abelowych są znowu abelowe. Skończone proste grupy abelowe są dokładnie grupami cyklicznymi pierwszego rzędu .
• Pojęcia grupy Abelowych i - moduł zgodzić. Dokładniej, każdy -moduł jest grupą abelową z operacją dodawania, a każda grupa abelowa jest modułem nad pierścieniem liczb całkowitych w unikalny sposób.${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Ogólnie rzecz biorąc, macierze , nawet macierze odwracalne, nie tworzą grupy abelowej podczas mnożenia, ponieważ mnożenie macierzy generalnie nie jest przemienne. Jednak niektóre grupy macierzy to grupy abelowe podlegające mnożeniu macierzy – jednym z przykładów jest grupa macierzy rotacji . ${\displaystyle 2\razy 2}$

Uwagi historyczne

Camille Jordan nazwała grupy abelowe na cześć norweskiego matematyka Nielsa Henrika Abela , ponieważ Abel odkrył, że przemienność grupy wielomianu implikuje, że pierwiastki wielomianu można obliczyć za pomocą rodników .

Nieruchomości

Jeżeli jest liczbą naturalną i jest elementem grupy abelowej pisanej addytywnie, to można ją zdefiniować jako ( summands) i . W ten sposób staje się modułem nad pierścieniem liczb całkowitych. W rzeczywistości kolejne moduły można utożsamiać z grupami abelowymi. ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle nx}$${\ Displaystyle x + x + \ cdots + x}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle (-n) x = - (nx)}$${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Twierdzenia o grupach abelowych (tj. modułach nad główną domeną idealną ) można często uogólnić na twierdzenia o modułach nad dowolną główną domeną idealną. Typowym przykładem jest klasyfikacja skończenie generowanych grup abelowych, będąca specjalizacją twierdzenia o strukturze dla skończenie generowanych modułów nad główną dziedziną idealną . W przypadku skończenie generowanych grup abelowych, to twierdzenie gwarantuje, że Abelowych dzieli grupę jako bezpośredniego sumy z grupy skrętną i wolną grupą Abelowych . Były może być zapisana jako bezpośredni suma skończenie wielu grup postaci na sile, a ostatnia jest bezpośrednim sumą skończenie wielu kopiach . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {k} \ mathbb {Z}}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Jeśli między grupami abelowymi występują homomorfizmy dwóch grup, to ich suma , zdefiniowana przez , jest znowu homomorfizmem. (Nie jest to prawdą, jeśli jest grupą nieabelową.) Zbiór wszystkich homomorfizmów grup od do jest zatem grupą abelową samą w sobie. ${\ Displaystyle f, g: G \ do H}$${\displaystyle f+g}$${\ Displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle {\ tekst {Dom}} (G, H)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$

Nieco podobny do wymiaru w przestrzeniach wektorowych , każda grupa abelowa ma rangę . Definiuje się ją jako maksymalną moc zbioru liniowo niezależnych (nad liczbami całkowitymi) elementów grupy. Skończone grupy abelowe i grupy skrętne mają rangę zero, a każda grupa abelowa rangi zero jest grupą skrętną. Liczby całkowite i wymierne mają rangę jeden, jak również każda niezerowa podgrupa addytywna liczb wymiernych. Natomiast grupa multiplikatywna niezerowych wymiernych ma rangę nieskończoną, ponieważ jest to wolna grupa abelowa, której podstawą jest zbiór liczb pierwszych (wynika to z podstawowego twierdzenia arytmetyki ).

Centrum grupy jest zestawem elementów, które dojeżdżają z każdego elementu . Grupa jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa jej centrum . Centrum grupy jest zawsze charakterystyczną abelową podgrupą . Jeśli grupa ilorazowa grupy według jej środka jest cykliczna, to jest abelowa. ${\ Displaystyle Z(G)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle Z(G)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G/Z(G)}$${\ Displaystyle G}$

Skończone grupy abelowe

Jednymi z pierwszych przykładów grup były cykliczne grupy liczb całkowitych modulo${\ Displaystyle n}$ , . Okazuje się, że arbitralna skończona grupa abelowa jest izomorficzna z sumą bezpośrednią skończonych grup cyklicznych o rzędzie potęgi pierwszej, a rzędy te są jednoznacznie określone, tworząc kompletny system niezmienników. Grupę automorfizmu skończonej grupy abelowej można opisać bezpośrednio za pomocą tych niezmienników. Teoria ta została po raz pierwszy rozwinięta w pracy Georga Frobeniusa i Ludwiga Stickelbergera z 1879 roku, a później została zarówno uproszczona, jak i uogólniona do skończenie generowanych modułów w głównej dziedzinie idealnej, tworząc ważny rozdział algebry liniowej . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$

