Impedancja akustyczna - Acoustic impedance

Pomiary dźwięku
Charakterystyka	Symbolika
Ciśnienie akustyczne	p , SPL, L PA
Prędkość cząstek	v , SVL
Przemieszczenie cząstek	δ
Natężenie dźwięku	ja , SIL
Moc dźwięku	P , SWL, L WA
Energia Dźwięku	W
Gęstość energii dźwięku	w
Ekspozycja na dźwięk	E , SEL
Impedancja akustyczna	Z
Częstotliwość dźwięku	AF
Utrata transmisji	TL
v T mi

Impedancja akustyczna i właściwa impedancja akustyczna są miarami oporu, jaki system przedstawia przepływowi akustycznemu wynikającemu z ciśnienia akustycznego przyłożonego do systemu. SI modułu impedancji akustycznej jest paskal-sekund na metr sześcienny ( Pa-s / m ³ ), albo w układzie MKS rayl na metr kwadratowy ( rayl / m ² ), natomiast w zadaniu impedancji akustycznej jest pascal- sekunda na metr ( Pa·s/m ) lub w systemie MKS rayl. Istnieje ścisła analogia z impedancją elektryczną , która mierzy opozycję, jaką system przedstawia prądowi elektrycznemu wynikającemu z napięcia przyłożonego do systemu.

Definicje matematyczne

Impedancja akustyczna

W przypadku liniowego systemu niezmiennego w czasie zależność między ciśnieniem akustycznym przyłożonym do systemu a wynikowym natężeniem przepływu akustycznego przez powierzchnię prostopadłą do kierunku tego ciśnienia w punkcie przyłożenia jest dana wzorem:

${\ Displaystyle p (t) = [R * Q] (t)}$

lub równoważnie przez

${\ Displaystyle Q (t) = [G * p] (t)}$

gdzie

• p to ciśnienie akustyczne;
• Q jest natężeniem przepływu akustycznego;
• ${\ Displaystyle *}$jest operatorem splotu ;
• R jest oporem akustycznym w dziedzinie czasu ;
• G = R ^-1 jest przewodnością akustyczną w dziedzinie czasu ( R ^-1 jest odwrotnością splotu R ).

Impedancja akustyczna , oznaczoną Z , jest transformata Laplace'a lub transformata Fouriera lub analityczne przedstawienie z dziedziny czasu odporności akustycznej:

${\ Displaystyle Z (s) {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {L}} [R] (s) = {\ Frac {{\ mathcal {L}} [p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}},}$

${\ Displaystyle Z (\ omega ) {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}} [R] (\ omega ) = {\ Frac {{\ mathcal {F} }}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}},}$

${\ Displaystyle Z (t) {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} R_ {\ operatorname {a}} (t) = {\ Frac {1} {2}} \! left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

gdzie

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ jest operatorem przekształcenia Laplace'a;
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest operatorem transformaty Fouriera;
• indeks dolny „a” jest operatorem reprezentacji analitycznej;
• Q ^-1 jest odwrotnością splotu Q .

Oporność akustyczna oznaczona jako R i reaktancja akustyczna oznaczona jako X to odpowiednio część rzeczywista i część urojona impedancji akustycznej:

${\ Displaystyle Z (s) = R (s) + IX (s)}$

${\ Displaystyle Z (\ omega ) = R (\ omega ) + IX (\ omega ),}$

${\ Displaystyle Z (t) = R (t) + IX (t)}$

gdzie

• i jest jednostką urojoną ;
• w Z ( s ), R ( s ) nie jest transformatą Laplace'a oporu akustycznego w dziedzinie czasu R ( t ), Z ( s ) jest;
• w Z ( ω ), R ( ω ) nie jest transformatą Fouriera oporu akustycznego w dziedzinie czasu R ( t ), Z ( ω ) jest;
• w Z ( t ), R ( t ) to opór akustyczny w dziedzinie czasu, a X ( t ) to transformata Hilberta oporu akustycznego w dziedzinie czasu R ( t ), zgodnie z definicją reprezentacji analitycznej.

