Prawie wszystko - Almost all
W matematyce termin " prawie wszystko " oznacza "wszystko, ale znikomą ilość". Dokładniej, jeśli jest to zestaw , „prawie wszystkie elementy ” oznacza „wszystkich elementów , ale te w znikomym podgrupie z ”. Znaczenie „nieistotne” zależy od kontekstu matematycznego; na przykład może oznaczać finite , countable lub null .
Natomiast „ prawie żaden ” oznacza „niewielką ilość”; to znaczy „prawie brak elementów z ” oznacza „niewielką ilość elementów z ”.
Znaczenia w różnych dziedzinach matematyki
Dominujące znaczenie
W matematyce „prawie wszystko” jest czasami używane w znaczeniu „wszystkie (elementy zbioru nieskończonego ), ale skończenie wiele”. To zastosowanie występuje również w filozofii. Podobnie, „prawie wszystko” może oznaczać „wszystkie (elementy niepoliczalnego zbioru ) ale policzalnie wiele”.
Przykłady:
- Prawie wszystkie dodatnie liczby całkowite są większe niż 1 000 000 000 000.
- Prawie wszystkie liczby pierwsze są nieparzyste (jako że 2 jest jedynym wyjątkiem).
- Prawie wszystkie wielościany są nieregularne (ponieważ jest tylko dziewięć wyjątków: pięć brył platonicznych i cztery wielościany Keplera-Poinsota ).
- Jeśli P jest niezerowym wielomianem, to P(x) ≠ 0 dla prawie wszystkich x (jeśli nie dla wszystkich x ).
Znaczenie w teorii miary
Mówiąc o liczbach rzeczywistych , czasami „prawie wszystkie” może oznaczać „wszystkie liczby rzeczywiste oprócz zbioru zerowego ”. Podobnie, jeśli S jest jakimś zbiorem liczb rzeczywistych, „prawie wszystkie liczby w S ” mogą oznaczać „wszystkie liczby w S, ale te w zbiorze zerowym”. Prawdziwy wiersz można traktować jako jednowymiarowej przestrzeni euklidesowej . W bardziej ogólnym przypadku n- wymiarowej przestrzeni (gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą), definicje te można uogólnić na „wszystkie punkty, ale te w zbiorze zerowym” lub „wszystkie punkty w S, ale te w zbiorze zerowym” ( tym razem S jest zbiorem punktów w przestrzeni). Jeszcze bardziej ogólnie, „prawie wszystko” jest czasami używane w znaczeniu „ prawie wszędzie ” w teorii miary lub w ściśle powiązanym sensie „ prawie na pewno ” w teorii prawdopodobieństwa .
Przykłady:
- W przestrzeni miary , takiej jak linia rzeczywista, zbiory policzalne mają wartość null. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, a zatem prawie wszystkie liczby rzeczywiste są niewymierne.
- Jak dowiódł Georg Cantor w swoim pierwszym artykule z teorii mnogości , zbiór liczb algebraicznych również jest policzalny, więc prawie wszystkie liczby rzeczywiste są przestępne .
- Prawie wszystkie realne są normalne .
- Zbiór Cantora jest null, jak również. Tak więc prawie wszystkie realne nie są jej członkami, chociaż jest to niepoliczalne.
- Pochodna funkcji Cantora wynosi 0 dla prawie wszystkich liczb w przedziale jednostkowym . Wynika to z poprzedniego przykładu, ponieważ funkcja Cantora jest lokalnie stała , a zatem ma pochodną 0 poza zbiorem Cantora.
Znaczenie w teorii liczb
W teorii liczb „prawie wszystkie dodatnie liczby całkowite” mogą oznaczać „dodatnie liczby całkowite w zbiorze, którego gęstość naturalna wynosi 1”. Oznacza to, że jeśli A jest zbiorem dodatnich liczb całkowitych i jeśli proporcja dodatnich liczb całkowitych w A poniżej n (spośród wszystkich dodatnich liczb całkowitych poniżej n ) dąży do 1, podczas gdy n dąży do nieskończoności, to prawie wszystkie dodatnie liczby całkowite znajdują się w A .
