Transformacja afiniczna - Affine transformation

Obraz fraktala podobnego do paproci ( paproci Barnsleya ), który wykazuje podobieństwo afiniczne . Każdy z liści paproci jest powiązany ze sobą transformacją afiniczną. Na przykład czerwony liść może zostać przekształcony zarówno w ciemnoniebieski liść, jak i dowolny jasnoniebieski liść poprzez kombinację odbicia, rotacji, skalowania i translacji.

W geometrii euklidesowej , w afinicznej transformacji , albo powinowactwa (od łacińskiego Affinis „połączony z”) jest przekształcenie geometryczne , które zachowują linii i równoległość (ale nie koniecznie , odległości i kąta ).

Mówiąc bardziej ogólnie, affine transformacja jest automorfizmem o przestrzeń afiniczna (euklidesowe przestrzenie są specyficzne przestrzenie afiniczne), to jest funkcja , która odwzorowuje przestrzeń afinicznej na siebie, przy jednoczesnym zachowaniu zarówno wymiar wszelkich afinicznych podprzestrzeni (co oznacza, że wysyła punkty punkty, linie do linii, płaszczyzny do płaszczyzn itd.) oraz stosunki długości równoległych odcinków linii. W konsekwencji zbiory równoległych podprzestrzeni afinicznych pozostają równoległe po transformacji afinicznej. Transformacja afiniczna niekoniecznie zachowuje kąty między liniami lub odległości między punktami, chociaż zachowuje proporcje odległości między punktami leżącymi na linii prostej.

Jeżeli X jest zadana przestrzeń afinicznej, wówczas każdy afinicznej transformacja X może być przedstawiony jako kompozycja o liniowej transformacji z X i translacji z X . W przeciwieństwie do transformacji czysto liniowej, transformacja afiniczna nie musi zachowywać początku przestrzeni afinicznej. Zatem każda transformacja liniowa jest afiniczna, ale nie każda transformacja afiniczna jest liniowa.

Przykłady przekształceń afinicznych obejmują translację, skalowanie , jednorodność , podobieństwo , odbicie , obrót , mapowanie ścinania i ich kombinacje w dowolnej kombinacji i kolejności.

Oglądanie przestrzeń afiniczna jako komplementarnej hiperpłaszczyznę w nieskończoność o przestrzeni rzutowej , że przekształcenia afiniczne są rzutowe przekształcenia tej przestrzeni rzutowej, które opuszczają hiperpłaszczyzna w nieskończoności niezmiennika , ograniczają się do dopełnienia tej hiperpłaszczyzny.

Uogólnienie o afinicznej transformacji jest przekształcenie afiniczne (lub afinicznej homomorfizm lub afinicznej mapowanie ) dwóch (ewentualnie różne) afinicznych miejsc w tym samym polu k . Niech ( X , V , k ) i ( Z , W , k ) będą dwiema przestrzeniami afinicznymi z X i Z zbiorami punktów oraz V i W odpowiednimi skojarzonymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem k . Odwzorowanie f : X → Z jest odwzorowaniem afinicznym , jeśli istnieje liniowe odwzorowanie m _f  : V → W takie , że m _f ( x − y ) = f ( x ) − f ( y ) dla wszystkich x, y w X .

Definicja

Niech ( X , V , k ) będzie przestrzenią afiniczną o wymiarze co najmniej dwóch, gdzie X będzie zbiorem punktów, a V skojarzoną przestrzenią wektorową nad ciałem k . Semiaffine transformacji M o X znajduje się bijection z X na siebie spełniających:

1. Jeżeli S jest d wymiarową afinicznej podprzestrzeni z X , C ( S ) również d wymiarową afinicznej podprzestrzeń X .
2. Jeśli S i T są równoległymi afinicznymi podprzestrzeniami X , to f ( S ) || f ( T ) .

Te dwa warunki wyrażają dokładnie to, co rozumie się przez wyrażenie, że „ f zachowuje równoległość”.