Reaktancja indukcyjna akustyczny , oznaczoną X _l i pojemnościowy reaktancja akustyczny , oznaczoną X _C , to pozytywna część i ujemny element reaktancji akustyczne odpowiednio:

${\ Displaystyle X (s) = X_ {L} (s) -X_ {C} (s)}$

${\ Displaystyle X (\ omega) = X_ {L} (\ omega)-X_ {C} (\ omega)}$

${\ Displaystyle X (t) = X_ {L} (t) -X_ {C} (t).}$

admitancja akustyczna , oznaczona jako Y , jest transformatą Laplace'a lub transformatą Fouriera lub analityczną reprezentacją przewodnictwa akustycznego w dziedzinie czasu :

${\ Displaystyle Y (s) {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {L}} [G] (s) = {\ Frac {1} {Z (s) }}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\ Displaystyle Y (\ omega ) {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}} [G] (\ omega ) = {\ Frac {1} {Z ( \omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\ Displaystyle Y (t) {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} G_ {\ operatorname {a}} (t) = Z ^ {-1} (t) = {\ Frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t), }$

gdzie

• Z ^-1 jest odwrotnością splotu Z ;
• p ^-1 jest odwrotnością splotu p .

Konduktancja akustyczna oznaczona jako G i susceptancja akustyczna oznaczona jako B to odpowiednio część rzeczywista i część urojona admitancji akustycznej:

${\ Displaystyle Y (s) = G (s) + iB (s)}$

${\ Displaystyle Y (\ omega ) = G (\ omega ) + iB (\ omega ),}$

${\ Displaystyle Y (t) = G (t) + iB (t)}$

gdzie

• w Y ( s ), G ( s ) nie jest transformatą Laplace'a przewodnictwa akustycznego w dziedzinie czasu G ( t ), Y ( s ) jest;
• w Y ( ω ), G ( ω ) nie jest transformatą Fouriera przewodnictwa akustycznego w dziedzinie czasu G ( t ), Y ( ω ) jest;
• w Y ( t ), G ( t ) jest przewodnością akustyczną w dziedzinie czasu, a B ( t ) jest transformacją Hilberta przewodności akustycznej w dziedzinie czasu G ( t ), zgodnie z definicją reprezentacji analitycznej.

Opór akustyczny reprezentuje przenoszenie energii fali akustycznej. Ciśnienie i ruch są w fazie, więc praca jest wykonywana na ośrodku przed falą; również reprezentuje ciśnienie, które nie jest w fazie z ruchem i nie powoduje średniego transferu energii. Na przykład w zamkniętej bańce połączonej z piszczałką organową będzie wnikało powietrze i ciśnienie, ale są one przesunięte w fazie, więc energia netto nie jest do niej przesyłana. Gdy ciśnienie rośnie, powietrze wchodzi, a gdy opada, wysuwa się, ale średnie ciśnienie, gdy powietrze wchodzi, jest takie samo, jak przy wyprowadzaniu, więc moc przepływa tam i z powrotem, ale bez uśrednionej w czasie energii przenosić. Kolejną analogią elektryczną jest kondensator podłączony przez linię energetyczną: prąd przepływa przez kondensator, ale jest w przeciwfazie z napięciem, więc nie jest do niego przesyłana moc netto .

Specyficzna impedancja akustyczna

Dla liniowego systemu niezmiennego w czasie zależność między ciśnieniem akustycznym przyłożonym do systemu a wynikową prędkością cząstki w kierunku tego ciśnienia w punkcie przyłożenia jest dana wzorem

${\ Displaystyle p (t) = [r * v] (t)}$

lub równoważnie przez:

${\ Displaystyle v (t) = [g * p] (t)}$

gdzie

• p to ciśnienie akustyczne;
• v jest prędkością cząstki;
• r jest oporem akustycznym właściwym w dziedzinie czasu ;
• g = r ^-1 jest konkretną przewodnością akustyczną w dziedzinie czasu ( r ^-1 jest odwrotnością splotu r ).

