Równanie fali akustycznej - Acoustic wave equation
W fizyce The równanie fali akustycznej reguluje rozchodzenie się fal akustycznych przez materiał nośnika. Postać równania drugiego rzędu równania różniczkowe cząstkowe . Równanie opisuje ewolucję ciśnienia akustycznego lub prędkości cząstki u jako funkcję pozycji x i czasu . Uproszczona postać równania opisuje fale akustyczne tylko w jednym wymiarze przestrzennym, podczas gdy postać bardziej ogólna opisuje fale w trzech wymiarach.
W przypadku mediów stratnych należy zastosować bardziej skomplikowane modele, aby uwzględnić tłumienie zależne od częstotliwości i prędkość fazową. Takie modele zawierają równania fal akustycznych, które zawierają pochodne ułamkowe, patrz także artykuł o tłumieniu akustycznym lub artykuł ankietowy.
W jednym wymiarze
Równanie
Równanie falowe opisujące dźwięk w jednym wymiarze (pozycja ) to
gdzie jest ciśnienie akustyczne (lokalne odchylenie od ciśnienia otoczenia), a gdzie jest prędkość dźwięku .
Rozwiązanie
Zakładając, że prędkość jest stała, niezależna od częstotliwości (przypadek bezdyspersyjny), to najbardziej ogólnym rozwiązaniem jest
gdzie i są dowolnymi dwiema podwójnie różniczkowymi funkcjami. Można to zobrazować jako superpozycję dwóch przebiegów o dowolnym profilu, z których jeden ( ) porusza się w górę osi x, a drugi ( ) w dół osi x z prędkością . Szczególny przypadek fali sinusoidalnej biegnącej w jednym kierunku uzyskuje się, wybierając jedną lub być sinusoidą, a drugą jako zero, co daje
- .
gdzie jest częstotliwość kątowa fali i jej numer falowy .
Pochodzenie
Wyprowadzenie równania falowego obejmuje trzy etapy: wyprowadzenie równania stanu, zlinearyzowane jednowymiarowe równanie ciągłości i zlinearyzowane jednowymiarowe równanie siły.
Równanie stanu ( prawo gazu doskonałego )
W procesie adiabatycznym ciśnienie P w funkcji gęstości można zlinearyzować do
gdzie C jest pewną stałą. Rozbicie ciśnienia i gęstości na ich składowe średnie i całkowite i odnotowanie, że :
- .
Adiabatyczny moduł objętościowy dla płynu jest zdefiniowany jako
co daje wynik
- .
Kondensacja, s , jest zdefiniowana jako zmiana gęstości dla danej gęstości płynu w otoczeniu.
Zlinearyzowane równanie stanu staje się
- gdzie p to ciśnienie akustyczne ( ).
Równania ciągłości (zachowanie masy) w jednym wymiarze jest
- .
Gdzie u jest prędkością przepływu płynu. Równanie musi być zlinearyzowane, a zmienne podzielone na składową średnią i zmienną.
Przegrupowanie i zauważenie, że gęstość otoczenia nie zmienia się ani w czasie, ani w położeniu, a kondensacja pomnożona przez prędkość jest bardzo małą liczbą:
Równanie siły Eulera (zachowanie pędu) jest ostatnim potrzebnym składnikiem. W jednym wymiarze równanie to:
- ,
gdzie reprezentuje pochodną konwekcyjną, substancjalną lub materialną , która jest pochodną w punkcie poruszającym się wraz z ośrodkiem, a nie w punkcie stałym.
Linearyzacja zmiennych:
- .
Zmieniając i zaniedbując małe człony, wynikowe równanie staje się linearyzowanym jednowymiarowym równaniem Eulera:
- .
Biorąc pochodną czasową równania ciągłości i pochodną przestrzenną równania siły, otrzymujemy:
- .
Pomnożenie pierwszego przez , odjęcie dwóch i podstawienie zlinearyzowanego równania stanu,
- .
Ostateczny wynik to
gdzie jest prędkość propagacji.
W trzech wymiarach
Równanie
Feynman zapewnia wyprowadzenie równania falowego dla dźwięku w trzech wymiarach, jako
gdzie jest operatorem Laplace'a , jest ciśnieniem akustycznym (lokalne odchylenie od ciśnienia otoczenia) i jest prędkością dźwięku .
Podobnie wyglądające równanie falowe, ale dla prędkości cząstki pola wektorowego jest podane przez
- .
W niektórych sytuacjach wygodniej jest rozwiązać równanie falowe dla abstrakcyjnego potencjału prędkości pola skalarnego, który ma postać
a następnie wyprowadzić wielkości fizyczne prędkość cząstki i ciśnienie akustyczne za pomocą równań (lub definicji, w przypadku prędkości cząstki):
- ,
- .
Rozwiązanie
Poniższe rozwiązania uzyskuje się przez rozdzielenie zmiennych w różnych układach współrzędnych. Są to rozwiązania wskazowe , co oznacza, że mają ukryty współczynnik zależności czasowej, gdzie jest częstotliwość kątowa . Wyraźna zależność od czasu jest dana przez
Tutaj jest liczbą falową .
współrzędne kartezjańskie
- .
Współrzędne cylindryczne
- .
gdzie asymptotyczne przybliżenia funkcji Hankla , kiedy , są
- .
Współrzędne sferyczne
- .
W zależności od wybranej konwencji Fouriera, jedna z nich reprezentuje falę biegnącą na zewnątrz, a druga niefizyczną falę biegnącą do wewnątrz. Fala rozwiązania wędrująca do wewnątrz jest tylko niefizyczna z powodu osobliwości, która występuje przy r=0; fale biegnące do wewnątrz istnieją.
Zobacz też
- Akustyka
- Tłumienie akustyczne
- Teoria akustyczna
- Równanie fali
- Równania różniczkowe
- Termodynamika
- Dynamika płynów
- Nacisk
- Prawo dotyczące gazu doskonałego