Mówiąc bardziej ogólnie, niech S będzie nieskończonym zbiorem dodatnich liczb całkowitych, takim jak zbiór parzystych liczb dodatnich lub zbiór liczb pierwszych , jeśli A jest podzbiorem S i jeśli proporcja elementów S poniżej n, które są w A ( spośród wszystkich elementów S poniżej n ) dąży do 1, ponieważ n dąży do nieskończoności, to można powiedzieć, że prawie wszystkie elementy S znajdują się w A .
Przykłady:
- Gęstość naturalna koskończonych zbiorów dodatnich liczb całkowitych wynosi 1, a więc każdy z nich zawiera prawie wszystkie dodatnie liczby całkowite.
- Prawie wszystkie liczby całkowite dodatnie są złożone .
- Prawie wszystkie nawet liczby dodatnie można wyrazić jako sumę dwóch liczb pierwszych.
- Prawie wszystkie liczby pierwsze są izolowane . Co więcej, dla każdej dodatniej liczby całkowitej g prawie wszystkie liczby pierwsze mają przerwy pierwsze większe niż g zarówno po lewej, jak i po prawej stronie; to znaczy, nie ma innych liczb pierwszych między p − g i p + g .
Znaczenie w teorii grafów
W teorii grafów , jeśli A jest zbiorem ( oznaczonych skończenie ) grafów , można powiedzieć, że zawiera prawie wszystkie grafy, jeśli proporcja grafów o n wierzchołkach znajdujących się w A dąży do 1, podczas gdy n dąży do nieskończoności. Czasami jednak łatwiej jest pracować z prawdopodobieństwami, więc definicja jest przeformułowana w następujący sposób. Proporcja grafów z n wierzchołkami, które znajdują się w A równa się prawdopodobieństwu, że losowy graf z n wierzchołkami (wybrany z rozkładem jednostajnym ) znajduje się w A , a wybór grafu w ten sposób daje taki sam wynik, jak wygenerowanie grafu przez odwrócenie moneta dla każdej pary wierzchołków, aby zdecydować, czy je połączyć. Dlatego, równoważnie z poprzednią definicją, zbiór A zawiera prawie wszystkie grafy, jeśli prawdopodobieństwo, że graf wygenerowany przez rzut monetą z n wierzchołkami znajduje się w A, ma tendencję do 1, podczas gdy n dąży do nieskończoności. Czasami ta druga definicja jest modyfikowana tak, że graf jest wybierany losowo w inny sposób , gdzie nie wszystkie grafy o n wierzchołkach mają takie samo prawdopodobieństwo, a te zmodyfikowane definicje nie zawsze są równoważne z głównym.
Użycie terminu „prawie wszystko” w teorii grafów nie jest standardowe; termin „ asymptotycznie prawie na pewno ” jest częściej używany dla tego pojęcia.
Przykład:
- Prawie wszystkie wykresy są asymetryczne .
- Prawie wszystkie wykresy mają średnicę 2.
Znaczenie w topologii
W topologii, a zwłaszcza w teorii systemów dynamicznych (w tym w zastosowaniach ekonomicznych), „prawie wszystkie” punkty przestrzeni topologicznej mogą oznaczać „wszystkie punkty przestrzeni, ale te w skromnym zbiorze ”. Niektórzy używają bardziej ograniczonej definicji, gdzie podzbiór zawiera tylko prawie wszystkie punkty przestrzeni, jeśli zawiera jakiś otwarty gęsty zbiór .
Przykład:
- Biorąc pod uwagę nieredukowalną rozmaitość algebraiczną , własności, które dotyczą prawie wszystkich punktów rozmaitości, są dokładnie własnościami rodzajowymi . Wynika to z faktu, że w nieredukowalnej rozmaitości algebraicznej wyposażonej w topologię Zariskiego wszystkie niepuste zbiory otwarte są gęste.
Znaczenie w algebrze
W algebry abstrakcyjnej i logiki matematycznej , jeśli U jest Ultrafiltr na zbiorze X , „prawie wszystkie elementy X ” czasem oznacza „elementy jakiegoś elementu z U ”. Dla każdej partycji z X na dwa zestawy rozłącznych , jeden z nich musi zawierać niemal wszystkie elementy X . Można myśleć o elementach filtra na X jako zawierających prawie wszystkie elementy X , nawet jeśli nie jest to ultrafiltr.