Każda grupa rzędu pierwszego jest izomorficzna z grupą cykliczną, a zatem abelowa. Każda grupa, której rząd jest kwadratem liczby pierwszej, jest również abelowa. W rzeczywistości dla każdej liczby pierwszej istnieją (aż do izomorfizmu) dokładnie dwie grupy porządku , a mianowicie i . ${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} \ razy \ mathbb {Z} _ {p}}$

Klasyfikacja

Podstawowym twierdzenie ograniczonych grup abelian stwierdza się, że każda grupa skończonego abelowa może być wyrażona jako suma prosta cyklicznych podgrup głównego celu poboru energii; jest również znany jako twierdzenie podstawowe dla skończonych grup abelowych . Ponadto grupy automorficzne grup cyklicznych są przykładami grup abelowych. To uogólnione przez podstawową twierdzenia skończenie generowanych grupa przemienna z grupy skończonych jest szczególny przypadek, gdy G ma zerową pozycję ; to z kolei pozwala na wiele dalszych uogólnień. ${\ Displaystyle G}$

Klasyfikacja została udowodniona przez Leopolda Kroneckera w 1870 r., choć dopiero później została sformułowana we współczesnej teorii grup, a poprzedzona została podobną klasyfikacją form kwadratowych Carla Friedricha Gaussa w 1801 r.; zobacz historię po szczegóły.

Cykliczna grupa porządku jest izomorficzna z bezpośrednią sumą i wtedy i tylko wtedy, gdy i są względnie pierwsze . Wynika z tego, że każda skończona grupa abelowa jest izomorficzna z sumą bezpośrednią postaci ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {mn}}$${\displaystyle mn}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {u} \ \ mathbb {Z} _ {k_ {i}}}$

w jeden z następujących kanonicznych sposobów:

• liczby są potęgami (niekoniecznie odrębnych) liczb pierwszych,${\displaystyle k_{1},k_{2},\kropki,k_{u}}$
• lub dzieli , co dzieli , i tak dalej aż do .${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle k_{3}}$${\displaystyle k_{u}}$

Na przykład można wyrazić jako bezpośrednią sumę dwóch cyklicznych podgrup rzędu 3 i 5: . To samo można powiedzieć o każdej grupie abelowej rzędu 15, co prowadzi do niezwykłego wniosku, że wszystkie grupy abelowe rzędu 15 są izomorficzne . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {15}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {15} \ cong \ {0,5,10 \} \ oplus \ {0,3,6,9,12 \}}$

Na inny przykład, każda grupa abelowa rzędu 8 jest izomorficzna do (liczby całkowite od 0 do 7 przy dodawaniu modulo 8), (liczby nieparzyste od 1 do 15 przy mnożeniu modulo 16) lub . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {8}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {4} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}}$

Zobacz także listę małych grup dla skończonych grup abelowych rzędu 30 lub mniej.

Automorfizmy

Podstawowe twierdzenie można zastosować do zliczania (a czasem wyznaczania) automorfizmów danej skończonej grupy abelowej . W tym celu wykorzystuje się fakt, że jeśli dzieli się jako bezpośrednią sumę podgrup rzędu względnie pierwszego , to ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H \ oplus K}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (H \ oplus K) \ cong \ Operatorname {Aut} (H) \ oplus \ Operatorname {Aut} (K).}$

Biorąc to pod uwagę, podstawowe twierdzenie pokazuje, że aby obliczyć grupę automorfizmu wystarczy obliczyć grupy automorfizmu podgrup Sylowa oddzielnie (to znaczy wszystkie bezpośrednie sumy podgrup cyklicznych, każda z potęgą rzędu ). Ustal liczbę pierwszą i załóżmy, że wykładniki cyklicznych czynników podgrupy Sylowa są ułożone w porządku rosnącym: ${\ Displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle p}$

${\ Displaystyle e_ {1} \ leq e_ {2} \ leq \ cdots \ leq e_ {n}}$

dla niektórych . Trzeba znaleźć automorfizmy ${\displaystyle n>0}$

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {1}}} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {n}}}.}$