Te warunki nie są niezależne, ponieważ drugi wynika z pierwszego. Co więcej, jeśli pole k ma co najmniej trzy elementy, pierwszy warunek można uprościć do: f jest kolineacją , czyli odwzorowuje linie na linie.

Jeśli wymiar przestrzeni afinicznej ( X , V , k ) wynosi co najmniej dwa, to transformacja afiniczna jest transformacją półafiniczną f spełniającą warunek: Jeżeli x ≠ y i p ≠ q są punktami X takimi, że xy i pq są równoległe, wtedy

${\ Displaystyle {\ Frac {\ | {\ overline {pq}} \ |} {\ | {\ overline {xy}} \ |}} = {\ Frac {\ | {\ overline {f (p) f ( q)}}\|}{\|{\nadkreślenie {f(x)f(y)}}\|}}.}$

Linie afiniczne

Jeżeli wymiar przestrzeni afinicznej jest jeden, to znaczy, że przestrzeń jest afiniczne linia, wtedy każda permutacja z X automatycznie spełniają warunki się semiaffine przekształcać. Zatem transformacja afiniczna linii afinicznej jest zdefiniowana jako dowolna permutacja f punktów X taka, że ​​jeśli x ≠ y i p ≠ q są punktami X , wtedy

${\ Displaystyle {\ Frac {\ | {\ overline {pq}} \ |} {\ | {\ overline {xy}} \ |}} = {\ Frac {\ | {\ overline {f (p) f ( q)}}\|}{\|{\nadkreślenie {f(x)f(y)}}\|}}.}$

Struktura

Z definicji przestrzeni afinicznej, V działa na X , tak że dla każdej pary ( x , v ) w X × V jest związany punkt y w X . Możemy oznaczyć to działanie przez v → ( x ) = y . Tutaj używamy konwencji, że v → = v są dwoma wymiennymi zapisami dla elementu V . Ustalając punkt c w X można zdefiniować funkcję m _c  : X → V przez m _c ( x ) = cx → . Dla dowolnego c , ta funkcja jest jeden do jednego, a więc ma funkcję odwrotną m _c ^-1  : V → X podaną przez m _c ^-1 ( v ) = v → ( c ) . Funkcje te można wykorzystać do zamiany X w przestrzeń wektorową (w odniesieniu do punktu c ) poprzez zdefiniowanie:

• ${\ Displaystyle x + y = m_ {c} ^ {-1} \ lewo (m_ {c} (x) + m_ {c} (y) \ prawo), {\ tekst {dla wszystkich}} x, y { \text{ w }}X,}$ i
• ${\ Displaystyle rx = m_ {c} ^ {-1} \ lewo (rm_ {c} (x) \ prawo), {\ tekst {dla wszystkich}} r {\ tekst {w}} k {\ tekst {i }}x{\text{ w }}X.}$

Ta przestrzeń wektorowa ma początek c i formalnie musi być odróżniona od przestrzeni afinicznej X , ale powszechną praktyką jest oznaczanie jej tym samym symbolem i wzmianka, że ​​jest to przestrzeń wektorowa po określeniu początku. Ta identyfikacja umożliwia postrzeganie punktów jako wektorów i odwrotnie.

Dla dowolnej transformacji liniowej λ z V , możemy zdefiniować funkcję L ( c , λ ) : X → X przez

${\ Displaystyle L (c \ lambda ) (x) = m_ {c} ^ {-1} \ lewo (\ lambda (m_ {c} (x)) \ prawej) = c + \ lambda ({\ vec {cx }}).}$

Wtedy L ( c , λ ) jest transformacją afiniczną X, która pozostawia punkt c ustalony. Jest to liniowa transformacja X , widziana jako przestrzeń wektorowa o początku c .

