Przewiewny dysk - Airy disk

Wygenerowany komputerowo obraz dysku Airy. W skali szarości intensywności zostały skorygowane w celu zwiększenia jasności pierścieni zewnętrznych wzoru Airy.

Wygenerowany komputerowo dysk Airy'ego z ugiętego światła białego ( widmo D65 ). Zauważ, że czerwony składnik ulega dyfrakcji bardziej niż niebieski, przez co środek wydaje się nieco niebieskawy.

Prawdziwy dysk Airy'ego stworzony przez przepuszczenie czerwonej wiązki laserowej przez 90- mikrometrowy otwór otworkowy z 27 rzędami dyfrakcji

Przewiewny dysk uchwycony przez obiektyw aparatu 2000 mm przy przysłonie f/25. Rozmiar obrazu: 1×1 mm.

W optyce The disk Airy (lub dysk Airy ) i Airy wzór są opisy najlepsze- skupionej miejscu z lekka , że doskonały obiektyw z okrągłym otworem może sprawić, ograniczona przez dyfrakcję światła. Dysk Airy'ego ma znaczenie w fizyce , optyce i astronomii .

Wzór dyfrakcyjny wynikający z równomiernie oświetlonej, kołowej szczeliny ma jasny obszar centralny , znany jako dysk Airy'ego, który wraz z serią koncentrycznych pierścieni wokół nazywa się wzorem Airy'ego. Oba noszą imię George'a Biddella Airy'ego . Zjawisko dysku i pierścieni było znane przed Airym; John Herschel opisał wygląd jasnej gwiazdy widzianej przez teleskop pod dużym powiększeniem w artykule o świetle z 1828 roku dla Encyclopedia Metropolitana :

...gwiazda jest wtedy widziana (w sprzyjających okolicznościach spokojnej atmosfery, jednolitej temperatury itp.) jako idealnie okrągły, dobrze zdefiniowany dysk planetarny, otoczony dwoma, trzema lub więcej na przemian ciemnymi i jasnymi pierścieniami, które, jeśli uważnie zbadane, są widoczne jako lekko zabarwione na ich brzegach. Następują po sobie prawie w równych odstępach wokół centralnego dysku....

Airy napisał pierwszą pełną teoretyczną obróbkę wyjaśniającą to zjawisko (jego 1835 „O dyfrakcji obiektu-szkło z okrągłą aperturą”).

Matematycznie wzór dyfrakcyjny charakteryzuje się długością fali światła oświetlającego okrągłą aperturę oraz jej rozmiarem. Wyglądu wzoru dyfrakcji jest dodatkowo znamienny przez czułość oka lub inny czujnik do obserwacji wzoru.

Najważniejszym zastosowaniem tej koncepcji są kamery , mikroskopy i teleskopy. Ze względu na dyfrakcję najmniejszy punkt, do którego soczewka lub lustro może skierować wiązkę światła, ma wielkość dysku Airy'ego. Nawet gdyby udało się zrobić doskonały obiektyw, nadal istnieje granica rozdzielczości obrazu tworzonego przez taki obiektyw. Układ optyczny, w którym rozdzielczość nie jest już ograniczana przez niedoskonałości soczewek, a jedynie przez dyfrakcję, jest uważany za ograniczony dyfrakcyjnie .

Rozmiar

Daleko od apertury kąt, przy którym występuje pierwsze minimum, mierzony od kierunku wpadającego światła, określa przybliżony wzór:

${\ Displaystyle \ sin \ theta \ ok 1,22 {\ Frac {\ Lambda} {d}}}$

lub, dla małych kątów, po prostu

${\ Displaystyle \ theta \ około 1,22 {\ Frac {\ lambda} {d}}}$

gdzie θ jest w radianach, λ jest długością fali światła w metrach, a d jest średnicą apertury w metrach. Airy napisał to jako

${\ Displaystyle s = {\ Frac {2,76} {a}},}$

gdzie s był kątem pierwszego minimum w sekundach łuku, a był promieniem apertury w calach, a długość fali światła przyjęto jako 0,000022 cala (560 nm; średnia długości fal widzialnych). Odpowiada to rozdzielczości kątowej apertury kołowej. Kryterium Rayleigha dla jęczmienia rozwiązania dwóch obiektów, które są punktowe źródła światła, takie jak gwiazdy widoczne przez teleskop jest to, że środek plamka airy'ego dla pierwszego obiektu odbywa się na pierwszej tarczy minimum przewiewnej drugiego. Oznacza to, że rozdzielczość kątowa układu o ograniczonej dyfrakcji jest określona tymi samymi wzorami.

