Wysokość (trójkąt) - Altitude (triangle)

Trzy wysokości trójkąta przecinają się w ortocentrum, które dla trójkąta ostrego znajduje się wewnątrz trójkąta.

W geometrii An wysokość z trójkąta jest odcinek przez wierzchołek i prostopadłej do (to jest, tworząc kąt prosty z) linii zawierającej podstawę (strona naprzeciw wierzchołka). Ta linia zawierająca przeciwną stronę nazywana jest rozszerzoną podstawą wysokości. Przecięcie wysuniętej podstawy i wysokości nazywane jest stopą wysokości. Długość wysokości, często nazywana po prostu „wysokością”, to odległość między wysuniętą podstawą a wierzchołkiem. Proces rysowania wysokości od wierzchołka do stopy jest znany jako obniżanie wysokości na tym wierzchołku. Jest to szczególny przypadek rzutowania prostopadłego .

Wysokości mogą być użyte do obliczenia pola trójkąta: połowa iloczynu długości wysokości i długości podstawy równa się polu trójkąta. Zatem najdłuższa wysokość jest prostopadła do najkrótszego boku trójkąta. Wysokości są również powiązane z bokami trójkąta poprzez funkcje trygonometryczne .

W trójkącie równoramiennym (trójkąt z dwoma przystającymi bokami), wysokość mająca nieprzystającą stronę jako podstawę będzie miała środek tego boku jako stopę. Również wysokość mająca za podstawę stronę nieprzystającą będzie dwusieczną kąta wierzchołka.

Często oznacza się wysokość literą h (jak w wysokości ), często połączoną z nazwą strony, do której jest rysowana wysokość.

Wysokość trójkąta prostokątnego od jego kąta prostego do przeciwprostokątnej jest średnią geometryczną długości segmentów, na które podzielona jest przeciwprostokątna. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa na 3 trójkątach boków ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) i ( s , h , q  ) ,

W trójkącie prostokątnym wysokość narysowana do przeciwprostokątnej c dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki o długościach p i q . Jeśli długość wysokości oznaczymy przez h c , to otrzymamy zależność

  ( Twierdzenie o średniej geometrycznej )
W trójkącie prostokątnym wysokość z każdego kąta ostrego pokrywa się z nogą i przecina przeciwną stronę (ma stopę na) wierzchołku prostokątnym, który jest ortocentrum.
Wysokości z każdego z kątów ostrych trójkąta rozwartego leżą całkowicie poza trójkątem, podobnie jak ortocentrum H.

W przypadku trójkątów ostrych wszystkie stopy wysokości opadają na boki trójkąta (nierozciągnięte). W trójkącie rozwartym (jeden o kącie rozwartym ) stopa wysokości do wierzchołka rozwartego znajduje się we wnętrzu przeciwnej strony, ale stopy wysokości do wierzchołków o ostrym kącie spadają po przeciwnej wysuniętej stronie , na zewnątrz trójkąta. Jest to zilustrowane na sąsiednim schemacie: w tym trójkącie rozwartym wysokość opuszczona prostopadle od górnego wierzchołka, który ma kąt ostry, przecina wydłużony poziomy bok na zewnątrz trójkąta.

Ortocentrum

Trzy wysokości przecinające się w ortocentrum

Trzy (ewentualnie rozszerzone) wysokości przecinają się w jednym punkcie, zwanym ortocentrum trójkąta, zwykle oznaczanym przez H . Ortocentrum leży wewnątrz trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest ostry (tj. nie ma kąta większego lub równego kątowi prostemu). Jeśli jeden kąt jest kątem prostym, ortocentrum pokrywa się z wierzchołkiem pod kątem prostym.

Niech A , B , C oznaczają wierzchołki oraz kąty trójkąta i niech a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | być długościami boków. Ortocentrum ma współrzędne trójliniowe

i barycentryczne współrzędne

Ponieważ współrzędne barycentryczne są dodatnie dla punktu we wnętrzu trójkąta, ale co najmniej jedna jest ujemna dla punktu na zewnątrz, a dwie współrzędne barycentryczne są zerowe dla punktu wierzchołkowego, współrzędne barycentryczne podane dla ortocentrum pokazują, że ortocentrum znajduje się we wnętrzu trójkąta ostrego , na wierzchołku prostokątnym trójkąta prostokątnego , a na zewnątrz trójkąta rozwartego .

