Rozszerzenie algebraiczne - Algebraic extension

W algebry abstrakcyjnej , o rozszerzenie ciała L / K nazywamy algebraiczną jeśli każdy element L jest algebraiczny nad K , to znaczy, jeśli każdy element L jest korzeń pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach w K . Rozszerzenia pól, które nie są algebraiczne, tj. które zawierają elementy transcendentalne , nazywane są transcendentalnymi .

Na przykład rozszerzenie ciała R / Q , czyli ciało liczb rzeczywistych jako rozszerzenie ciała liczb wymiernych , jest przestępne, natomiast rozszerzenia ciała C / R i Q ( √ 2 )/ Q są algebraiczne, gdzie C jest polem liczb zespolonych .

Wszystkie rozszerzenia transcendentalne są nieskończonego stopnia . To z kolei implikuje, że wszystkie rozszerzenia skończone są algebraiczne. Jednak odwrotność nie jest prawdą: istnieją nieskończone rozszerzenia, które są algebraiczne. Na przykład, ciało wszystkich liczb algebraicznych jest nieskończonym rozszerzeniem algebraicznym liczb wymiernych.

Niech E będzie rozszerzonym ciałem K, a a E. Jeśli a jest algebraiczne nad K , to K ( a ), zbiór wszystkich wielomianów w a o współczynnikach w K , jest nie tylko pierścieniem, ale ciałem: K ( a ) jest rozszerzeniem algebraicznym K , które ma skończony stopień nad K . Odwrotność nie jest prawdą. Q[π] i Q[e] są polami, ale π i e są transcendentalne nad Q.

Ciało algebraicznie domknięte F nie ma właściwych rozszerzeń algebraicznych, to znaczy nie ma rozszerzeń algebraicznych E z F < E. Przykładem jest ciało liczb zespolonych . Każde ciało ma rozszerzenie algebraiczne, które jest algebraicznie domknięte (nazywane jego domknięciem algebraicznym ), ale udowodnienie tego na ogół wymaga jakiejś formy aksjomatu wyboru .

Rozszerzenie L / K jest algebraiczne tylko wtedy, gdy każdy sub K - algebra z L to pole .

Nieruchomości

Klasa rozszerzeń algebraicznych tworzy wyróżnioną klasę rozszerzeń pól , to znaczy, że obowiązują następujące trzy własności:

  1. Jeśli E jest rozszerzeniem algebraicznym F i F jest rozszerzeniem algebraicznym K , to E jest rozszerzeniem algebraicznym K .
  2. Jeśli E i F są algebraicznymi rozszerzeniami K we wspólnym nadpolu C , to compositum EF jest algebraicznym rozszerzeniem K .
  3. Jeśli E jest rozszerzeniem algebraicznym F i E > K > F , to E jest rozszerzeniem algebraicznym K .

Te skończone wyniki można uogólnić za pomocą indukcji pozaskończonej:

  1. Suma dowolnego łańcucha rozszerzeń algebraicznych nad ciałem podstawowym jest sama w sobie rozszerzeniem algebraicznym nad tym samym ciałem podstawowym.

Fakt ten, wraz z lematem Zorna (zastosowanym do odpowiednio dobranego poety), przesądza o istnieniu domknięć algebraicznych .

Uogólnienia

Główny artykuł: Podkonstrukcja (matematyka)

Teoria model uogólnia pojęcie algebraicznej przedłużenie dowolnych teorii: AN osadzanie z M do N jest nazywany algebraiczna przedłużenie gdy dla każdego x w N jest wzór P z parametrów M tak, że P ( x ) jest prawdziwa i zestaw

jest skończona. Okazuje się, że zastosowanie tej definicji do teorii pól daje zwykłą definicję rozszerzenia algebraicznego. Grupa Galois z N na M może być ponownie określa się jako grupy, z automorfizmy i okazuje się, że większość z teorią grup Galois mogą być opracowane dla ogólnego przypadku.

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ Fraleigh (2014), Definicja 31.1, s. 283.
  2. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Definicja 21.1.23, s. 453.
  3. ^ Fraleigh (2014), Definicja 29,6, s. 267.
  4. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Twierdzenie 21.1.8, s. 447.
  5. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), przykład 21.1.17, s. 451.
  6. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Twierdzenie 21.1.8, s. 447.
  7. ^ Fraleigh (2014), przykład 31.8, s. 285.
  8. ^ Zobacz także Hazewinkel i in. (2004), s. 3.
  9. ^ Fraleigh (2014), Twierdzenie 31.18, s. 288.
  10. ^ Fraleigh (2014), wniosek 31.13, s. 287.
  11. ^ Fraleigh (2014), Twierdzenie 30.23, s. 280.
  12. ^ Fraleigh (2014), przykład 29.8, s. 268.
  13. ^ Fraleigh (2014), wniosek 31.16, s. 287.
  14. ^ Fraleigh (2014), Twierdzenie 31.22, s. 290.
  15. ^ Lang (2002) s.228

Bibliografia

  • Fraleigh, John B. (2014), Pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej , Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7
  • Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadija; Gubareni, Nadieżda Michajłowna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebry, pierścienie i moduły , 1 , Springer, ISBN 1-4020-2690-0
  • Lang, Serge (1993), "V.1: Rozszerzenia algebraiczne", Algebra (wyd. trzecie), Reading, Mass .: Addison-Wesley, s. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
  • Malika, DB; Mordeson, John N.; Sen, MK (1997), Podstawy algebry abstrakcyjnej , McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
  • McCarthy, Paul J. (1991) [skorygowany przedruk wydania 2, 1976], algebraiczne rozszerzenia pól , New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl  0768.12001
  • Roman Steven (1995), Teoria pola , GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
  • Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra , Prentice Hall, ISBN 9780130878687