Jednak podczas gdy kąt, przy którym występuje pierwsze minimum (który jest czasami określany jako promień dysku Airy'ego) zależy tylko od długości fali i rozmiaru apertury, wygląd wzoru dyfrakcji będzie się różnić w zależności od intensywności (jasności) źródła światła . Ponieważ każdy detektor (oczny, filmowy, cyfrowy) używany do obserwowania wzoru dyfrakcyjnego może mieć próg intensywności detekcji, pełny obraz dyfrakcyjny może nie być widoczny. W astronomii zewnętrzne pierścienie często nie są widoczne nawet na bardzo powiększonym obrazie gwiazdy. Może się zdarzyć, że żaden z pierścieni nie jest widoczny, w którym to przypadku obraz gwiazdy pojawia się jako dysk (tylko centralne maksimum), a nie jako pełny obraz dyfrakcyjny. Co więcej, słabsze gwiazdy będą wyglądać jak mniejsze dyski niż gwiazdy jaśniejsze, ponieważ mniej ich centralnego maksimum osiąga próg detekcji. Podczas gdy teoretycznie wszystkie gwiazdy lub inne "źródła punktowe" o danej długości fali i widziane przez daną aperturę mają ten sam promień dysku Airy'ego scharakteryzowany powyższym równaniem (i ten sam rozmiar wzoru dyfrakcji), różniący się jedynie intensywnością, wygląda na to, że słabsze źródła pojawiają się jako mniejsze dyski, a jaśniejsze źródła pojawiają się jako większe dyski. Zostało to opisane przez Airy'ego w jego oryginalnej pracy:

Gwałtowny spadek światła w kolejnych pierścieniach wystarczająco wyjaśni widoczność dwóch lub trzech pierścieni z bardzo jasną gwiazdą i niewidzialność pierścieni ze słabą gwiazdą. Różnica średnic centralnych punktów (lub fałszywych dysków) różnych gwiazd… jest również w pełni wyjaśniona. Tak więc promień fałszywego dysku słabej gwiazdy, w którym światło o natężeniu mniejszym niż połowa światła centralnego nie robi wrażenia na oku, jest określony przez [ s = 1,17/ a ], podczas gdy promień fałszywego dysku gwiazdy jasną gwiazdę, w której odczuwalne jest światło 1/10 natężenia światła centralnego, określa się wzorem [ s = 1,97/ a ].

Pomimo tej cechy pracy Airy'ego, promień dysku Airy'ego jest często podawany jako kąt pierwszego minimum, nawet w standardowych podręcznikach. W rzeczywistości kąt pierwszego minimum jest wartością graniczną dla rozmiaru dysku Airy'ego, a nie określonym promieniem.

Przykłady

Wykres logarytmiczny średnicy apertury w funkcji rozdzielczości kątowej przy granicy dyfrakcji dla różnych długości fal światła w porównaniu z różnymi instrumentami astronomicznymi. Na przykład, niebieska gwiazda pokazuje, że Teleskop Kosmiczny Hubble'a ma prawie ograniczoną dyfrakcję w zakresie widzialnym przy 0,1 sekundy łukowej, podczas gdy czerwone kółko pokazuje, że ludzkie oko powinno mieć rozdzielczość 20 sekund kątowych teoretycznie, chociaż widzenie 20/20 ustępuje tylko do 60 sekund kątowych (1 minuta kątowa)

Kamery

Jeśli dwa obiekty sfotografowane przez kamerę są rozdzielone kątem na tyle małym, że ich dyski Airy w detektorze kamery zaczynają się nakładać, obiekty nie mogą być już wyraźnie oddzielone na obrazie i zaczynają się zamazywać. Mówi się, że dwa obiekty są właśnie rozwiązane, gdy maksimum pierwszego wzoru Airy'ego przypada na pierwsze minimum drugiego wzoru Airy'ego ( kryterium Rayleigha ).