Szczególnym przypadkiem jest sytuacja , w której w podgrupie Sylowa występuje tylko jeden cykliczny współczynnik mocy podstawowej . W tym przypadku można zastosować teorię automorfizmów skończonej grupy cyklicznej . Innym szczególnym przypadkiem jest sytuacja, gdy jest arbitralna, ale dla . Tutaj rozważa się bycie w formie ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle e_{i}=1}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle P}$

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {p} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf {Z} _ {p}}$

więc elementy tej podgrupy mogą być postrzegane jako zawierające przestrzeń wektorową wymiaru nad skończonym ciałem elementów . Automorfizmy tej podgrupy są zatem podane przez odwracalne przekształcenia liniowe, więc ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (P) \ cong \ operatorname {GL} (n \ mathbf {F} _ {p})}$

gdzie jest odpowiednią ogólną grupą liniową . Łatwo pokazać, że ma porządek ${\displaystyle \mathrm {GL}}$

${\ Displaystyle \ lewo | \ Operatorname {Aut} (P) \ Right | = (p ^ {n} -1) \ cdots (p ^ {n} - p ^ {n-1}).}$

W najbardziej ogólnym przypadku, gdzie i są arbitralne, grupa automorfizmu jest trudniejsza do określenia. Wiadomo jednak, że jeśli zdefiniuje się ${\displaystyle e_{i}}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle d_ {k} = \ max \ {r \ mid e_ {r} = e_ {k} ^ {\,} \}}$

oraz

${\ Displaystyle c_ {k} = \ min \ {r \ mid e_ {r} = e_ {k} \}}$

to ma się w szczególności , , i ${\displaystyle k\leq d_{k}}$${\displaystyle c_{k}\leq k}$

${\ Displaystyle \ lewo | \ operatorname {Aut} (P) \ prawo | = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (p ^ {d_ {k}} - p ^ {k-1}) \ prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}- 1})^{n-c_{i}+1}.}$

Można sprawdzić, czy daje to zamówienia z poprzednich przykładów jako przypadki specjalne (patrz Hillar, C. i Rhea, D.).

Skończenie generowane grupy abelowe

Grupa abelowa A jest generowana skończenie, jeśli zawiera skończony zbiór elementów (zwanych generatorami ) taki, że każdy element grupy jest kombinacją liniową o współczynnikach całkowitych elementów G . ${\ Displaystyle G = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}$

Niech L będzie wolną grupą abelową z bazą Istnieje unikalny homomorfizm grup taki, że ${\ Displaystyle B = \ {b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \}.}$ ${\ Displaystyle p \ dwukropek L \ do A}$

${\ Displaystyle p (b_ {i}) = x_ {i} \ quad {\ tekst {dla}} i = 1 \ ldots, n.}$

Ten homomorfizm jest surjekcyjny , a jego jądro jest skończone (ponieważ liczby całkowite tworzą pierścień Noetherian ). Rozważmy macierz M z wpisami całkowitymi, takimi, że wpisy w jej j- tej kolumnie są współczynnikami j- tego generatora jądra. Wtedy grupa abelowa jest izomorficzna z kokernelem odwzorowania liniowego zdefiniowanego przez M . I odwrotnie, każda macierz liczb całkowitych definiuje skończenie generowaną grupę abelową.

Wynika z tego, że badanie skończenie generowanych grup abelowych jest całkowicie równoważne badaniu macierzy liczb całkowitych. W szczególności zmiana zbioru generującego A jest równoważna z pomnożeniem M po lewej stronie przez macierz unimodularną (to znaczy odwracalną macierz liczb całkowitych, której odwrotność jest również macierzą całkowitą). Zmiana zbioru generującego jądra M jest równoznaczna z pomnożeniem M po prawej stronie przez macierz unimodularną.

Smith normalnie tworzą z M jest macierzą

${\displaystyle S=UMV}$

gdzie U i V są jednomodułowe, a S jest macierzą taką, że wszystkie niediagonalne wpisy są równe zero, niezerowe wpisy przekątne są pierwszymi i jest dzielnikiem dla i > j . Istnienie i kształt normalnej Smitha dowodzi, że skończenie wygenerowana grupa abelowa A jest sumą prostą${\displaystyle d_{1,1},\ldots,d_{k,k}}$${\displaystyle d_{j,j}}$${\displaystyle d_{i,i}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {R} \ oplus \ mathbb {Z} / d_ {1,1} \ mathbb {Z} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbb {Z} / d_ {k, k} \ mathbb {Z} ,}$

gdzie r jest liczbą zerowych wierszy na dole r (a także rangą grupy). Jest to podstawowe twierdzenie o skończenie generowanych grupach abelowych .

