Aeroakustyka - Aeroacoustics

Aeroakustyka to gałąź akustyki, która bada generowanie hałasu poprzez turbulentny ruch płynu lub siły aerodynamiczne oddziałujące z powierzchniami. Generowanie hałasu można również powiązać z okresowo zmieniającymi się przepływami. Godnym uwagi przykładem tego zjawiska są tony eoliczne wytwarzane przez wiatr wiejący nad nieruchomymi obiektami.

Chociaż nie ustalono pełnej naukowej teorii generowania hałasu przez przepływy aerodynamiczne, większość praktycznej analizy aeroakustycznej opiera się na tak zwanej analogii aeroakustycznej , zaproponowanej przez Sir Jamesa Lighthilla w latach pięćdziesiątych XX wieku na Uniwersytecie w Manchesterze . gdzie równania rządzące ruchem płynu są przekształcane w postać przypominającą równanie falowe akustyki „klasycznej” (tj. liniowej) po lewej stronie, a pozostałe wyrażenia jako źródła po prawej stronie.

Historia

Można powiedzieć, że współczesna dyscyplina aeroakustyki powstała wraz z pierwszą publikacją Lighthill we wczesnych latach pięćdziesiątych XX wieku, kiedy hałas związany z silnikiem odrzutowym zaczął być poddawany naukowej kontroli.

Równanie Lighthilla

Lighthill przekształciła równania Navier'a-Stokesa , które regulują przepływ o ściśliwy lepkim płynem , w z niejednorodną równania fali , a tym samym połączenie między mechaniki płynów i akustycznych . Jest to często nazywane „analogią Lighthilla”, ponieważ przedstawia model pola akustycznego, który nie jest, ściśle mówiąc, oparty na fizyce szumu indukowanego / generowanego przez przepływ, ale raczej na analogii tego, jak mogą być one reprezentowane przez rządzące równania płynu ściśliwego.

Pierwszym interesującym równaniem jest zachowanie równania masy , które brzmi

${\ Displaystyle {\ Frac {\ części \ rho} {\ częściowe t}} + \ nabla \ cdot \ lewo (\ rho \ mathbf {v} \ prawej) = {\ Frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = 0,}$

gdzie i reprezentują gęstość i prędkość płynu, które zależą od przestrzeni i czasu, i jest podstawową pochodną . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle D / Dt}$

Dalej jest zachowanie równania pędu , które jest podane przez

${\ Displaystyle {\ rho} {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {v}} {\ częściowe t}} + {\ rho (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v}} = - \ nabla p + \ nabla \ cdot \ sigma,}$

gdzie jest ciśnienie termodynamiczne i jest lepką (lub bezśladową) częścią tensora naprężenia z równań Naviera-Stokesa. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ sigma}$

Teraz, mnożąc zachowanie równania masy przez i dodając je do równania zachowania pędu, otrzymujemy ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} \ lewo (\ rho \ mathbf {v} \ prawej) + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v}) = - \ nabla p + \ nabla \ cdot \ sigma.}$

Zauważ, że jest to tensor (zobacz także iloczyn tensora ). Rozróżniając zachowanie równania masy względem czasu, biorąc rozbieżność ostatniego równania i odejmując to drugie od poprzedniego, dochodzimy do ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ rho} {\ częściowe t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} p + \ nabla \ cdot \ nabla \ cdot \ sigma = \ nabla \ cdot \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v}).}$

Odejmowanie , gdzie jest prędkość dźwięku w ośrodku w jego stanie równowagi (lub spoczynku), z obu stron ostatniego równania i przestawienie go daje w wyniku ${\ displaystyle c_ {0} ^ {2} \ nabla ^ {2} \ rho}$${\ displaystyle c_ {0}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ rho} {\ częściowe t ^ {2}}} - c_ {0} ^ {2} \ nabla ^ {2} \ rho = \ nabla \ cdot \ lewo [\ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v}) - \ nabla \ cdot \ sigma + \ nabla p-c_ {0} ^ {2} \ nabla \ rho \ right],}$

co jest równoważne

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ rho} {\ częściowe t ^ {2}}} - c_ {0} ^ {2} \ nabla ^ {2} \ rho = (\ nabla \ otimes \ nabla): \ left [\ rho \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v} - \ sigma + (p-c_ {0} ^ {2} \ rho) \ mathbb {I} \ right],}$

gdzie jest tensorem tożsamości i oznacza (podwójny) operator kontrakcji tensora . ${\ displaystyle \ mathbb {I}}$${\ displaystyle:}$

