Zamknięcie algebraiczne - Algebraic closure
W matematyce , zwłaszcza algebry abstrakcyjnej , o algebraicznych zamknięcia z pola K jest algebraiczne rozszerzenie z K , która jest algebraicznie zamknięte . To jedno z wielu zamknięć w matematyce.
Korzystanie z lematu Zorna lub słabszy Ultrafiltr lematu , jeżeli można wykazać, że każde pole ma algebraiczne zamknięcie , a algebraicznej zamknięcia polu K jest unikalny maksymalnie o izomorfizmu że poprawki każdy członek K . Z powodu tej zasadniczej niepowtarzalności, często mówią o tym algebraicznych zamknięcia K , zamiast na algebraicznej zamknięcia K .
Algebraiczną zamknięcie pola K mogą być traktowane jako największy algebraicznych rozszerzenie K . Aby to zobaczyć, pamiętać, że jeśli L jest dowolny algebraiczne rozszerzenie K , wtedy algebraiczne zamknięcie L jest również zamknięcie algebraiczna K , a więc L jest zawarty w zamknięciu algebraicznej K . Algebraiczną zamknięcie K jest najmniejsza algebraicznie zamknięte pole zawierające K , ponieważ jeśli M jest każdy obszar algebraicznie zamknięty zawierający K , wówczas elementy M , które są algebraiczne nad K stanowią algebraiczną zamknięcie K .
Domknięcie algebraiczne ciała K ma taką samą liczność jak K, jeśli K jest nieskończone, i jest policzalnie nieskończone, jeśli K jest skończone.
Przykłady
- Zasadnicze twierdzenie algebry stanach że algebraiczne zamknięcie dziedzinie liczb rzeczywistych jest dziedzina liczb zespolonych .
- Domknięcie algebraiczne ciała liczb wymiernych jest ciałem liczb algebraicznych .
- W liczbach zespolonych istnieje wiele policzalnych algebraicznie zamkniętych ciał, które ściśle zawierają pole liczb algebraicznych; są to algebraiczne domknięcia transcendentalnych rozszerzeń liczb wymiernych, np. algebraiczne domknięcie Q (π).
- Dla skończonego ciała o pierwszym rzędzie q , domknięcie algebraiczne jest policzalnym ciałem nieskończonym, które zawiera kopię ciała rzędu q n dla każdej dodatniej liczby całkowitej n (i jest w rzeczywistości sumą tych kopii).
Istnienie domknięcia algebraicznego i ciał rozszczepiających
Niech będzie zbiorem wszystkich monicznych nieredukowalnych wielomianów w K [ x ]. Dla każdego wprowadź nowe zmienne, gdzie . Niech R będzie wielomianowym pierścieniem nad K wygenerowanym przez dla wszystkich i dla wszystkich . pisać
z . Niech będę ideałem w R generowanym przez . Ponieważ ja jest ściśle mniejsze niż R , lemat Zorna zakłada, że istnieje maksymalny idealnego M w R , który zawiera I . Pole K 1 = R / M ma tę właściwość, że każdy wielomian o współczynnikach w K dzieli się jako iloczyn, a zatem ma wszystkie pierwiastki w K 1 . W ten sam sposób można skonstruować rozszerzenie K 2 z K 1 itd. Suma wszystkich tych rozszerzeń jest algebraicznym domknięciem K , ponieważ każdy wielomian o współczynnikach w tym nowym polu ma współczynniki w jakimś K n z dostatecznie dużym n , a wtedy jego korzenie znajdują się w K n + 1 , a zatem w samym związku.
Można wykazać, wzdłuż tej samej linii, dla każdego podzbioru S w K [ x ], nie istnieje pole łupania z S na K .
Oddzielne zamknięcie
Algebraicznym zamknięcie K alg od K zawiera unikalny oddzielić przedłużenia K sie z K zawierający wszystkie (algebraicznych) rozłączne rozszerzenia o K w ciągu K alg . Ten subextension nazywany jest rozłączalne zamknięcie z K . Ponieważ rozłączne rozszerzenie rozłącznego rozszerzenia jest ponownie rozłączne, nie ma skończonych rozłącznych rozszerzeń K sep , stopnia> 1. Mówiąc to inaczej, K jest zawarte w rozłącznie zamkniętym algebraicznym polu rozszerzenia. Jest wyjątkowy ( aż do izomorfizmu).
Zamknięcie rozłączne jest domknięciem algebraicznym wtedy i tylko wtedy, gdy K jest ciałem idealnym . Na przykład, jeśli K jest ciałem o charakterystyce p, a X jest transcendentalne względem K , jest nierozdzielnym rozszerzeniem pola algebraicznego.
Na ogół, absolutny grupa Galois z K jest grupą Galois z K sep nad K .
Zobacz też
Bibliografia
- Kaplansky, Irving (1972). Pola i pierścienie . Wykłady matematyki w Chicago (wyd. Drugie). University of Chicago Press. ISBN 0-226-42451-0 . Zbl 1001.16500 .
- McCarthy, Paul J. (1991). Algebraiczne rozszerzenia pól (poprawiony przedruk drugiego wyd.). New York: Dover Publications. Zbl 0768.12001 .