W związku z tym najmniejszą odległość kątową, jaką mogą mieć dwa obiekty, zanim znacząco się rozmyją, jest podawana, jak wskazano powyżej, przez

${\ Displaystyle \ sin \ theta =1,22 \ {\ Frac {\ lambda} {d}}.}$

Zatem zdolność systemu do rozwiązywania szczegółów jest ograniczona przez stosunek λ/ d . Im większa apertura dla danej długości fali, tym drobniejsze szczegóły można odróżnić na obrazie.

Można to również wyrazić jako

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {f}} = 1,22 \ {\ Frac {\ Lambda} {d}}}$

gdzie jest separacja obrazów dwóch obiektów na kliszy i jest odległością od obiektywu do filmu. Jeśli przyjmiemy odległość od obiektywu do filmu jako w przybliżeniu równą ogniskowej obiektywu, stwierdzimy, że ${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle x = 1,22 \ {\ Frac {\ lambda \, f} {d}}}$

ale jest liczbą przysłony obiektywu. Typowym ustawieniem do użytku w pochmurny dzień będzie f /8 (patrz zasada Sunny 16 ). Dla fioletu 380-450 nm najkrótszego światła widzialnego o długości fali, długość fali λ wynosi około 420 nanometrów (patrz komórki stożkowe dla czułości komórek stożkowych S). Daje to wartość około 4 µm. W aparacie cyfrowym, dzięki czemu pikseli Matryca mniejsza niż połowa tej wartości (jeden piksel dla każdego obiektu, po jednym dla każdej przestrzeni pomiędzy nimi) nie będzie znacząco zwiększyć przechwycony rozdzielczości obrazu . Może jednak poprawić ostateczny obraz poprzez nadpróbkowanie, umożliwiając redukcję szumów. ${\ Displaystyle {\ Frac {f} {d}}}$${\displaystyle x}$

Ludzkie oko

Przekroje podłużne przez skupioną wiązkę z (górną) ujemną, (środkową) zerową i (dolną) dodatnią aberracją sferyczną. Soczewka znajduje się po lewej stronie.

Najszybciej liczbę f dla ludzkiego oka jest około 2,1, co odpowiada dyfrakcji ograniczonych funkcji rozpiętości punktu o średnicy około 1 um. Jednak przy tej liczbie f aberracja sferyczna ogranicza ostrość widzenia, podczas gdy średnica źrenicy 3 mm (f/5,7) jest zbliżona do rozdzielczości osiąganej przez ludzkie oko. Maksymalna gęstość czopków w ludzkim dołku wynosi około 170 000 na milimetr kwadratowy, co oznacza, że ​​odstęp czopków w ludzkim oku wynosi około 2,5 μm, co jest w przybliżeniu średnicą funkcji rozproszenia punktu przy f/5.

Skupiona wiązka laserowa

Okrągła wiązka laserowa o jednolitej intensywności w całym okręgu (wiązka o płaskim wierzchołku) skupiona przez soczewkę utworzy wzór dysku Airy'ego w ognisku. Rozmiar dysku Airy'ego określa intensywność lasera w ognisku.

Celownik

Niektóre przyrządy celownicze broni (np. FN FNC ) wymagają od użytkownika wyrównania celownika (tylnego, pobliskiego celownika, czyli takiego, który będzie nieostry) z końcówką (która powinna być skupiona i nałożona na cel) na końcu celownika. beczka. Patrząc przez przeziernik, użytkownik zauważy krążek Airy, który pomoże wyśrodkować celownik nad szpilką.

Warunki obserwacji

Światło z równomiernie oświetlonej okrągłej szczeliny (lub z jednolitej, płaskiej wiązki) będzie wykazywać wzór dyfrakcji Airy'ego daleko od szczeliny dzięki dyfrakcji Fraunhofera ( dyfrakcja dalekiego pola).

Warunki przebywania w polu dalekim i wykazywania wzoru Airy są następujące: światło wpadające oświetlające otwór jest falą płaską (brak zmian fazy w otworze), natężenie jest stałe w obszarze otworu i odległość od apertura, w której obserwowane jest ugięte światło (odległość ekranu) jest duża w porównaniu do rozmiaru apertury, a promień apertury nie jest zbytnio większy niż długość fali światła. Ostatnie dwa warunki można formalnie zapisać jako . ${\ Displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle R> a ^ {2} / \ lambda }$

W praktyce warunki równomiernego oświetlenia można spełnić umieszczając źródło oświetlenia z dala od apertury. Jeśli warunki dla pola dalekiego nie są spełnione (na przykład jeśli apertura jest duża), wzór dyfrakcji Airy pola dalekiego można również uzyskać na ekranie znacznie bliżej apertury, używając obiektywu zaraz za aperturą (lub obiektywem może tworzyć otwór). Wzór Airy'ego zostanie wówczas utworzony w ognisku soczewki, a nie w nieskończoności.

Stąd ognisko jednorodnej okrągłej wiązki laserowej (wiązki płaskiej) skupionej przez soczewkę również będzie wzorem Airy'ego.

W kamerze lub systemie obrazowania odległy obiekt jest obrazowany na błonie lub płaszczyźnie detektora przez soczewkę obiektywu, a wzór dyfrakcji pola dalekiego jest obserwowany w detektorze. Wynikowy obraz jest splotem idealnego obrazu ze wzorem dyfrakcyjnym Airy'ego z powodu dyfrakcji z apertury tęczówki lub ze względu na skończony rozmiar soczewki. Prowadzi to do skończonej rozdzielczości układu soczewek opisanego powyżej.

Sformułowanie matematyczne

Dyfrakcja z okrągłej apertury. Wzór Airy'ego można zaobserwować, gdy (tj. w dalekim polu)${\ Displaystyle R \ gg a ^ {2}/\ lambda}$

Dyfrakcja z apertury z soczewką. Obraz dalekiego pola zostanie utworzony (tylko) na ekranie o jedną ogniskową dalej, gdzie R=f (f=ogniskowa). Kąt obserwacji pozostaje taki sam jak w przypadku bezsoczewkowego.${\displaystyle \theta}$

Intensywności wzoru Airy następuje dyfrakcji Fraunhofera wzór okrągłego otworu, nadany przez kwadrat modułu z transformatą Fouriera z okrągłym otworem:

${\ Displaystyle I (\ theta) = I_ {0} \ lewo [{\ Frac {2J_ {1} (k \ a \ sin \ theta)} {k \ a \ sin \ theta}} \ po prawej] ^ {2}=I_{0}\w lewo[{\frac {2J_{1}(x)}{x}}\w prawo]^{2}}$

gdzie jest maksymalną intensywnością wzoru w środku dysku Airy'ego, jest funkcją Bessela pierwszego rzędu, jest liczbą falową, jest promieniem apertury, jest kątem obserwacji, tj. kątem między osiami apertury kołowej i linii między środkiem apertury a punktem obserwacyjnym. , gdzie q jest promieniową odległością punktu obserwacji od osi optycznej, a R jest odległością od apertury. Należy zauważyć, że krążek Airy'ego podany w powyższym wyrażeniu jest ważny tylko dla dużego R , gdzie stosuje się dyfrakcja Fraunhofera ; Obliczenie cienia w polu bliskim należy raczej przeprowadzić za pomocą dyfrakcji Fresnela . ${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle J_{1}}$${\ Displaystyle k = {2 \ pi} / {\ lambda}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \theta}$${\ Displaystyle x = ka \ sin \ theta = {\ Frac {2 \ pi a} {\ lambda}} {\ Frac {q} {R}}}$

Jednakże dokładna Airy wzorzec nie pojawi się w skończonej odległości Jeżeli obiektyw jest umieszczony w szczelinie. Wtedy wzór Airy'ego będzie idealnie zogniskowany w odległości określonej przez ogniskową obiektywu (przy założeniu skolimowanego światła padającego na aperturę) podanej przez powyższe równania.