Niech σ będzie dowolną transformacją afiniczną X . Piłki, punkt C na X, i pod translację X przez wektor , oznaczony przez T _wag . Tłumaczenia są przekształceniami afinicznymi, a złożenie przekształceń afinicznych jest przekształceniem afinicznym. Dla tego wyboru c , istnieje jednoznaczne przekształcenie liniowe λ z V takie, że ${\ Displaystyle {\ mathbf {w}} = {\ overrightarrow {c \ sigma (c)}}}$

${\ Displaystyle \ sigma (x) = T_ {\ mathbf {w}} \ lewo (L (c, \ lambda) (x) \ prawo).}$

Oznacza to, że arbitralna transformacja afiniczna X jest złożeniem transformacji liniowej X (rozumianej jako przestrzeń wektorowa) i translacją X .

Ta reprezentacja transformacji afinicznej jest często traktowana jako definicja transformacji afinicznej (z domyślnym wyborem pochodzenia).

Reprezentacja

Jak pokazano powyżej, mapa afiniczna jest złożeniem dwóch funkcji: translacji i mapy liniowej. Algebra zwykłych wektorów używa mnożenia macierzy do reprezentowania map liniowych i dodawania wektorów do reprezentowania translacji. Formalnie, w przypadku skończenie wymiarowym, jeśli odwzorowanie liniowe jest reprezentowane jako mnożenie przez macierz odwracalną, a translacja jako dodanie wektora , afiniczna mapa działająca na wektor może być reprezentowana jako ${\ Displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {b}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {x}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} = f (\ mathbf {x}) = A \ mathbf {x} + \ mathbf {b}}.$

Rozszerzona macierz

Odtwórz multimedia

Transformacje afiniczne na płaszczyźnie 2D mogą być wykonywane przez transformacje liniowe w trzech wymiarach. Translacja odbywa się poprzez ścinanie wzdłuż osi z, a obrót wykonywany jest wokół osi z.

Używając rozszerzonej macierzy i rozszerzonego wektora, możliwe jest przedstawienie zarówno translacji, jak i odwzorowania liniowego za pomocą pojedynczego mnożenia macierzy . Technika ta wymaga, aby wszystkie wektory były rozszerzone o „1” na końcu, a wszystkie macierze były rozszerzone o dodatkowy rząd zer na dole, dodatkową kolumnę — wektor translacji — po prawej i „1” w w prawym dolnym rogu. Jeśli jest macierzą, ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} \ mathbf {y} \ \ 1 \ koniec {bmatrix}} = \ lewo [{\ zacząć {tablica} {ccc | c} i A & & \ mathbf {b} \ \ 0 i \ cdots i 0 i 1 \end{array}}\right]{\begin{bmacierz}\mathbf {x} \\1\end{bmacierz}}}$

jest odpowiednikiem następującego

${\ Displaystyle \ mathbf {y} = A \ mathbf {x} + \ mathbf {b}}.$

Wspomniana powyżej macierz rozszerzona nazywana jest macierzą transformacji afinicznej . W ogólnym przypadku, gdy wektor ostatniego wiersza nie jest ograniczony do , macierz staje się macierzą rzutową transformacji (ponieważ może być również używana do wykonywania transformacji rzutowych ). ${\ Displaystyle \ lewo [{\ zacząć {tablica} {ccc | c} 0 i \ cdots i 0 i 1 \ koniec {tablica}} \ prawej]}$

Ta reprezentacja wykazuje zbiór wszystkich odwracalnych przekształcenia afiniczne jak iloczynów produktu z a . Jest to grupa podlegająca działaniu kompozycji funkcji, zwana grupą afiniczną . ${\ Displaystyle K ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Operatorname {GL} (n, K)}$

