Równanie fali akustycznej - Acoustic wave equation

W fizyce The równanie fali akustycznej reguluje rozchodzenie się fal akustycznych przez materiał nośnika. Postać równania drugiego rzędu równania różniczkowe cząstkowe . Równanie opisuje ewolucję ciśnienia akustycznego lub prędkości cząstki u jako funkcję pozycji x i czasu . Uproszczona postać równania opisuje fale akustyczne tylko w jednym wymiarze przestrzennym, podczas gdy postać bardziej ogólna opisuje fale w trzech wymiarach.

W przypadku mediów stratnych należy zastosować bardziej skomplikowane modele, aby uwzględnić tłumienie zależne od częstotliwości i prędkość fazową. Takie modele zawierają równania fal akustycznych, które zawierają pochodne ułamkowe, patrz także artykuł o tłumieniu akustycznym lub artykuł ankietowy.

W jednym wymiarze

Równanie

Równanie falowe opisujące dźwięk w jednym wymiarze (pozycja ) to

gdzie jest ciśnienie akustyczne (lokalne odchylenie od ciśnienia otoczenia), a gdzie jest prędkość dźwięku .

Rozwiązanie

Zakładając, że prędkość jest stała, niezależna od częstotliwości (przypadek bezdyspersyjny), to najbardziej ogólnym rozwiązaniem jest

gdzie i są dowolnymi dwiema podwójnie różniczkowymi funkcjami. Można to zobrazować jako superpozycję dwóch przebiegów o dowolnym profilu, z których jeden ( ) porusza się w górę osi x, a drugi ( ) w dół osi x z prędkością . Szczególny przypadek fali sinusoidalnej biegnącej w jednym kierunku uzyskuje się, wybierając jedną lub być sinusoidą, a drugą jako zero, co daje

.

gdzie jest częstotliwość kątowa fali i jej numer falowy .

Pochodzenie

Wyprowadzenie równania fali akustycznej

Wyprowadzenie równania falowego obejmuje trzy etapy: wyprowadzenie równania stanu, zlinearyzowane jednowymiarowe równanie ciągłości i zlinearyzowane jednowymiarowe równanie siły.

Równanie stanu ( prawo gazu doskonałego )

W procesie adiabatycznym ciśnienie P w funkcji gęstości można zlinearyzować do

gdzie C jest pewną stałą. Rozbicie ciśnienia i gęstości na ich składowe średnie i całkowite i odnotowanie, że :

.

Adiabatyczny moduł objętościowy dla płynu jest zdefiniowany jako

co daje wynik

.

Kondensacja, s , jest zdefiniowana jako zmiana gęstości dla danej gęstości płynu w otoczeniu.

Zlinearyzowane równanie stanu staje się

gdzie p to ciśnienie akustyczne ( ).

Równania ciągłości (zachowanie masy) w jednym wymiarze jest

.

Gdzie u jest prędkością przepływu płynu. Równanie musi być zlinearyzowane, a zmienne podzielone na składową średnią i zmienną.

Przegrupowanie i zauważenie, że gęstość otoczenia nie zmienia się ani w czasie, ani w położeniu, a kondensacja pomnożona przez prędkość jest bardzo małą liczbą:

Równanie siły Eulera (zachowanie pędu) jest ostatnim potrzebnym składnikiem. W jednym wymiarze równanie to:

,

gdzie reprezentuje pochodną konwekcyjną, substancjalną lub materialną , która jest pochodną w punkcie poruszającym się wraz z ośrodkiem, a nie w punkcie stałym.

Linearyzacja zmiennych:

.

Zmieniając i zaniedbując małe człony, wynikowe równanie staje się linearyzowanym jednowymiarowym równaniem Eulera:

.

Biorąc pochodną czasową równania ciągłości i pochodną przestrzenną równania siły, otrzymujemy:

.

Pomnożenie pierwszego przez , odjęcie dwóch i podstawienie zlinearyzowanego równania stanu,

.

Ostateczny wynik to

gdzie jest prędkość propagacji.

W trzech wymiarach

Równanie

Feynman zapewnia wyprowadzenie równania falowego dla dźwięku w trzech wymiarach, jako

gdzie jest operatorem Laplace'a , jest ciśnieniem akustycznym (lokalne odchylenie od ciśnienia otoczenia) i jest prędkością dźwięku .

Podobnie wyglądające równanie falowe, ale dla prędkości cząstki pola wektorowego jest podane przez

.

W niektórych sytuacjach wygodniej jest rozwiązać równanie falowe dla abstrakcyjnego potencjału prędkości pola skalarnego, który ma postać

a następnie wyprowadzić wielkości fizyczne prędkość cząstki i ciśnienie akustyczne za pomocą równań (lub definicji, w przypadku prędkości cząstki):

,
.

Rozwiązanie

Poniższe rozwiązania uzyskuje się przez rozdzielenie zmiennych w różnych układach współrzędnych. Są to rozwiązania wskazowe , co oznacza, że ​​mają ukryty współczynnik zależności czasowej, gdzie jest częstotliwość kątowa . Wyraźna zależność od czasu jest dana przez

Tutaj jest liczbą falową .

współrzędne kartezjańskie

.

Współrzędne cylindryczne

.

gdzie asymptotyczne przybliżenia funkcji Hankla , kiedy , są

.

Współrzędne sferyczne

.

W zależności od wybranej konwencji Fouriera, jedna z nich reprezentuje falę biegnącą na zewnątrz, a druga niefizyczną falę biegnącą do wewnątrz. Fala rozwiązania wędrująca do wewnątrz jest tylko niefizyczna z powodu osobliwości, która występuje przy r=0; fale biegnące do wewnątrz istnieją.

Zobacz też

Bibliografia