Zera są na . Z tego wynika, że ​​pierwszy ciemny pierścień we wzorze dyfrakcyjnym występuje tam , gdzie , lub ${\displaystyle J_{1}(x)}$${\ Displaystyle x = ka \ sin \ theta \ ok 3.8317,7.0156,10.1735,13.3237,16.4706\kropki}$${\ Displaystyle ka \ sin {\ theta} = 3.8317 \ kropki}$

${\ Displaystyle \ sin \ theta \ ok. {\ Frac {3.83} {ka}} = {\ Frac {3.83 \ Lambda} {2 \ pi a}} = 1.22 {\ Frac {\ Lambda} {2a}} = 1.22 {\frac {\lambda }{d}}}$.

Jeśli soczewka jest używana do ogniskowania wzoru Airy'ego w skończonej odległości, wówczas promień pierwszego ciemnego pierścienia na płaszczyźnie ogniskowej jest określony wyłącznie przez aperturę numeryczną A (ściśle związaną z liczbą f ) przez ${\displaystyle q_{1}}$

${\ Displaystyle q_ {1} = R \ sin \ theta _ {1} \ około 1,22 {R} {\ Frac {\ Lambda} {d}} = 1,22 {\ Frac {\ Lambda} {2 A}}}$

gdzie apertura numeryczna A jest równa promieniowi apertury d /2 podzielonemu przez R', odległość od środka wzoru Airy'ego do krawędzi apertury. Patrząc na aperturę o promieniu d /2 i obiektyw jako kamerę (patrz schemat powyżej) rzutującą obraz na płaszczyznę ogniskowania w odległości f , apertura numeryczna A jest powiązana z powszechnie cytowaną liczbą f N= f/d (stosunek ogniskowej do średnicy obiektywu) zgodnie z ; dla N>>1 jest po prostu aproksymowany jako . To pokazuje, że najlepsza możliwa rozdzielczość obrazu z kamery jest ograniczona przez aperturę numeryczną (a tym samym liczbę f) jej obiektywu z powodu dyfrakcji . ${\ Displaystyle A = {\ Frac {R} {R}} = {\ Frac {R} {\ sqrt {f ^ {2} + R ^ {2}}}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {4N^{2}+1}}}}$${\ Displaystyle A \ około {\ Frac {1} {2N}}}$

Połowa maksimum centralnego dysku Airy'ego (gdzie ) występuje w ; punkt 1/e ² (gdzie ) występuje w , a maksimum pierwszego pierścienia występuje w . ${\ Displaystyle J_ {1} (x) = {x} / {2 {\ sqrt {2}}}}$${\ Displaystyle x = 1,61633 \ kropki }$${\ Displaystyle J_ {1} (x) = {x} / {2e}}$${\ Displaystyle x = 2,58383 \ kropki }$${\ Displaystyle x = 5,13562 \ kropki }$

Intensywność w środku obrazu dyfrakcyjnego jest związana z całkowitą mocą padającą na aperturę przez ${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle P_{0}}$

${\ Displaystyle I_ {0} = {\ Frac {\ operatorname {E} _ {A} ^ {2} A ^ {2}} {2R ^ {2}}} = {\ Frac {P_ {0} A} {\lambda ^{2}R^{2}}}}$

gdzie jest mocą źródła na jednostkę powierzchni w aperturze, A jest powierzchnią apertury ( ), a R jest odległością od apertury. Na płaszczyźnie ogniskowej obiektywu . Intensywność na maksimum pierwszego pierścienia wynosi około 1,75% intensywności w środku dysku Airy'ego. ${\ Displaystyle \ operatorname {E}}$${\ Displaystyle A = \ pi a ^ {2}}$${\ Displaystyle I_ {0} = (P_ {0} A) / (\ lambda ^ {2} f ^ {2})}$

Wyrażenie dla powyższego można zintegrować, aby uzyskać całkowitą moc zawartą we wzorze dyfrakcyjnym w okręgu o danej wielkości: ${\displaystyle I(\theta)}$

${\ Displaystyle P (\ theta ) = P_ {0} [1-J_ {0} ^ {2} (ka \ sin \ teta) - J_ {1} {2} (ka \ sin \ teta )]}$

gdzie i są funkcjami Bessela . Stąd ułamki całkowitej mocy zawarte w pierwszym, drugim i trzecim ciemnym pierścieniu (gdzie ) wynoszą odpowiednio 83,8%, 91,0% i 93,8%. ${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle J_{1}}$${\ Displaystyle J_ {1} (ka \ sin \ theta ) = 0}$

Wzór Airy'ego na przedziale ka sin θ  = [−10, 10]

Zakreślona moc na wykresie obok intensywności.