Zwykłe mnożenie macierzy-wektora zawsze odwzorowuje początek na początek i dlatego nigdy nie może reprezentować translacji, w której początek musi być koniecznie odwzorowany na jakiś inny punkt. Dołączając dodatkową współrzędną „1” do każdego wektora, zasadniczo uważa się, że przestrzeń ma być odwzorowana jako podzbiór przestrzeni z dodatkowym wymiarem. W tej przestrzeni oryginalna przestrzeń zajmuje podzbiór, w którym dodatkowa współrzędna wynosi 1. W ten sposób początek oryginalnej przestrzeni można znaleźć w . Translacja w oryginalnej przestrzeni za pomocą liniowej transformacji przestrzeni o wyższym wymiarze jest wtedy możliwa (w szczególności transformacja ścinania). Współrzędne w przestrzeni wyższego wymiaru są przykładem współrzędnych jednorodnych . Jeśli oryginalna przestrzeń jest euklidesowa , to przestrzeń wyższego wymiaru jest rzeczywistą przestrzenią rzutową . ${\displaystyle (0,0,\kropki ,0,1)}$

Zaletą stosowania współrzędnych jednorodnych jest to, że można połączyć dowolną liczbę przekształceń afinicznych w jedno, mnożąc odpowiednie macierze. Ta właściwość jest szeroko stosowane w grafice komputerowej , wizji komputerowej i robotyki .

Przykładowa macierz rozszerzona

Jeśli wektory są podstawą projekcyjnej miejsca w domenie wektora, a jeśli to odpowiednie wektory w codomain przestrzeni wektorowej następnie zwiększonych matrycy , który osiąga tę afinicznej transformacji ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {1}, \ kropki, \ mathbf {x} _ {n + 1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {1}, \ kropki, \ mathbf {y} _ {n + 1}}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} \ mathbf {y} \\ 1 \ koniec {bmatrix}} = M {\ zacząć {bmatrix} \ mathbf {x} \ \ 1 \ koniec {bmatrix}}}$

jest

${\ Displaystyle M = {\ zacząć {bmatrix} \ mathbf {y} _ {1} i \ cdots i \ mathbf {y} _ {n + 1} \ \ 1 i \ cdots i 1 \ koniec {bmatrix}} {\ zacząć {bmacierz}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmacierz}}^{-1}.}$

To sformułowanie działa niezależnie od tego, czy którakolwiek z przestrzeni wektorowych domeny, kodomeny i obrazu ma taką samą liczbę wymiarów.

Na przykład transformacja afiniczna płaszczyzny wektorowej jest jednoznacznie określona na podstawie wiedzy o tym, gdzie trzy wierzchołki ( ) niezdegenerowanego trójkąta są mapowane do ( ), niezależnie od liczby wymiarów współdomeny i niezależnie od tego, czy trójkąt jest niezdegenerowany w przeciwdomenie. ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {1}, \ mathbf {x} _ {2}, \ mathbf {x} _ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {1}, \ mathbf {y} _ {2}, \ mathbf {y} _ {3}}$

Nieruchomości

Zachowane właściwości

Przekształcenie afiniczne zachowuje:

1. współliniowość między punktami: co najmniej trzy punkty leżące na tej samej linii (zwane punktami współliniowymi) pozostają współliniowe po przekształceniu.
2. równoległość : dwie lub więcej linii, które są równoległe, pozostają równoległe po transformacji.
3. wypukłość zbiorów: zbiór wypukły pozostaje wypukły po przekształceniu. Co więcej, skrajne punkty oryginalnego zbioru są mapowane na skrajne punkty przekształconego zbioru.
4. stosunki długości równoległych odcinków linii: dla odrębnych odcinków równoległych określonych przez punkty i , i , stosunek i jest taki sam jak i .${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle p_{3}}$${\displaystyle p_{4}}$${\displaystyle {\overrightarrow {p_{1}p_{2}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}}$
5. barycentra ważonych zbiorów punktów.

