Współrzędne kąta działania - Action-angle coordinates

W mechanice klasycznej , współrzędne action-angle to zestaw współrzędnych kanonicznych przydatnych w rozwiązywaniu wielu systemów do zabudowy . Metoda kątów działania jest przydatna do wyznaczania częstotliwości ruchu oscylacyjnego lub obrotowego bez rozwiązywania równań ruchu . Współrzędne kąta działania są używane głównie wtedy, gdy równania Hamiltona-Jacobiego są całkowicie rozłączne. (Stąd hamiltonian nie zależy wprost od czasu, czyli energia jest zachowana .) Zmienne kąta działania definiują niezmienniczy torus , tak zwany, ponieważ utrzymanie stałej akcji określa powierzchnię torusa , podczas gdy zmienne kątowe parametryzują współrzędne na torusie.

Warunki kwantyzacji Bohra – Sommerfelda , użyte do opracowania mechaniki kwantowej przed pojawieniem się mechaniki falowej , stwierdzają, że działanie musi być całkowitą wielokrotnością stałej Plancka ; podobnie, wgląd Einsteina w kwantyzację EBK i trudność kwantyzacji układów niecałkowalnych wyrażono w postaci niezmiennych torusów współrzędnych kąta działania.

Współrzędne kątowe akcji są również użyteczne zaburzeń teoretycznej w mechanice Hamiltona , zwłaszcza przy określaniu adiabatyczne niezmienników . Jednym z najwcześniejszych wyników teorii chaosu dla nieliniowych perturbacji układów dynamicznych z niewielką liczbą stopni swobody jest twierdzenie KAM , które stwierdza, że niezmiennicze torusy są stabilne przy małych zaburzeniach.

Użycie zmiennych kąta działania było kluczowe dla rozwiązania sieci Toda i dla definicji par Lax , lub bardziej ogólnie, idei izospektralnej ewolucji układu.

Pochodzenie

Kąty akcji wynikają z transformacji kanonicznej typu 2, w której funkcja generująca jest funkcją charakterystyczną Hamiltona ( nie główną funkcją Hamiltona ). Ponieważ oryginalny hamiltonian nie zależy w sposób wyraźny od czasu, nowy hamiltonian jest jedynie starym hamiltonianem wyrażonym za pomocą nowych współrzędnych kanonicznych , które oznaczamy jako ( kąty działania , które są uogólnionymi współrzędnymi ) i ich nowe uogólnione pędy . Nie będziemy musieli tutaj rozwiązywać samej funkcji generującej ; zamiast tego użyjemy go jedynie jako narzędzia do odniesienia nowych i starych współrzędnych kanonicznych . ${\ Displaystyle W (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle K (\ mathbf {w}, \ mathbf {J})}$ ${\ Displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle W}$

Zamiast bezpośrednio definiować kąty działania , definiujemy zamiast tego ich uogólniony pęd, który przypomina klasyczne działanie dla każdej pierwotnej uogólnionej współrzędnej ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$

{\ Displaystyle J_ {k} \ equiv \ oint p_ {k} \, \ mathrm {d} q_ {k}}

gdzie ścieżka integracji jest pośrednio określona przez funkcję stałej energii . Ponieważ rzeczywisty ruch nie jest zaangażowany w tę integrację, te uogólnione pędy są stałymi ruchu, co oznacza, że przekształcony hamiltonian nie zależy od sprzężonych uogólnionych współrzędnych ${\ Displaystyle E = E (q_ {k}, p_ {k})}$ ${\ displaystyle J_ {k}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} J_ {k} = 0 = {\ Frac {\ częściowe K} {\ częściowe w_ {k}}}}

gdzie są podane przez typowe równanie transformacji kanonicznej typu 2 ${\ displaystyle w_ {k}}$

{\ Displaystyle w_ {k} \ equiv {\ frac {\ częściowe W} {\ częściowe J_ {k}}}}

Dlatego nowy Hamiltonian zależy tylko od nowego uogólnionego pędu . ${\ Displaystyle K = K (\ mathbf {J})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$

Dynamikę kątów działania podają równania Hamiltona

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} w_ {k} = {\ Frac {\ częściowe K} {\ częściowe J_ {k}}} \ equiv \ nu _ { k} (\ mathbf {J})}

Prawa strona jest stałą ruchu (ponieważ wszystkie są). Stąd rozwiązanie jest podane przez ${\ displaystyle J}$