Aproksymacja za pomocą profilu Gaussa

Promieniowy przekrój przez wzór Airy'ego (krzywa pełna) i jego przybliżenie profilu Gaussa (krzywa przerywana). Odcięta jest podawana w jednostkach długości fali razy liczba f układu optycznego.${\ Displaystyle \ lambda}$

Wzór Airy spada dość powoli do zera wraz ze wzrostem odległości od środka, z zewnętrznymi pierścieniami zawierającymi znaczną część zintegrowanej intensywności wzoru. W rezultacie, średnia kwadratowa (RMS) wielkości spotu jest niezdefiniowana (tj. nieskończona). Alternatywną miarą wielkości plamki jest zignorowanie stosunkowo małych zewnętrznych pierścieni wzoru Airy'ego i przybliżenie centralnego płata profilem Gaussa , tak że

${\ Displaystyle I (q) \ w przybliżeniu I'_ {0} \ exp \ lewo ({\ Frac {-2q ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2}}} \ prawej) \ ,}$

gdzie jest irradiancją w środku wzoru, reprezentuje odległość promieniową od środka wzoru i jest szerokością Gaussa RMS (w jednym wymiarze). Jeśli zrównamy szczytową amplitudę wzoru Airy'ego i profil Gaussa, czyli , i znajdziemy wartość dającą optymalne przybliżenie do wzoru, otrzymamy ${\displaystyle I'_{0}}$${\displaystyle q}$${\textstyle \omega _{0}}$${\displaystyle I'_{0}=I_{0}}$${\textstyle \omega _{0}}$

${\textstyle \omega_{0}\ok 0,42\lambda N\ ,}$

gdzie N jest liczbą f . Jeśli, z drugiej strony, chcemy wymusić, że profil Gaussa ma taką samą objętość jak wzór Airy'ego, wtedy staje się to

${\textstyle \omega_{0}\ok 0,45\lambda N\ .}$

W teorii aberracji optycznej często opisuje się system obrazowania jako ograniczony dyfrakcją, jeśli promień dysku Airy'ego jest większy niż rozmiar spotu RMS określony na podstawie geometrycznego śledzenia promieni (patrz Konstrukcja soczewki optycznej ). Aproksymacja profilu Gaussa zapewnia alternatywny sposób porównania: użycie powyższego przybliżenia pokazuje, że talia Gaussa przybliżenia Gaussa do dysku Airy'ego wynosi około jednej trzeciej promienia dysku Airy'ego, tj. w przeciwieństwie do . ${\textstyle \omega _{0}}$${\ Displaystyle 0,42 \ lambda N}$${\ Displaystyle 1,22 \ lambda N}$

Zasłonięty wzór przewiewny

Podobne równania można również wyprowadzić dla zasłoniętego wzoru dyfrakcyjnego Airy'ego, który jest wzorem dyfrakcyjnym z pierścieniowego otworu lub wiązki, tj. jednorodnego okrągłego otworu (wiązki) zasłoniętego kołowym blokiem w środku. Sytuacja ta ma znaczenie dla wielu popularnych konstrukcji teleskopów zwierciadlanych, które zawierają zwierciadło wtórne, w tym teleskopów Newtona i teleskopów Schmidta-Cassegraina .