Grupy

Transformacja afiniczna jest odwracalna , a zatem jest odwracalna. W reprezentacji macierzowej odwrotność to: ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ lewo [{\ zacząć {tablica} {ccc | c} i A ^ {-1} i A ^ {-1} {\ vec {b}} \ \ \ 0 i \ ldots i 0 i 1 \ koniec {tablica} }\dobrze]}$

Odwracalne przekształcenia afiniczne (przestrzeni afinicznej na siebie) tworzą grupę afiniczną , która ma ogólną grupę liniową stopnia jako podgrupę i sama jest podgrupą ogólnej grupy liniowej stopnia . ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$

Te przemiany podobieństwo tworzą podgrupę którym jest A razy skalarne macierzą ortogonalną . Na przykład, jeśli przekształcenie afiniczne działa na płaszczyźnie, jeżeli wyznacznik z ma wartość 1 lub -1, transformacja jest equiareal odwzorowania . Takie przekształcenia tworzą podgrupę zwaną grupą równo-afiniczną . Transformacja, która jest zarówno równoafiniczna, jak i podobieństwa, jest izometrią płaszczyzny wziętą z odległości euklidesowej . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$

Każda z tych grup zawiera podgrupę orientacji -preserving lub dodatnich przemian afinicznych: takie, w których czynnikiem determinującym jest dodatni. W ostatnim przypadku jest to w 3D grupa przekształceń sztywnych ( obroty właściwe i translacje czyste). ${\ Displaystyle A}$

Jeśli istnieje punkt stały, możemy przyjąć go jako początek, a transformacja afiniczna sprowadza się do transformacji liniowej. Może to ułatwić klasyfikację i zrozumienie transformacji. Na przykład opisanie transformacji jako obrotu o określony kąt w stosunku do określonej osi może dać jaśniejsze pojęcie o ogólnym zachowaniu transformacji niż opisywanie jej jako kombinacji przesunięcia i obrotu. Zależy to jednak od aplikacji i kontekstu.

Mapy afiniczne

Odwzorowanie afiniczne między dwiema przestrzeniami afinicznymi to odwzorowanie punktów, które działa liniowo na wektory (czyli wektory między punktami przestrzeni). W symbolach określa transformację liniową taką, że dla dowolnej pary punktów : ${\ Displaystyle f \ dwukropek {\ mathcal {A}} \ do {\ mathcal {B}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle {\ overrightarrow {f (P) ~ f (Q)}} = \ varphi ({\ overrightarrow {PQ}})}$

lub

${\ Displaystyle f (Q)-f (P) = \ varphi (QP)}$.

Możemy zinterpretować tę definicję na kilka innych sposobów, jak następuje.

Jeśli wybrano źródło i oznacza jego obraz , oznacza to, że dla dowolnego wektora : ${\ Displaystyle O \ w {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle f (O) \ w {\ mathcal {B}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\ Displaystyle f \ dwukropek (O + {\ vec {x}}) \ mapsto (B + \ varphi ({\ vec {x}}}))}$.

Jeśli wybrano również pochodzenie , można to rozłożyć na transformację afiniczną, która wysyła , a mianowicie ${\ Displaystyle O'\ w {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle g \ dwukropek {\ mathcal {A}} \ do {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle O \ mapsto O'}$

${\ Displaystyle g \ dwukropek (O + {\ vec {x}}) \ mapsto (O '+ \ varphi ({\ vec {x}}}))}$,

po którym następuje translacja przez wektor . ${\ Displaystyle {\ vec {b}} = {\ overrightarrow {O'B}}}$

Wniosek jest taki, że intuicyjnie składa się z tłumaczenia i mapy liniowej. ${\displaystyle f}$

Alternatywna definicja

Mając dwie przestrzenie afiniczne i , w tym samym polu, funkcja jest mapą afiniczną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej rodziny punktów ważonych w takiej, że ${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}}}$${\ Displaystyle f \ dwukropek {\ mathcal {A}} \ do {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle \ {(a_ {i}, \ lambda _ {i}) \} _ {i \ w I}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} \ lambda _ {i} = 1}$,

mamy

${\ Displaystyle f \ lewo (\ suma _ {i \ w ja} \ lambda _ {i} a_ {i} \ po prawej) = \ suma _ {i \ w ja} \ lambda _ {i} f (a_ {i })}$.