Istnienie algorytmów dla postaci normalnej Smitha pokazuje, że podstawowe twierdzenie o skończenie generowanych grupach abelowych jest nie tylko twierdzeniem o abstrakcyjnej egzystencji, ale zapewnia sposób obliczania wyrażenia skończenie generowanych grup abelowych jako sum bezpośrednich.

Nieskończone grupy abelowe

Najprostszą nieskończoną grupą abelową jest nieskończona grupa cykliczna . Każda skończenie generowana grupa abelowa jest izomorficzna z bezpośrednią sumą kopii i skończoną grupą abelową, która z kolei jest rozkładana na bezpośrednią sumę skończonych wielu grup cyklicznych o rzędach potęgi pierwotnej . Mimo że rozkład nie jest unikalny numer , zwany stopień z , a głównymi uprawnienia dające rozkazy skończonych summands cyklicznych są jednoznacznie określone. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle A}$

W przeciwieństwie do tego, klasyfikacja ogólnych nieskończenie generowanych grup abelowych jest daleka od ukończenia. Grupy podzielne , tj abelowe grupy , w którym równania przyznaje, roztwór do liczby naturalnej , a elementem o , stanowi jedną ważną klasę nieskończonych abelian grup, które mogą być w pełni scharakteryzowany. Każda podzielna grupa jest izomorficzna do sumy bezpośredniej, z sumami izomorficznymi do i grupami Prüfera dla różnych liczb pierwszych , a liczność zbioru sum każdego typu jest jednoznacznie określona. Ponadto, jeśli grupa dzielona jest podgrupą z grupy abelowe następnie dopuszcza bezpośrednie uzupełnienie: podgrupa z tak, że . Zatem podzielne grupy są modułami iniektywnymi w kategorii grup abelowych i odwrotnie, każda iniektywna grupa abelowa jest podzielna ( kryterium Baera ). Grupę abelową bez niezerowych podzielnych podgrup nazywamy zredukowaną . ${\ Displaystyle A}$${\displaystyle nx=a}$${\ Displaystyle x \ w A}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} / Z_ {p}}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G = A \ oplus C}$

Dwie ważne specjalne klasy nieskończonych grup abelowych o diametralnie przeciwnych właściwościach to grupy torsyjne i grupy beztorsyjne , których przykładem są grupy (okresowe) i (beztorsyjne). ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Grupy skrętne

Grupę abelową nazywamy okresową lub skręcaną , jeśli każdy element ma skończony porządek . Bezpośrednia suma skończonych grup cyklicznych jest okresowa. Chociaż odwrotne stwierdzenie generalnie nie jest prawdziwe, znane są pewne szczególne przypadki. Pierwsze i drugie Prüfer twierdzeń stwierdzają, że jeśli jest okresowa grupa, i to albo ma ograniczone wykładnik , to znaczy dla pewnej liczby naturalnej , lub jest przeliczalny i -heights pierwiastków są skończone dla siebie , a następnie jest izomorficzna z bezpośrednia suma skończonych grup cyklicznych. Liczność zbioru sum bezpośrednich izomorficznych do w takiej dekompozycji jest niezmiennikiem . Twierdzenia te zostały później włączone do kryterium Kulikova . W innym kierunku Helmut Ulm znalazł rozszerzenie drugiego twierdzenia Prüfera na policzalne grupy abelowe z elementami o nieskończonej wysokości: grupy te są całkowicie sklasyfikowane za pomocą ich niezmienników Ulma . ${\ Displaystyle A}$${\displaystyle nA=0}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {m} \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle p}$

Grupy wolne od skręcania i mieszane

Grupa abelowa nazywana jest wolną od skręcania, jeśli każdy niezerowy element ma nieskończony porządek. Kilka klas wolnych od skręcania grup abelowych zostało szeroko zbadanych:

• Wolne grupy abelowe , czyli dowolne bezpośrednie sumy${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Kotorsyjne i algebraicznie zwarte grupy wolne od torsji, takie jak -adyczne liczby całkowite${\displaystyle p}$
• Smukłe grupy

