Algebraiczna liczba całkowita - Algebraic integer

W algebraicznej teorii liczb , algebraiczna liczba całkowita jest liczbą zespoloną, która jest całką po liczbach całkowitych. Oznacza to, że algebraiczna liczba całkowita jest złożonym pierwiastkiem pewnego wielomianu monicznego (wielomian, którego wiodący współczynnik wynosi 1), którego współczynniki są liczbami całkowitymi. Zbiór wszystkich liczb całkowitych algebraicznych jest domknięty przez dodawanie, odejmowanie i mnożenie, a zatem jest przemiennym podpierścieniem liczb zespolonych.

Pierścień całkowitymi o polu liczby $K$ , oznaczonej $O K$ jest przecięcie $K$ i $A$ : może być również scharakteryzowana jako maksymalną rzędu od pola $K$ . Każda algebraiczna liczba całkowita należy do pierścienia liczb całkowitych pewnego pola liczbowego. Liczba $α$ jest algebraiczną liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień $[$ $α$ $]$ jest skończony generowany jako grupa abelowa , czyli jako -moduł . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Definicje

Poniżej znajdują się równoważne definicje algebraicznej liczby całkowitej. Niech $K$ będzie pole numer (tj skończone rozszerzenie z , zbiór liczb wymiernych ), innymi słowy, $K$ $=$ $($ $θ$ $)$ dla jakiejś liczby algebraicznej $θ$ $\in$ przez prymitywnego elementu twierdzenia . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

$α \in K$ jest algebraiczną liczbą całkowitą jeśli istnieje wielomian moniczny ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ taki , że $f (α) = 0$ .
$α \in K$ jest algebraiczną liczbą całkowitą jeśli minimalny wielomian wielomianowy $α$ overjest w $[$ $x$ $]$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
$α \in K$ jest algebraiczną liczbą całkowitą, jeśli $[$ $α$ $]$ jest skończonymmodułem. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
$α \in K$ jest algebraiczną liczbą całkowitą, jeśli istnieje niezerowy, skończonypodmoduł $M$ $\subset$ taki, że $αM$ $\subseteq$ $M$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Liczby algebraiczne są szczególnym przypadkiem elementów integralnych rozszerzenia pierścienia. W szczególności algebraiczna liczba całkowita jest integralnym elementem rozszerzenia skończonego ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ .

Przykłady

Jedynymi algebraicznymi liczbami całkowitymi występującymi w zbiorze liczb wymiernych są liczby całkowite. Innymi słowy, przecięcie i $A$ jest dokładnie . Liczba wymierna ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} a/b$ nie jest algebraiczną liczbą całkowitą, chyba że $b$ dzieli $a$ . Zauważ, że wiodący współczynnik wielomianu $bx - a$ jest liczbą całkowitą $b$ . W innym szczególnym przypadku, pierwiastek kwadratowy z nieujemnej liczby całkowitej $n$ jest algebraiczną liczbą całkowitą, ale jest niewymierny, chyba że $n$ jest idealnym kwadratem . ${\sqrt {n}}$
Jeśli $d$ jest liczbą całkowitą bez kwadratu, to rozszerzenie ) jest kwadratowym ciałem liczb wymiernych. Pierścień algebraicznych liczb całkowitych $O$ $K$ zawiera ponieważ jest to pierwiastek wielomianu monicznego $x$ $2$ $-$ $d$ . Co więcej, jeśli $d$ $1$ $mod$ $4$ , to element jest również algebraiczną liczbą całkowitą. Spełnia wielomian $x$ $2$ $-$ $x$ $+$ ${\ Displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}}}$ ${\sqrt {d}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$ $1 / 4 (1 - d)$ gdzie wyraz stały $1 / 4 (1 - d)$ jest liczbą całkowitą. Pełny pierścień liczb całkowitych jest generowany przez lub odpowiednio. Zobacz liczby całkowite kwadratowe, aby uzyskać więcej informacji. ${\sqrt {d}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$
Pierścień liczb całkowitych ciała ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ , $α = 3 \sqrt m$ , ma następującą bazę całkową , zapisując $m = hk 2$ dla dwóch bezkwadratowych liczb całkowitych względnie pierwszych $h$ i $k$ :