Innymi słowy, konserwuje barycentra . ${\displaystyle f}$

Historia

Słowo „afina” jako termin matematyczny jest zdefiniowane w powiązaniu ze stycznymi do krzywych w Euler 's Introductio in analysin infinitorum z 1748 roku . Felix Klein przypisuje termin „transformacja afiniczna” Möbiusowi i Gaussowi .

Transformacja obrazu

W swoich zastosowaniach do cyfrowego przetwarzania obrazu przekształcenia afiniczne są analogiczne do drukowania na arkuszu gumy i rozciągania krawędzi arkusza równolegle do płaszczyzny. Ta transformacja przenosi piksele wymagające interpolacji intensywności w celu przybliżenia wartości przesuniętych pikseli. Interpolacja dwusześcienna jest standardem dla transformacji obrazu w aplikacjach do przetwarzania obrazu. Transformacje afiniczne skalują, obracają, przesuwają, odbijają i ścinają obrazy, jak pokazano w poniższych przykładach:

Nazwa transformacji	Macierz afiniczna	Przykład
Tożsamość (przekształcenie w oryginalny obraz)	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\koniec {bmatrix}}}$
Tłumaczenie	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 i v_ {x}> 0 \ \ 0 i 1 i v_ {y} = 0 \ \ 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$
Odbicie	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} -1 i 0 i 0 \ \ 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrycy}}}$
Skala	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} c_ {x} = 2 i 0 i 0 \ \ 0 i c_ {y} = 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$
Obracać się	${\displaystyle {\początek{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0\\\sin(\theta)&\cos(\theta)&0\\\0&0&1\koniec{bmatrix}}}$	gdzie θ = π/6 =30°
Ścinanie	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1 i c_ {x} = 0,5 i 0 \ \ c_ {y} = 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$

Przekształcenia afiniczne mają zastosowanie w procesie rejestracji, w którym dwa lub więcej obrazów jest wyrównanych (zarejestrowanych). Przykładem rejestracji obrazu jest generowanie obrazów panoramicznych, które są produktem wielu połączonych obrazów .

Wypaczenie afiniczne

Przekształcenie afiniczne zachowuje linie równoległe. Jednak transformacje rozciągania i ścinania wypaczają kształty, jak pokazano w poniższym przykładzie:

To jest przykład zniekształcenia obrazu. Jednak przekształcenia afiniczne nie ułatwiają projekcji na zakrzywioną powierzchnię ani zniekształceń promieniowych .

W samolocie

Dylatacja centralna. Trójkąty A1B1Z, A1C1Z i B1C1Z są mapowane odpowiednio do A2B2Z, A2C2Z i B2C2Z.

Transformacje afiniczne w dwóch rzeczywistych wymiarach obejmują:

• czyste tłumaczenia,
• skalowanie w danym kierunku, względem prostej w innym kierunku (niekoniecznie prostopadłej), połączone z przesunięciem, które nie jest wyłącznie w kierunku skalowania; biorąc „skalowanie” w sensie uogólnionym obejmuje przypadki, w których współczynnik skali jest zerowy ( projekcja ) lub ujemny; ta ostatnia zawiera odbicie , aw połączeniu z translacją zawiera odbicie poślizgu ,
• rotacja połączona z jednorodnością i tłumaczeniem,
• mapowanie ścinania połączone z jednorodnością i translacją, lub
• mapowanie ściśnięcia połączone z jednorodnością i tłumaczeniem.