Grupę abelową, która nie jest ani okresowa, ani wolna od skręcania, nazywa się mieszaną . Jeżeli jest grupą abelową i jest jej podgrupą skrętną , to grupa czynnikowa jest wolna od skręcania. Jednak ogólnie podgrupa skręcania nie jest bezpośrednią sumą , więc nie jest izomorficzna z . Tak więc teoria grup mieszanych obejmuje więcej niż proste połączenie wyników dotyczących grup okresowych i wolnych od skręcania. Grupą addytywną liczb całkowitych jest moduł nieskręcający. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle T (A)}$${\ Displaystyle A/T (A)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle T (A) \ oplus A / T (A)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Niezmienniki i klasyfikacja

Jednym z najbardziej podstawowych niezmienników nieskończonej grupy abelowej jest jej ranga : liczność maksymalnego liniowo niezależnego podzbioru . Grupy abelowe rangi 0 są właśnie grupami okresowymi, podczas gdy grupy abelowe bez torsyjne rangi 1 są z konieczności podgrupami i mogą być w pełni opisane. Bardziej ogólnie, grupa abelowa bez skręcania o skończonym szeregu jest podgrupą . Z drugiej strony, grupa -adycznych liczb całkowitych jest nieskręcającą się grupą abelową o nieskończonym -rangu, a grupy z różnymi są nieizomorficzne, więc ten niezmiennik nie oddaje nawet w pełni właściwości niektórych znanych grup. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {r}}$${\displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$

Wyjaśnione powyżej twierdzenia klasyfikacyjne dla skończenie generowanych, podzielnych, przeliczalnych okresowych i wolnych od skręcania grup abelowych stopnia 1. zostały uzyskane przed 1950 r. i stanowią podstawę klasyfikacji bardziej ogólnych nieskończonych grup abelowych. Ważnymi narzędziami technicznymi stosowanymi w klasyfikacji nieskończonych grup abelowych są podgrupy czyste i podstawowe . Jedną z dróg dalszego postępu było wprowadzenie różnych niezmienników nieskręcających się grup abelowych. Zobacz książki Irvinga Kaplansky'ego , László Fuchsa , Phillipa Griffitha i Davida Arnolda , a także materiały z konferencji na temat Abelian Group Theory opublikowane w Lecture Notes in Mathematics, aby zapoznać się z nowszymi odkryciami.

Addytywne grupy pierścieni

Grupa addytywna pierścienia jest grupą abelową, ale nie wszystkie grupy abelowe są addytywnymi grupami pierścieni (z nietrywialnym mnożeniem). Niektóre ważne tematy w tej dziedzinie badań to:

• Produkt tensorowy
• Wyniki ALS Corner dla policzalnych grup wolnych od skręcania
• Praca Shelaha nad usunięciem ograniczeń kardynalności
• Pierścień Burnside

Związek z innymi zagadnieniami matematycznymi

Wiele dużych grup abelowych posiada naturalną topologię , która przekształca je w grupy topologiczne .

Zbiór wszystkich grup abelowych wraz z homomorfizmami między nimi tworzy kategorię , prototyp kategorii abelowej . ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$

Wanda Szmielew  ( 1955 ) wykazała, że ​​teoria pierwszego rzędu grup abelowych, w przeciwieństwie do jej nieabelowego odpowiednika, jest rozstrzygalna. Większość struktur algebraicznych innych niż algebry Boole'a jest nierozstrzygalnych .

Wciąż istnieje wiele obszarów aktualnych badań:

• Wśród wolnych od skręcania grup abelowych o skończonej randze, tylko przypadek skończenie wygenerowany i przypadek rzędu 1 są dobrze rozumiane;
• Istnieje wiele nierozwiązanych problemów w teorii nieskończonego rzędu wolnych od torsyjnych grup abelowych;
• Podczas gdy policzalne torsyjne grupy abelowe są dobrze rozumiane dzięki prostym prezentacjom i niezmiennikom Ulma, przypadek policzalnych grup mieszanych jest znacznie mniej dojrzały.
• Wiadomo, że wiele łagodnych rozszerzeń teorii pierwszego rzędu grup abelowych jest nierozstrzygalnych.
• Skończone grupy abelowe pozostają przedmiotem badań w obliczeniowej teorii grup .

