Teoria akustyczna - Acoustic theory


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Teoria akustyczna jest dziedziną nauki, która odnosi się do opisu fal dźwiękowych . To wynika z dynamiki płynów . Zobacz akustykę dla inżynierii podejścia.

Rozchodzenie się fal dźwiękowych w cieczy (na przykład wody) może być modelowany za pomocą równania ciągłości (konserwacja z masy ) i równania zachowania ruchu (od pędu ). Z niektórych uproszczeń, w szczególności stałej gęstości, mogą być podane w następujący sposób:

w których jest ciśnienie akustyczne oraz jest prędkość przepływu wektor jest wektorem współrzędnych przestrzennych , to czas jest statyczny gęstość masy nośnika i jest współczynnik sprężystości objętościowej medium. Moduł zbiorczego może być wyrażony w odniesieniu do gęstości i prędkości dźwięku w ośrodku ( ), a

Jeśli pole prędkość przepływu bezwirowy , , to równanie fala akustyczna jest połączenie tych dwóch układów równań bilansu i może być wyrażony jako

gdzie użyliśmy Laplace'a wektor , . Równanie fal akustycznych (i masy i równowagi momentów równania) często są wyrażone w kategoriach skalarnego potencjału przypadkach . W tym przypadku równanie fali akustycznej jest napisane jak

a resztę pędu i bilans masowy są wyrażone

Wyprowadzenie równań rządzących

Te pochodne powyższych równań dla fal akustycznych w środowisku są podane poniżej.

Zachowania pędu

Równania dla zachowania pędu dla medium ciekłym są

gdzie jest siła na jednostkę masy ciała, to ciśnienie i jest stres deviatoric . Jeśli jest stres Cauchy'ego , a następnie

gdzie jest tożsamość tensor szeregowych 2.

Wykonujemy kilka założeń wyprowadzić równania bilansu pędu do środowisku akustycznym. Te założenia i otrzymane formy równań pędu przedstawiono poniżej.

Założenie 1: ciecz newtonowska

W akustyce, medium płynu wyniesie Newtona . Dla cieczy newtonowskiej The deviatoric tensor stres związany jest z prędkością przepływu przez

gdzie jest ścinania lepkość i jest lepkość objętościowa .

Dlatego rozbieżność jest dana przez

Korzystanie tożsamość , mamy

Równania dla zachowania pędu można następnie zapisać jako

Założenie 2: Przepływ bezwirowego

Dla większości problemów akustycznych założymy, że przepływ jest bezwirowy, to znaczy, że wirowość wynosi zero. W tym wypadku

i równanie redukuje się do tempa

Założenie 3: Brak siły ciała

Innym często wykonana jest założenie, że efekt sił ciała na podłożu płynnym jest znikoma. Równanie pędu następnie dodatkowo upraszcza się

Założenie 4: Brak siły lepkości

Dodatkowo, przy założeniu, że nie ma siły lepkości w nośniku (luzem i lepkości ścinania są zerowe), równanie ma postać pędu

Założenie 5: Małe zaburzenia

Ważnym założeniem dla uproszczenia fal akustycznych jest to, że amplituda zakłóceń ilości pól jest niewielka. To założenie prowadzi do równania liniowego lub małych fal akustycznych. Następnie można wyrazić zmienne jako suma (czas uśredniony) oznacza pole ( ), która zmienia się w przestrzeni i małe pole wahań ( ), która zmienia się w czasie i przestrzeni. To jest

i

Następnie równanie pędu można wyrazić

Ponieważ wahania są uważane za mały, produkty warunkach wahań można pominąć (do pierwszego rzędu) i mamy

Założenie 6 jednorodna średniej

Następnie zakładamy, że medium jest jednorodna; w tym sensie, że czas uśrednionych zmiennych i mieć zero gradienty, czyli

Równanie pęd staje

Założenie 7: Średnie w spoczynku

Na tym etapie możemy założyć, że medium jest w stanie spoczynku, co oznacza, że średnia prędkość przepływu wynosi zero, tzn . Wówczas bilans pędu redukuje się do

Upuszczając tyldy i korzystania otrzymujemy powszechnie stosowana forma równania pędu akustycznej

Ochrona masy

Równanie dla zachowania masy w objętości płynu (bez jakichkolwiek masowych źródeł lub umywalki) jest podana

gdzie gęstość masy płynu i jest prędkością przepływu.