Aby zobrazować ogólną transformację afiniczną płaszczyzny euklidesowej , weź oznaczone równoległoboki ABCD i A′B′C′D′ . Niezależnie od wyboru punktów, istnieje transformacja afiniczna T płaszczyzny, która prowadzi od A do A′ , a każdy wierzchołek jest podobny. Przypuśćmy, że wykluczymy zdegenerowany przypadek, w którym ABCD ma zerową powierzchnię , istnieje taka unikalna transformacja afiniczna T . Rysując całą siatkę równoległoboków w oparciu o ABCD , obraz T ( P ) dowolnego punktu P jest określany przez odnotowanie , że T ( A ) = A′ , T przyłożony do odcinka AB jest A′B′ , T przyłożony do odcinek AC to A′C′ , a T uwzględnia skalarne wielokrotności wektorów w punkcie A . [Jeżeli , E , F są współliniowe czym stosunek długości ( AF ) / długość ( AE ) jest równa długości ( " F ") / długość ( " E ").] Geometrycznie T przekształca sieci opartej na ABCD z z siedzibą w A′B′C′D′ .

Transformacje afiniczne nie uwzględniają długości ani kątów; mnożą powierzchnię przez stały współczynnik

powierzchnia A′B′C′D′ / powierzchnia ABCD .

Dany T może być albo bezpośredni (orientacja zakresie) lub pośrednio (odwrotna orientacja), co można ustalić ich wpływ na zawartych miejscach (jak określono, na przykład, przez iloczynu wektorów).

Przykłady

Nad liczbami rzeczywistymi

Funkcje z i w są właśnie te transformacje afiniczne na prostej rzeczywistej . ${\ Displaystyle f \ dwukropek \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R} \; f (x) = mx + c}$${\ Displaystyle m}$${\displaystyle c}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Nad skończonym polem

Poniższe równanie wyraża transformację afiniczną GF (2 ⁸ ) widzianą jako 8-wymiarową przestrzeń wektorową nad GF(2), która jest używana w kryptoalgorytmie Rijndael (AES) :

${\ Displaystyle \ {a' \} = M \ {a \} \ oplus \ {v \}}$

gdzie jest macierz poniżej, jest ustalonym wektorem i Konkretnie, ${\ Displaystyle [M]}$${\ Displaystyle \ {v \}}$${\ Displaystyle \ {a \} = (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, a_ {5}, a_ {6}, a_ {7}) .}$ ${\ Displaystyle M \ {A \} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 i 1 i 1 i 1 i 1 \\ 1 i 1 i 0 i 0 i 0 i 1 i 1 i 1 \\ 1 i 1 i 1 i 0 i 0 i 0 i 1 i 1 \\ 1 i 1 i 1 i 1 i 0 i 0 i 0 i 1 \\ 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} a_ {0} \ \ a_ {1} \ \ a_ {2} \ \ a_ {3} \ \ a_ {4} \ \ a_ {5} \ \ a_ {6} \ \a_{7}\koniec{bmatrycy}}}$ i ${\ Displaystyle \ {v \} = {\ zacząć {bmatrix} 1 \ \ 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 1 \ \ 1 \ \ 0 \ koniec {bmatrix}}.}$

Na przykład transformacja afiniczna elementu w notacji binarnej big-endian jest obliczana w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ {a \} = Y ^ {7} + Y ^ {6} + Y ^ {3} + Y = \ {11001010_ {2} \}}$

${\ Displaystyle a_ {0}'= a_ {0} \ oplus a_ {4} \ oplus a_ {5} \ oplus a_ {6} \ oplus a_ {7} \ oplus 1 = 0 \ oplus 0 \ oplus 0 \ oplus 1\oplus 1\oplus 1=1}$

${\ Displaystyle a_ {1}'= a_ {0} \ oplus a_ {1} \ oplus a_ {5} \ oplus a_ {6} \ oplus a_ {7} \ oplus 1 = 0 \ oplus 1 \ oplus 0 \ oplus 1\oplus 1\oplus 1=0}$

${\ Displaystyle a_ {2}'= a_ {0} \ oplus a_ {1} \ oplus a_ {2} \ oplus a_ {6} \ oplus a_ {7} \ oplus 0 = 0 \ oplus 1 \ oplus 0 \ oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}$