Co więcej, abelowe grupy nieskończonego porządku prowadzą, co dość zaskakujące, do głębokich pytań o teorię mnogości powszechnie uważaną za leżącą u podstaw całej matematyki. Rozważmy problem Whiteheada : czy wszystkie grupy Whiteheadów o nieskończonym porządku są również wolnymi grupami abelowymi ? W latach 70. Saharon Shelah udowodnił, że problemem Whiteheada jest:

• Nierozstrzygalny w ZFC ( aksjomaty Zermelo-Fraenkla ), konwencjonalnej aksjomatycznej teorii mnogości, z której można wyprowadzić prawie całą dzisiejszą matematykę. Problem Whiteheada jest również pierwszym pytaniem w zwykłej matematyce, które okazało się nierozstrzygnięte w ZFC;
• Nierozstrzygalne, nawet jeśli ZFC jest rozszerzone przez przyjęcie uogólnionej hipotezy continuum jako aksjomat;
• Odpowiedź pozytywna, jeśli ZFC jest wzbogacony o aksjomat konstruowalności (patrz stwierdzenia prawdziwe w L ).

Uwaga o typografii

Wśród przymiotników matematycznych wywodzących się od imienia i nazwiska matematyka słowo „abelian” jest rzadkością, ponieważ często jest pisane małą literą a zamiast wielką literą A , ponieważ brak kapitalizacji jest milczącym potwierdzeniem nie tylko stopnia którego imię Abla zostało zinstytucjonalizowane, ale także o tym, jak wszechobecne we współczesnej matematyce są wprowadzone przez niego pojęcia.

Zobacz też

• Podgrupa komutatora  - Najmniejsza normalna podgrupa, w której iloraz jest przemienny
• Abelianizacja  – iloraz grupy według jej podgrupy komutatora
• Grupa dwuścienna rzędu 6  – Grupa nieprzemienna z 6 elementami, najmniejsza grupa nieabelowa
• Elementary abelian group  – grupa przemienna, w której wszystkie elementy niezerowe mają ten sam porządek
• Grupa Grothendiecka  – grupa abelowa zbudowana z monoidu przemiennego w taki sam sposób jak liczby całkowite z liczb naturalnych
• Dualizm Pontryagina  – Dualizm dla lokalnie zwartych grup abelowych

Uwagi

Bibliografia

• Cox, Dawid (2004). Teoria Galois . Wiley-Interscience . Numer ISBN 9781118031339. MR  2119052 .
• Fuchs, László (1970). Nieskończone grupy abelowe . Matematyka czysta i stosowana. 36-I . Prasa akademicka . MR  0255673 .
• Fuchs, László (1973). Nieskończone grupy abelowe . Matematyka czysta i stosowana. 36-II. Prasa akademicka . MR  0349869 .
• Griffith, Phillip A. (1970). Nieskończona teoria grup abelowych . Wykłady z matematyki w Chicago. Wydawnictwo Uniwersytetu Chicago . Numer ISBN 0-226-30870-7.
• Herstein, IN (1975). Tematy w Algebrze (wyd. 2). John Wiley i Synowie . Numer ISBN 0-471-02371-X.
• Hillar, Christopher; Rhea, Darren (2007). „Automorfizmy skończonych grup abelowych” (PDF) . Amerykański miesięcznik matematyczny . 114 (10): 917–923. arXiv : matematyka/0605185 . Kod Bibcode : 2006matematyka......5185H . doi : 10.1080/00029890.2007.1120485 . JSTOR  27642365 . S2CID  1038507 .
• Jacobson, Nathan (2009). Podstawowa Algebra I (wyd. 2). Publikacje Dovera. Numer ISBN 978-0-486-47189-1.
• Róża, John S. (2012). Kurs teorii grup . Publikacje Dover . Numer ISBN 978-0-486-68194-8. Pełna i niezmieniona republikacja pracy opublikowanej po raz pierwszy przez Cambridge University Press, Cambridge, Anglia, w 1978 roku.
• Szmielew, Wanda (1955). „Elementarne właściwości grup abelowych” (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 41 (2): 203–271. doi : 10.4064/fm-41-2-203-271 . MR  0072131 . Zbl  0248.02049 .

Zewnętrzne linki

• „Grupa abelowa” . Encyklopedia Matematyki . EMS Naciśnij . 2001 [1994].