W płaszczyźnie zespolonej , niech punkty , B i C oznaczają liczby , i, odpowiednio, i zakładamy, że okręgu opisanego trójkąta ABC znajduje się w początku układu współrzędnych płaszczyzny. Następnie liczba zespolona

jest reprezentowany przez punkt H , czyli ortocentrum trójkąta ABC . Na tej podstawie można w prosty sposób ustalić następujące charakterystyki ortocentrum H za pomocą wektorów swobodnych :

Pierwsza z poprzednich tożsamości wektorowych znana jest również jako problem Sylwestra , zaproponowany przez Jamesa Josepha Sylwestra .

Nieruchomości

Niech D , E i F oznaczają stopy wysokości odpowiednio z A , B i C . Następnie:

  • Iloczyn długości segmentów, na które ortocentrum dzieli wysokość, jest taki sam dla wszystkich trzech wysokości:
Okrąg o środku w punkcie H o promieniu pierwiastka kwadratowego tej stałej jest kołem biegunowym trójkąta .
  • Suma stosunków na trzech wysokościach odległości ortocentrum od podstawy do długości wysokości wynosi 1: (ta właściwość i następna są zastosowaniami bardziej ogólnej właściwości dowolnego punktu wewnętrznego i trzech cevian poprzez to.)
  • Suma stosunków na trzech wysokościach odległości ortocentrum od wierzchołka do długości wysokości wynosi 2:
  • Cztery punkty na płaszczyźnie, takie, że jeden z nich jest ortocentrum trójkąta utworzonego przez pozostałe trzy, nazywamy układem ortocentrycznym lub czworokątem ortocentrycznym.

Związek z okręgami i stożkami

Oznaczmy circumradius trójkąta przez R . Następnie

Ponadto, oznaczające R , jak promień trójkąta incircle , r a , R b , a r c jako promień jego excircles i R ponownie promień jego okręgu opisanego następujące stosunki utrzymać w zakresie odległości od orthocenter z wierzchołki:

Jeśli jakakolwiek wysokość, na przykład AD , jest przedłużona tak, aby przecinała okrąg opisany w punkcie P , tak że AP jest cięciwą okręgu opisanego, to stopa D dzieli segment HP na pół :

W directrices wszystkich parabol , które są zewnętrznie styczna do jednego boku trójkąta i styczna do rozszerzenia innych stronach przechodzą przez orthocenter.

Circumconic przechodzące przez orthocenter trójkąta jest prostokątny hiperboli .

Stosunek do innych centrów, dziewięciopunktowy okrąg

Orthocenter H The ciężkości G The okręgu opisanego O , a środek N z dziewięciu punktów okręgu wszystkie leżą w jednej linii, zwanej linią Eulera . Środek dziewięciopunktowego okręgu leży w środku linii Eulera, między ortocentrum a circumcenterem, a odległość między centroidem a circumcenterem jest o połowę mniejsza od odległości między centroidem a ortocentrum:

Orthocenter jest bliżej incenter I niż jest do środka ciężkości, a orthocenter jest dalej niż incenter jest od ciężkości:

Pod względem boków a, b, c , inradius r i circumradius R ,

Trójkąt ortyczny

Trójkąt abc (odpowiednio DEF w tekście) to trójkąt prostokątny trójkąta ABC

Jeśli trójkąt ABC jest ukośny (nie zawiera kąta prostego), trójkąt pedałów ortocentrum pierwotnego trójkąta nazywany jest trójkątem ortodontycznym lub trójkątem wysokości . Oznacza to, że stopy wysokości trójkąta ukośnego tworzą trójkąt ortodontyczny DEF . Ponadto środek (środek okręgu wpisanego) trójkąta prostokątnego DEF jest ortośrodkiem pierwotnego trójkąta ABC .