${\displaystyle a_{3}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}$

${\displaystyle a_{4}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0=0}$

${\ Displaystyle a_ {5} '= a_ {1} \ oplus a_ {2} \ oplus a_ {3} \ oplus a_ {4} \ oplus a_ {5} \ oplus 1 = 1 \ oplus 0 \ oplus 1 \ oplus 0\oplus 0\oplus 1=1}$

${\ Displaystyle a_ {6}' = a_ {2} \ oplus a_ {3} \ oplus a_ {4} \ oplus a_ {5} \ oplus a_ {6} \ oplus 1 = 0 \ oplus 1 \ oplus 0 \ oplus 0\oplus 1\oplus 1=1}$

${\ Displaystyle a_ {7}' = a_ {3} \ oplus a_ {4} \ oplus a_ {5} \ oplus a_ {6} \ oplus a_ {7} \ oplus 0 = 1 \ oplus 0 \ oplus 0 \ oplus 1\oplus 1\oplus 0=1.}$

Tak więc . ${\ Displaystyle \ {a '\} = r ^ {7} + r ^ {6} + r ^ {5} + r ^ {3} + r ^ {2} + 1 = \ {11101101_ {2} \} }$

W geometrii płaskiej

Prosta transformacja afiniczna na płaszczyźnie rzeczywistej

Efekt zastosowania różnych macierzy transformacji afinicznej 2D na kwadrat jednostkowy. Zauważ, że macierze odbicia są szczególnymi przypadkami macierzy skalowania.

W programie transformacja pokazana po lewej stronie jest realizowana za pomocą mapy podanej przez: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ zacznij {bmatrix} x \ \ y \ koniec {bmatrix}} \ mapsto {\ zacznij {bmatrix} 0 i 1 \ \ 2 i 1 \ koniec {bmatrix}} {\ zacznij {bmatrix} x \ \ y \ koniec { bmatryca}}+{\begin{bmacierz}-100\\-100\end{bmatryca}}}$

Przekształcenie trzech punktów narożnych pierwotnego trójkąta (na czerwono) daje trzy nowe punkty, które tworzą nowy trójkąt (na niebiesko). Ta transformacja przekrzywia i tłumaczy oryginalny trójkąt.

W rzeczywistości wszystkie trójkąty są ze sobą powiązane transformacjami afinicznymi. Odnosi się to również do wszystkich równoległoboków, ale nie do wszystkich czworokątów.

Zobacz też

• Anamorfoza – artystyczne zastosowania przekształceń afinicznych
• Geometria afiniczna
• projekcja 3D
• Homografia
• Płaski (geometria)
• Funkcja wygięta

Uwagi

Bibliografia

• Berger, Marcel (1987), Geometria I , Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Brannan, David A.; Esplen, Mateusz F.; Szary, Jeremy J. (1999), Geometria , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
• Nomizu, Katsumi ; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
• Klein Felix (1948) [1939], Matematyka elementarna z zaawansowanego punktu widzenia: Geometria , Dover
• Samuel, Pierre (1988), Geometria rzutowa , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
• Sharpe'a, RW (1997). Geometria różniczkowa: uogólnienie Cartana programu Erlangen Kleina . Nowy Jork: Springer. Numer ISBN 0-387-94732-9.
• Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989) [1971], Metric Affine Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-66108-7
• Wan, Zhe-xian (1993), Geometria grup klasycznych nad polami skończonymi , Chartwell-Bratt, ISBN 0-86238-326-9

Linki zewnętrzne

• Multimedia związane z transformacją afiniczną w Wikimedia Commons
• „Transformacja afiniczna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Operacje geometryczne: transformacja afiniczna , R. Fisher, S. Perkins, A. Walker i E. Wolfart.
• Weisstein, Eric W. „Transformacja afiniczna” . MatematykaŚwiat .
• Transformacja afiniczna Bernarda Vuilleumiera, Wolfram Demonstrations Project .
• Transformacja afiniczna z MATLAB