Powyższe równanie jest znanym równaniem aeroakustyki Lighthilla . Jest to równanie falowe ze składnikiem źródłowym po prawej stronie, tj. Niejednorodne równanie falowe. Argumentem „operatora podwójnej dywergencji” po prawej stronie ostatniego równania, tj. Jest tak zwany tensor naprężenia turbulencji Lighthill dla pola akustycznego i jest on powszechnie oznaczany przez . ${\ Displaystyle \ rho \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v} - \ sigma + (p-c_ {0} ^ {2} \ rho) \ mathbb {I}}$${\ displaystyle T}$

Używając notacji Einsteina , równanie Lighthilla można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ rho} {\ częściowe t ^ {2}}} - c_ {0} ^ {2} \ nabla ^ {2} \ rho = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} T_ {ij}} {\ częściowe x_ {i} \ częściowe x_ {j}}}, \ quad (*)}$

gdzie

${\ Displaystyle T_ {ij} = \ rho v_ {i} v_ {j} - \ sigma _ {ij} + (p-c_ {0} ^ {2} \ rho) \ delta _ {ij},}$

i jest deltą Kroneckera . Każdy z terminów źródła akustycznego, tj. W , może odgrywać znaczącą rolę w generowaniu hałasu w zależności od rozważanych warunków przepływu. opisuje niestabilną konwekcję przepływu (lub naprężenie Reynoldsa, opracowane przez Osborne'a Reynoldsa ), opisuje dźwięk generowany przez lepkość i opisuje nieliniowe procesy generowania akustycznego. ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle T_ {ij}}$${\ displaystyle \ rho v_ {i} v_ {j}}$${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$${\ Displaystyle (p-c_ {0} ^ {2} \ rho) \ delta _ {ij}}$

W praktyce zwyczajowo zaniedbuje się wpływ lepkości na płyn, tj. Przyjmuje się, ponieważ ogólnie przyjmuje się, że wpływ tego ostatniego na wytwarzanie hałasu jest w większości sytuacji o rząd wielkości mniejszy niż wynikający z drugiego. warunki. Lighthill zapewnia dogłębną dyskusję na ten temat. ${\ displaystyle \ sigma = 0}$

W badaniach aeroakustycznych podejmowane są zarówno wysiłki teoretyczne, jak i obliczeniowe, aby znaleźć warunki źródła akustycznego w równaniu Lighthilla, aby sformułować stwierdzenia dotyczące odpowiednich mechanizmów aerodynamicznego generowania hałasu.

Wreszcie, ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że równanie Lighthilla jest dokładne w tym sensie, że nie dokonano żadnego przybliżenia jego wyprowadzenia.

Powiązane równania modelu

W swoim klasycznym tekstem na mechanice płynów , Landau i Lifshitz wyznaczyć aeroakustycznej równanie analogiczne do Lighthill (tj, równanie dla dźwięku generowanego przez „ burzliwy ” ruchu płynu), ale dla nieściśliwego przepływu wystąpienia nielepkiego płynu. Niejednorodne równanie falowe, które uzyskują, dotyczy raczej ciśnienia niż gęstości płynu. Ponadto, w przeciwieństwie do równania Lighthilla, równanie Landaua i Lifshitza nie jest dokładne; jest to przybliżenie. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ rho}$

Jeśli mamy pozwolić na wykonanie przybliżeń, prostszym sposobem (niekoniecznie zakładając, że płyn jest nieściśliwy ), aby uzyskać przybliżenie równania Lighthilla, jest założenie, że gdzie i są (charakterystyczne) gęstość i ciśnienie płynu w jego stan równowagi. Następnie, podstawiając założoną zależność między ciśnieniem i gęstością do otrzymujemy równanie (dla płynu nielepkiego σ = 0) ${\ displaystyle p-p_ {0} = c_ {0} ^ {2} (\ rho - \ rho _ {0})}$${\ displaystyle \ rho _ {0}}$${\ displaystyle p_ {0}}$${\ Displaystyle (*) \,}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {c_ {0} ^ {2}}} {\ Frac {\ częściowy ^ {2} p} {\ częściowy t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} p = {\ frac {\ częściowy ^ {2} {\ tilde {T}} _ {ij}} {\ częściowy x_ {i} \ częściowy x_ {j}}}, \ quad {\ text {gdzie}} \ quad {\ tilde {T}} _ {ij} = \ rho v_ {i} v_ {j}.}$