{\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} 1, \ alfa, {\ dfrac {\ alfa ^ {2} \ pm k ^ {2} \ alfa + k ^ {2} {3 k}} i m \ równoważne \ pm 1 {\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}

Jeśli $ζ n$ jest pierwotnym $n-$ tym pierwiastkiem jedności , to pierścień liczb całkowitych pola cyklotomicznego $($ $ζ$ $n$ $)$ jest dokładnie $[$ $ζ$ $n$ $]$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
Jeśli $α$ jest algebraiczną liczbą całkowitą, to $β = n \sqrt α$ jest inną algebraiczną liczbą całkowitą. Wielomian dla $β$ otrzymuje się przez podstawienie $x n$ w wielomianu dla $α$ .

Nieprzykładowy

Jeśli $P (x)$ jest pierwotnym wielomianem, który ma współczynniki całkowite, ale nie jest moniczny, a $P$ jest nieredukowalny przez , to żaden z pierwiastków $P nie$ jest algebraicznymi liczbami całkowitymi (ale są liczbami algebraicznymi ). Tutaj prymityw jest używany w tym sensie, że najwyższy wspólny czynnik zbioru współczynników $P$ wynosi 1; jest to słabsze niż wymaganie, aby współczynniki były parami względnie pierwsze. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Fakty

Suma, różnica i iloczyn dwóch algebraicznych liczb całkowitych jest algebraiczną liczbą całkowitą. Na ogół ich iloraz nie jest. Zaangażowany wielomian moniczny ma zazwyczaj wyższy stopień niż te z oryginalnych liczb całkowitych algebraicznych i można go znaleźć, biorąc wynikowe i rozkładając na czynniki. Na przykład, jeśli $x 2 - x - 1 = 0$ , $y 3 - y - 1 = 0$ i $z = xy$ , to wyeliminowanie $x$ i $y$ z $z - xy = 0$ i wielomianów spełnianych przez $x$ i $y$ przy użyciu wypadkowej daje $z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1 = 0$ , która jest nierozkładalna i jest równaniem monicznym spełnianym przez iloczyn. (Aby zobaczyć, że $xy$ jest pierwiastkiem $x$ -wypadkowej $z - xy$ i $x 2 - x - 1$ , można wykorzystać fakt, że wypadkowa jest zawarta w ideale wygenerowanym przez jego dwa wielomiany wejściowe.)
Każda liczba, którą można skonstruować z liczb całkowitych z pierwiastkami, dodawaniem i mnożeniem, jest zatem algebraiczną liczbą całkowitą; ale nie wszystkie algebraiczne liczby całkowite są tak konstruowalne: w naiwnym sensie większość pierwiastków nieredukowalnej kwintyki tak nie jest. To jest twierdzenie Abela-Ruffiniego .
Każdy pierwiastek wielomianu monicznego, którego współczynniki są algebraicznymi liczbami całkowitymi, sam jest algebraiczną liczbą całkowitą. Innymi słowy, algebraiczne liczby całkowite tworzą pierścień, który jest integralnie zamknięty w każdym z jego rozszerzeń.
Pierścień algebraicznych liczb całkowitych jest dziedziną Bézouta , co jest konsekwencją głównego twierdzenia idealnego .
Jeśli wielomian moniczny związany z algebraiczną liczbą całkowitą ma stały wyraz 1 lub -1, to odwrotność tej algebraicznej liczby całkowitej jest również algebraiczną liczbą całkowitą i jest jednostką , elementem grupy jednostek pierścienia algebraicznych liczb całkowitych.

Zobacz też

Bibliografia

^ Marek Daniel A. (1977). Pola liczbowe (3rd ed.). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . rozdz. 2, s. 38 i ex. 41. Numer ISBN 978-0-387-90279-1.

Stein, W. Teoria liczb algebraicznych: podejście obliczeniowe (PDF) .

[1] Marek Daniel A. (1977). Pola liczbowe (3rd ed.). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . rozdz. 2, s. 38 i ex. 41. Numer ISBN 978-0-387-90279-1.

Languages

In other projects