{\ Displaystyle w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) t + \ beta _ {k}}

gdzie jest stała integracji. W szczególności, jeśli pierwotna współrzędna uogólniona podlega oscylacji lub rotacji okresu , odpowiedni kąt działania zmienia się o . ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$ ${\ Displaystyle \ Delta w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) T}$

Są to częstotliwości oscylacji / rotacji dla oryginalnych współrzędnych uogólnionych . Aby to pokazać, integrujemy zmianę netto kąta działania w dokładnie jednej pełnej wariacji (tj. Oscylacji lub rotacji) jego uogólnionych współrzędnych ${\ Displaystyle \ nu _ {k} (\ mathbf {J})}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$

{\ Displaystyle \ Delta w_ {k} \ equiv \ oint {\ Frac {\ częściowe w_ {k}} {\ częściowe q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = \ oint {\ frac {\ częściowe ^ {2} W} {\ częściowe J_ {k} \, \ częściowe q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} J_ {k}}} \ oint {\ frac {\ częściowe W} {\ częściowe q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d} } {\ mathrm {d} J_ {k}}} \ oint p_ {k} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d} J_ {k}} {\ mathrm {d } J_ {k}}} = 1}

Ustawiając oba wyrażenia na równe, otrzymujemy pożądane równanie ${\ displaystyle \ Delta w_ {k}}$

{\ Displaystyle \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) = {\ Frac {1} {T}}}

Kąty działania to niezależny zestaw uogólnionych współrzędnych . Zatem w ogólnym przypadku każda pierwotna współrzędna uogólniona może być wyrażona jako szereg Fouriera we wszystkich kątach działania ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$

{\ displaystyle q_ {k} = \ sum _ {s_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {s_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ { s_ {N} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k} e ^ {i2 \ pi s_ {1} w_ { 1}} e ^ {i2 \ pi s_ {2} w_ {2}} \ cdots e ^ {i2 \ pi s_ {N} w_ {N}}}

gdzie jest współczynnik szeregu Fouriera. Jednak w większości praktycznych przypadków oryginalna uogólniona współrzędna będzie wyrażona jako szereg Fouriera tylko w jej własnych kątach działania ${\ Displaystyle A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$

{\ displaystyle q_ {k} = \ suma _ {s_ {k} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ {s_ {k}} ^ {k} e ^ {i2 \ pi s_ {k} w_ {k }}}

Podsumowanie podstawowego protokołu

Ogólna procedura składa się z trzech kroków:

Oblicz nowy uogólniony pęd ${\ displaystyle J_ {k}}$
Wyraź oryginalny hamiltonian całkowicie w kategoriach tych zmiennych.
Aby otrzymać częstotliwości, weź pochodne hamiltonianu w odniesieniu do tych pędów ${\ displaystyle \ nu _ {k}}$

Degeneracja

W niektórych przypadkach, częstotliwości dwóch różnych współrzędnych uogólnionych są identyczne, to znaczy za . W takich przypadkach ruch nazywa się zdegenerowanym . ${\ displaystyle \ nu _ {k} = \ nu _ {l}}$ ${\ displaystyle k \ neq l}$

Zdegenerowany ruch sygnalizuje, że istnieją dodatkowe, ogólnie konserwatywne wielkości; na przykład częstotliwości problemu Keplera są zdegenerowane, co odpowiada zachowaniu wektora Laplace'a – Runge – Lenza .

Ruch zdegenerowany sygnalizuje również, że równania Hamiltona-Jacobiego można całkowicie rozdzielić w więcej niż jednym układzie współrzędnych; na przykład problem Keplera można całkowicie oddzielić zarówno we współrzędnych sferycznych, jak i współrzędnych parabolicznych .

Zobacz też

Bibliografia

LD Landau i EM Lifshitz, (1976) Mechanics , 3rd. red., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (twarda oprawa) i ISBN 0-08-029141-4 (miękka oprawa ).
H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics , 2nd. red., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9 .Linki zewnętrzne
G. Sardanashvily , (2015) Handbook of Integrable Hamiltonian Systems , URSS. ISBN 978-5-396-00687-4 .Linki zewnętrzne
Previato, Emma (2003), Słownik matematyki stosowanej dla inżynierów i naukowców , CRC Press , Bibcode : 2003dame.book ..... P , ISBN 978-1-58488-053-0

Languages

In other projects