${\ Displaystyle I (R) = {\ Frac {I_ {0}} {(1-\ epsilon ^ {2}) ^ {2}}} \ lewo ({\ Frac {2J_ {1} (x))} x}}-{\frac {2\epsilon J_{1}(\epsilon x)}{x}}\right)^{2}}$

gdzie jest współczynnikiem zaciemnienia pierścieniowego otworu lub stosunkiem średnicy tarczy zaciemniającej do średnicy otworu (wiązki). , a x jest zdefiniowane jak powyżej: gdzie jest promieniową odległością w płaszczyźnie ogniskowej od osi optycznej, jest długością fali i jest liczbą f układu. Ułamkowa energia otoczona (ułamek całkowitej energii zawartej w okręgu o promieniu wyśrodkowanym na osi optycznej w płaszczyźnie ogniskowej) jest następnie dana wzorem: ${\displaystyle \epsilon}$${\ Displaystyle \ lewo (0 \ leq \ epsilon <1 \ prawo)}$${\ Displaystyle x = ka \ sin (\ theta ) \ około {\ Frac {\ pi R}{\ lambda N}}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle E (R) = {\ Frac {1} {(1-\ epsilon ^ {2})}} \ lewo (1-J_ {0} ^ {2} (x) - J_ {1} ^ { 2}(x)+\epsilon ^{2}\left[1-J_{0}^{2}(\epsilon x)-J_{1}^{2}(\epsilon x)\right]-4\ epsilon \int _{0}^{x}{\frac {J_{1}(t)J_{1}(\epsilon t)}{t}}\,dt\right)}$

Na wzorach zredukować do przestronny wersjach powyżej. ${\ Displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0}$

Praktycznym efektem posiadania centralnej przeszkody w teleskopie jest to, że centralny dysk staje się nieco mniejszy, a pierwszy jasny pierścień staje się jaśniejszy kosztem centralnego dysku. Staje się to bardziej problematyczne w przypadku teleskopów o krótkiej ogniskowej, które wymagają większych zwierciadeł wtórnych.

Porównanie z ogniskiem wiązki Gaussa

Okrągła wiązka laserowa o jednolitym profilu intensywności, skupiona przez soczewkę, utworzy wzór Airy na płaszczyźnie ogniskowej soczewki. Intensywność w centrum zainteresowania będzie gdzie to całkowita moc wiązki, jest obszarem belki ( jest średnicą wiązki) ma długość fali, i ma długość ogniskowej soczewki. ${\ Displaystyle I_ {0, przewiewny} = (P_ {0}A) / (\ lambda ^ {2} f ^ {2})}$${\displaystyle P_{0}}$${\ Displaystyle A = \ pi D ^ {2}/4}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\displaystyle f}$

Wiązka gaussowska o średnicy D skupiona przez aperturę o średnicy D będzie miała profil ogniskowy bliski gaussowskiemu, a intensywność w środku ogniska wyniesie 0,924 razy . ${\ Displaystyle 1/e ^ {2}}$${\ Displaystyle I_ {0, \ operatorka {przewiewna}}}$

Zobacz też

• Astronomia amatorska
• Apodyzacja
• Dyfrakcja Fraunhofera
• Bloom (efekt cieniowania)
• Pierścienie Newtona
• Jednostka optyczna
• Funkcja rozrzutu punktowego
• Pierścień Debye-Scherrera
• Współczynnik Strehla
• Wzór plamki

Uwagi i referencje

Zewnętrzne linki

• Michaela W. Davidsona . „Koncepcje i formuły w mikroskopii: rozdzielczość” . Mikroskopia firmy Nikon (strona internetowa).
  • Kenneth R. Wiosna; Brian O. Flynn i Michael W. Davidson. „Tworzenie obrazu: apertura numeryczna i rozdzielczość obrazu” . Źródło 15 czerwca 2006 .(Interaktywny samouczek Java) Wyrażenia molekularne (strona internetowa).
  • Kenneth R. Wiosna; Brian O. Flynn i Michael W. Davidson. „Tworzenie obrazu: Przewiewne tworzenie wzoru” . Źródło 15 czerwca 2006 .(Interaktywny samouczek Java) Wyrażenia molekularne .
• Paula Padleya. „Dyfrakcja z apertury kołowej” ., Connexions (strona internetowa), 8 listopada 2005. – Matematyczne szczegóły do ​​wyprowadzenia powyższego wzoru.
• „The Airy Disk: Wyjaśnienie, co to jest i dlaczego nie można go uniknąć” , Oldham Optical UK .
• Weisstein, Eric W. „Zera funkcji Bessela” . MatematykaŚwiat .
• „Rozszerzona analiza Nijboer-Zernike (ENZ) i wyszukiwanie aberracji” .