Równanie zachowania masy na podłożu akustyczne mogą również być otrzymane w podobny sposób do użytego do pędu.

Założenie 1: Małe zaburzenia

Od założeniu małych zaburzeń mamy

i

Wówczas równanie bilansu masy można zapisać jako

Jeśli zaniedbamy wyższe niż względem pierwszej kolejności w wahań, równanie bilansu masy staje

Założenie 2 jednorodna średniej

Następnie zakładamy, że medium jest jednorodne, czyli

Następnie równanie bilansu masy ma postać

Założenie 3: Średnio w spoczynku

Na tym etapie możemy założyć, że medium jest w stanie spoczynku, tj . Następnie równanie bilansu masy, może być wyrażona jako

Założenie 4: gaz doskonały, adiabatyczne, odwracalny

Aby zamknąć układ równań potrzebujemy równania stanu dla ciśnienia. Aby to zrobić, że założymy, że medium jest gaz doskonały i wszystkie fale akustyczne kompresować medium w adiabatycznego i odwracalny sposób. Równanie stanu może być wyrażona w postaci równania różniczkowego:

gdzie jest ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, jest ciepłem właściwym przy stałej objętości, i jest prędkością fali. Wartość 1,4 jeśli ośrodek akustycznych jest powietrze.

Dla małych zakłóceń

gdzie jest prędkość dźwięku w ośrodku.

W związku z tym,

Bilans masy można następnie zapisać jako

Upuszczając tyldy i definiowania daje nam powszechnie używane wyrażenia dla bilansu masy w środowisku akustycznym:

Obowiązujące równania we współrzędnych walcowych

Jeśli zastosujemy cylindrycznego układu współrzędnych z wektorów bazowych , a następnie gradientem do i rozbieżności w podane są

w którym prędkość przepływu jest wyrażona jako .

Równania dla zachowania pędu można następnie zapisać jako

Pod względem składników, te trzy równania dla zachowania pędu w układzie współrzędnych walcowych

Równanie dla zachowania masy może być podobnie napisany w cylindrycznym układzie współrzędnych jak

Czas harmonicznych równania akustyczne we współrzędnych walcowych

Równania akustycznych o pędu i zachowania masy są często wyrażane w czasie harmonicznej postaci (na stałej częstotliwości ). W tym przypadku, ciśnienie i prędkość przepływu są traktowane jako funkcje czasu harmonicznych formie

gdzie jest częstotliwość. Zmiana tych wyrażeń do równań rządzących w współrzędnych walcowych daje nam stałą formę częstotliwości zachowania pędu

i stała forma częstotliwość zachowania masy

Przypadek szczególny: nr Z-zależność

W szczególnym przypadku, gdy ilości pól są niezależne od współrzędna możemy wyeliminować , aby uzyskać

Zakładając, że rozwiązanie tego równania można zapisać jako

można zapisać w postaci równania różniczkowe cząstkowe

Lewa strona nie jest funkcją , natomiast prawa strona nie jest funkcją . Stąd,

gdzie jest stałą. Za pomocą zmiany

mamy

Równanie na lewej stronie jest równanie Bessela , który ma ogólny rozwiązania

gdzie jest cylindryczna funkcji Bessela pierwszego rodzaju i są niezdeterminowane stałymi. Równanie na prawo ma rozwiązanie ogólne

gdzie są niezdeterminowane stałymi. Następnie roztwór równania fal akustycznych jest

Potrzebne są warunki brzegowe na tym etapie w celu określenia i innych stałych nieokreślony.

Referencje

Zobacz też