A dla przypadku, gdy płyn jest rzeczywiście nieściśliwy, tj. (Dla pewnej dodatniej stałej ) wszędzie, otrzymujemy dokładnie równanie podane u Landaua i Lifshitza, a mianowicie ${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0}}$${\ displaystyle \ rho _ {0}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {c_ {0} ^ {2}}} {\ Frac {\ częściowy ^ {2} p} {\ częściowy t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} p = \ rho _ {0} {\ frac {\ części ^ {2} {\ hat {T}} _ {ij}} {\ częściowy x_ {i} \ częściowy x_ {j}}}, \ quad {\ text {gdzie}} \ quad {\ hat {T}} _ {ij} = v_ {i} v_ {j}.}$

Podobne przybliżenie [w kontekście równania ], mianowicie sugeruje Lighthill [patrz Rów. (7) w drugim artykule]. ${\ Displaystyle (*) \,}$${\ displaystyle T \ ok \ rho _ {0} {\ hat {T}}}$

Oczywiście można by się zastanawiać, czy uzasadnione jest takie założenie . Odpowiedź jest twierdząca, jeśli przepływ spełnia pewne podstawowe założenia. W szczególności, jeśli i , to założona zależność wynika bezpośrednio z liniowej teorii fal dźwiękowych (patrz np. Zlinearyzowane równania Eulera i równanie fali akustycznej ). W rzeczywistości przybliżona zależność między a , którą założyliśmy, jest tylko liniowym przybliżeniem ogólnego równania barotropowego stanu płynu. ${\ displaystyle p-p_ {0} = c_ {0} ^ {2} (\ rho - \ rho _ {0})}$${\ displaystyle \ rho \ ll \ rho _ {0}}$${\ displaystyle p \ ll p_ {0}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ rho}$

Jednak nawet po powyższych rozważaniach nadal nie jest jasne, czy uzasadnione jest stosowanie z natury liniowej zależności w celu uproszczenia nieliniowego równania falowego. Niemniej jest to bardzo powszechna praktyka w akustyce nieliniowej, jak pokazują podręczniki na ten temat: np. Naugolnykh i Ostrovsky, Hamilton i Morfey.

Zobacz też

• Teoria akustyczna
• Harfa eolska
• Obliczeniowa aeroakustyka

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• MJ Lighthill, „On Sound Generated Aerodynamically. I. Ogólna teoria”, Proc. Natl. R. Soc. Lond. A 211 (1952) str. 564–587. Ten artykuł o JSTOR .
• MJ Lighthill, „On Sound Generated Aerodynamically. II. Turbulence as a Source of Sound”, Proc. R. Soc. Lond. A 222 (1954) s. 1–32. Ten artykuł o JSTOR .
• LD Landau i EM Lifshitz, Mechanika płynów 2ed., Kurs Fizyki Teoretycznej vol. 6, Butterworth-Heinemann (1987) § 75. ISBN   0-7506-2767-0 , wersja zapoznawcza z Amazon .
• K. Naugolnykh i L. Ostrovsky, Nonlinear Wave Processes in Acoustics , Cambridge Texts in Applied Mathematics vol. 9, Cambridge University Press (1998) rozdz. 1. ISBN   0-521-39984-X , wersja zapoznawcza z Google .
• MF Hamilton i CL Morfey, „Model Equations”, Nonlinear Acoustics , wyd. MF Hamilton i DT Blackstock, Academic Press (1998) rozdz. 3. ISBN   0-12-321860-8 , podgląd od Google .
• Aeroakustyka na Uniwersytecie Mississippi
• Aeroakustyka na Uniwersytecie w Leuven
• International Journal of Aeroacoustics
• Przykłady z zakresu aeroakustyki z NASA zarchiwizowane 04.03.2016 w Wayback Machine
• Aeroacoustics.info