Specyficzna impedancja akustyczna , oznaczona jako z, to transformata Laplace'a lub transformata Fouriera lub analityczna reprezentacja specyficznego oporu akustycznego w dziedzinie czasu :

${\ Displaystyle Z (s) {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {l}} [r] (s) = {\ Frac {{\ mathcal {l}} [p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},}$

${\ Displaystyle Z (\ omega ) {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}} [r] (\ omega ) = {\ Frac {{\ mathcal {F} }}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},}$

${\ Displaystyle Z (t) {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} r_ {\ operatorname {a}} (t) = {\ Frac {1} {2}} \! left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

gdzie v ^-1 jest odwrotnością splotu v .

Właściwa oporność akustyczna , oznaczona r , i właściwa reaktancja akustyczna , oznaczona jako x , są odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną określoną impedancją akustyczną:

${\ Displaystyle Z (s) = r (s) + ix (s)}$

${\ Displaystyle Z (\ omega ) = r (\ omega ) + ix (\ omega ),}$

${\ Displaystyle Z (t) = r (t) + ix (t)}$

gdzie

• w z ( s ), r ( s ) nie jest transformatą Laplace'a specyficznego oporu akustycznego w dziedzinie czasu r ( t ), z ( s ) jest ;
• w z ( ω ), r ( ω ) nie jest transformatą Fouriera specyficznego oporu akustycznego w dziedzinie czasu r ( t ), z ( ω ) jest;
• w z ( t ), r ( t ) to opór akustyczny właściwy w dziedzinie czasu, a x ( t ) to transformata Hilberta oporu akustycznego właściwego w dziedzinie czasu r ( t ), zgodnie z definicją reprezentacji analitycznej.

Specyficzna indukcyjna reaktancja akustyczna , oznaczona jako x _L i specyficzna pojemnościowa reaktancja akustyczna , oznaczona jako x _C , są odpowiednio dodatnią i ujemną częścią określonej reaktancji akustycznej:

${\ Displaystyle x (s) = x_ {L} (s) -x_ {C} (s)}$

${\ Displaystyle x (\ omega ) = x_ {L} (\ omega )-x_ {C} (\ omega)}$

${\ Displaystyle x (t) = x_ {L} (t) -x_ {C} (t).}$

Właściwa admitancja akustyczna , oznaczona jako y , jest transformatą Laplace'a lub transformatą Fouriera lub analityczną reprezentacją specyficznej przewodności akustycznej w dziedzinie czasu :

${\ Displaystyle y (s) {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {L}} [g] (s) = {\ Frac {1} {z (s) }}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\ Displaystyle y (\ omega ) {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}} [g] (\ omega ) = {\ Frac {1} {z ( \omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\ Displaystyle y (t) {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} g_ {\ operatorname {a}} (t) = z ^ {-1} (t) = {\ Frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t), }$

gdzie

• z- ¹ jest odwrotnością splotu z z ;
• p ^-1 jest odwrotnością splotu p .

Właściwa przewodność akustyczna , oznaczona jako g , i właściwa susceptancja akustyczna , oznaczona jako b , są odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną specyficznej admitancji akustycznej:

${\ Displaystyle y (s) = g (s) + ib (s)}$

${\ Displaystyle y (\ omega ) = g (\ omega ) + ib (\ omega ),}$

${\ Displaystyle y (t) = g (t) + ib (t)}$

gdzie

• w y ( s ), g ( s ) nie jest transformatą Laplace'a przewodnictwa akustycznego w dziedzinie czasu g ( t ), y ( s ) jest ;
• w y ( ω ), g ( ω ) nie jest transformatą Fouriera przewodnictwa akustycznego w dziedzinie czasu g ( t ), y ( ω ) jest;
• w y ( t ), g ( t ) jest przewodnością akustyczną w dziedzinie czasu, a b ( t ) jest transformacją Hilberta przewodności akustycznej w dziedzinie czasu g ( t ), zgodnie z definicją reprezentacji analitycznej.

Specyficzna impedancja akustyczna z jest właściwością intensywną konkretnego ośrodka (np. można określić z powietrza lub wody); z drugiej strony impedancja akustyczna Z jest rozległą właściwością konkretnego medium i geometrii (np. można określić Z konkretnego kanału wypełnionego powietrzem).

Relacja

Dla fali jednowymiarowej przechodzącej przez otwór o powierzchni A , natężenie przepływu objętościowego Q jest objętością medium przechodzącego przez otwór na sekundę; jeśli przepływ akustyczny przemieszcza się na odległość d x = v d t , wówczas objętość przepływającego medium wynosi d V = A d x , a więc:

${\ Displaystyle Q = {\ Frac {\ operatorname {d} V}{\ operatorname {d} t}} = A {\ Frac {\ operatorname {d} x}{\ operatorname {d} t}} = Av. }$

Pod warunkiem, że fala jest tylko jednowymiarowa, ustępuje

${\ Displaystyle Z (s) = {\ Frac {{\ mathcal {L}} [p] (s)} {{\ mathcal {L}} [Q] (s)}} = {\ Frac {{\ mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},}$

${\ Displaystyle Z (\ omega ) = {\ Frac {{\ mathcal {F}} [p] (\ omega )} {{\ mathcal {F}} [Q] (\ omega )}} = {\ Frac { {\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},}$

${\ Displaystyle Z (t) = {\ Frac {1} {2}} \! \ lewo [p_ {\ operatorname {a}} * \ lewo (Q ^ {-1} \ prawej) _ {\ operatorname {a } }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{ A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.}$

Charakterystyczna impedancja akustyczna

Charakterystyczna właściwa impedancja akustyczna

Konstytutywne prawo niedyspersyjnej akustyki liniowej w jednym wymiarze podaje związek między naprężeniem a odkształceniem:

${\ Displaystyle p = - \ rho c ^ {2} {\ Frac {\ częściowy \ delta} {\ częściowy x}}}$

gdzie

• p to ciśnienie akustyczne w medium;
• ρ jest objętościową gęstością masową ośrodka;
• c to prędkość fal dźwiękowych przemieszczających się w ośrodku;
• δ jest przemieszczeniem cząstek ;
• x jest zmienną przestrzenną wzdłuż kierunku propagacji fal dźwiękowych.

To równanie obowiązuje zarówno dla płynów, jak i ciał stałych. w

• płyny , ρc ² = K ( K oznacza moduł objętościowy );
• bryły , ρc ² = K + 4/3 G ( G oznacza moduł sprężystości poprzecznej ) dla fal podłużnych i ρc ² = G dla fal poprzecznych .

Drugie prawo Newtona zastosowane lokalnie w medium daje:

${\ Displaystyle \ rho {\ Frac {\ częściowy ^ {2} \ delta} {\ częściowy t ^ {2}}} = - {\ Frac {\ częściowy p} {\ częściowy x}}.}$

Połączenie tego równania z poprzednim daje jednowymiarowe równanie falowe :

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {2} \ delta} {\ częściowy t ^ {2}}} = c ^ {2} {\ Frac {\ częściowy ^ {2} \ delta} {\ częściowy x ^ {2}}}.}$

Te fale płaskie

${\ Displaystyle \ delta (\ mathbf {r}, \, t) = \ delta (x, \, t)}$

które są rozwiązaniami tego równania falowego składają się z sumy dwóch progresywnych fal płaskich biegnących wzdłuż x z tą samą prędkością i w przeciwnych kierunkach :

${\ Displaystyle \ delta (\ mathbf {r} , \, t) = f (x-ct) + g (x + ct)}$

z którego można wyprowadzić

${\ Displaystyle V (\ mathbf {r}, \, t) = {\ Frac {\ częściowy \ delta} {\ częściowy t}} (\ mathbf {r}, \, t) = - c {\ duży [} f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},}$

${\ Displaystyle p (\ mathbf {r} , \, t) = - \ rho c ^ {2} {\ frac {\ częściowy \ delta} {\ częściowy x}} (\ mathbf {r} , \ t) =-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.}$

Dla progresywnych fal płaskich:

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} p (\ mathbf {r}, \, t) = - \ rho c ^ {2} \ f '(x-ct) \ \ v (\ mathbf {r} , \ ,t)=-c\,f'(x-ct)\end{przypadki}}}$

lub

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} p (\ mathbf {r}, \, t) = - \ rho c ^ {2} \ g '(x + ct) \ \ v (\ mathbf {r} , \ ,t)=c\,g'(x+ct).\end{przypadki}}}$

Wreszcie właściwa impedancja akustyczna z wynosi

${\ Displaystyle Z (\ mathbf {R} \, s) = {\ Frac {{\ mathcal {L}} [p] (\ mathbf {R}, \, s)} {{\ mathcal {L}} [v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,}$

${\ Displaystyle Z (\ mathbf {r} , \, \ omega ) = {\ frac {{\ mathcal {f}} [p] (\ mathbf {r}, \, \ omega ) {{\ mathcal {f }}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,}$

${\ Displaystyle Z (\ mathbf {R}, \, t) = {\ Frac {1} {2}} \! \ lewo [p_ {\ operatorname {a}} * \ lewo (v ^ {-1} \) po prawej)_{\mathrm {a} }\po prawej]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.}$

Wartość bezwzględna tej specyficznej impedancji akustycznej jest często nazywana charakterystyczną właściwą impedancją akustyczną i oznaczana z ₀ :

${\displaystyle z_{0}=\rho c.}$

Równania pokazują również, że

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r},\,t)}{v(\mathbf {r},\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.}$

Wpływ temperatury

Temperatura wpływa na prędkość dźwięku i gęstość masy, a tym samym na określoną impedancję akustyczną.

Wpływ temperatury na właściwości powietrza

Temperatura, T ( °C )	Prędkość dźwięku, c ( m / s )	Gęstość powietrza, ρ ( kg / m 3 )	Charakterystyczna właściwa impedancja akustyczna, z 0 ( Pa · s / m )
35	351,88	1.1455	403,2
30	349,02	1.1644	406,5
25	346,13	1.1839	409,4
20	343,21	1.2041	413,3
15	340,27	1.2250	416,9
10	337,31	1.2466	420,5
5	334,32	1.2690	424,3
0	331,30	1.2922	428,0
-5	328,25	1.3163	432.1
-10	325.18	1.3413	436,1
-15	322,07	1.3673	440,3
-20	318,94	1.3943	444.6
-25	315,77	1.4224	449,1

Charakterystyczna impedancja akustyczna

Dla fali jednowymiarowej przechodzącej przez szczelinę o polu A , Z = z / A , czyli jeśli fala jest progresywną falą płaską, to:

${\ Displaystyle Z (\ mathbf {r} , \, s) = \ pm {\ Frac {\ rho c} {A}}}$

${\ Displaystyle Z (\ mathbf {r} , \, \ omega ) = \ pm {\ Frac {\ rho c} {A}},}$

${\ Displaystyle Z (\ mathbf {r} , \, t) = \ pm {\ Frac {\ rho c} {A}}.}$

Wartość bezwzględna tej impedancji akustycznej jest często nazywana charakterystyczną impedancją akustyczną i oznaczana Z ₀ :

${\ Displaystyle Z_ {0}= {\ Frac {\ rho c} {A}}.}$

a charakterystyczna właściwa impedancja akustyczna wynosi

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r},\,t)}{Q(\mathbf {r},\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}} =\pm Z_{0}.}$

Jeśli otwór o powierzchni A jest początkiem rury i do rury jest wysyłana fala płaska, fala przechodząca przez otwór jest progresywną falą płaską przy braku odbić, a odbicia zwykle od drugiego końca rury , otwarte lub zamknięte, to suma fal przemieszczających się z jednego końca na drugi. (Możliwe jest brak odbić, gdy rura jest bardzo długa, ze względu na długi czas potrzebny na powrót odbitych fal i ich tłumienie przez straty na ściance rury.) Takie odbicia i wynikające z nich fale stojące są bardzo ważne w przypadku projektowanie i obsługa muzycznych instrumentów dętych.

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Co to jest impedancja akustyczna i dlaczego jest ważna?
• Równanie fali dla dźwięku