Współrzędne trójliniowe dla wierzchołków trójkąta ortopedycznego są podane przez

  • D = 0 : sek B  : sek C
  • E = sek A  : 0 : sek C
  • F = sek A  : sek B  : 0 .

Te wydłużone boki z orthic trójkąta spotykają przeciwnie inne boki trójkąta jego referencyjnego w trzech punktach leżących na jednej prostej .

W każdym trójkącie ostrym trójkąt wpisany o najmniejszym obwodzie to trójkąt ortogonalny. Jest to rozwiązanie problemu Fagnano , postawionego w 1775 roku. Boki trójkąta ortopedycznego są równoległe do stycznych do okręgu opisanego na wierzchołkach pierwotnego trójkąta.

Trójkąt ortokątny trójkąta ostrego daje trójkątną drogę światła.

Linie styczne dziewięciopunktowego okręgu w punktach środkowych boków ABC są równoległe do boków trójkąta prostokątnego, tworząc trójkąt podobny do trójkąta prostokątnego.

Orthic trójkąt jest ściśle związana z stycznym trójkąta , skonstruowano w następujący sposób: niech L jest styczna do okręgu opisanego trójkąta ABC przy wierzchołku A , a określenia L B i L C analogicznie. Niech A " = L B  ∩  L C , B" = L C  ∩  L A , C " = L C  ∩  L A , styczna trójkąty "B" C" , którego boki są styczne do trójkąta ABC jest circumcircle w jego wierzchołkach; jest jednorodny z trójkątem ortotycznym. Środek opisany w trójkącie stycznym i środek podobieństwa trójkątów ortopedycznych i stycznych leżą na linii Eulera .

Współrzędne trójliniowe dla wierzchołków trójkąta stycznego są podane przez

  • A" = − a  : b  : c
  • B" = a  : − b  : c
  • C" = a  : b  : − c .

Aby uzyskać więcej informacji na temat trójkąta ortopedycznego, zobacz tutaj .

Kilka dodatkowych twierdzeń o wysokości

Wysokość pod względem boków

Dla dowolnego trójkąta o bokach a, b, c i półobwodu s = ( a + b + c ) / 2 , wysokość od boku a jest wyrażona wzorem

Wynika to z połączenia wzoru Herona na pole trójkąta w kategoriach boków ze wzorem pola (1/2)×base×height, gdzie podstawą jest bok a, a wysokość jest wysokością z A .

Twierdzenia Inradiusa

Rozważ dowolny trójkąt o bokach a, b, c i odpowiadających im wysokościach h a , h b i h c . Wysokości i incircle promień R są powiązane

Twierdzenie o promieniu promieniaum

Oznaczając wysokość z jednego boku trójkąta jako h a , z dwóch pozostałych boków jako b i c , a promień okręgu trójkąta (promień koła opisanego w trójkącie) jako R , wysokość jest wyrażona wzorem

Punkt wewnętrzny

Jeśli p 1 , p 2 i p 3 są prostopadłymi odległościami od dowolnego punktu P do boków, a h 1 , h 2 i h 3 są wysokościami do odpowiednich boków, to

Twierdzenie o powierzchni

Oznaczanie wysokości dowolnego trójkąta z boków a , b i c odpowiednio jako , , i , oraz oznaczanie półsumy odwrotności tych wysokości, jakie mamy

Ogólny punkt na wysokości

Jeżeli E jest dowolnym punktem na wysokości AD dowolnego trójkąta ABC , to

Specjalne trójkąty przypadku case

Trójkąt równoboczny

Dla dowolnego punktu P w trójkącie równobocznym suma prostopadłych do trzech boków jest równa wysokości trójkąta. To jest twierdzenie Vivianiego .

Trójkąt prostokątny

Porównanie odwrotnego twierdzenia Pitagorasa z twierdzeniem Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym trzy wysokości h a , h b i h c (z których dwie pierwsze są równe długościom ramion b i a odpowiednio) są powiązane według

Jest to również znane jako odwrotne twierdzenie Pitagorasa .

Historia

Twierdzenie, że trzy wysokości trójkąta spotykają się w jednym punkcie, ortocentrum, zostało po raz pierwszy udowodnione w publikacji Williama Chapple'a z 1749 roku .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne