kąt - Angle


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Kąt utworzony przez dwa promieni wychodzących z wierzchołka.

W geometrii płaskiej An kąt jest postać utworzona z dwóch promieni , zwany boków kąta, dzielące wspólny punkt końcowy, zwany wierzchołek kąta. Kąty utworzone przez dwa promienie leżą w jednej płaszczyźnie, ale ten samolot nie musi być euklidesowa samolot . Kąty są również utworzone przez przecięcie dwóch płaszczyzn w euklidesowej i innych pomieszczeń . Są to tak zwane kątów dwuściennych . Kąty utworzone przez przecięcia dwóch krzywych na płaszczyźnie są określone jako kąt określony przez promienie styczna w punkcie skrzyżowania. Podobne wypowiedzi trzymać w przestrzeni, na przykład kąt sferyczny utworzona przez dwóch wielkich kół na sferze jest dwuścienny kąt pomiędzy płaszczyznami określonych przez wielkich kołach.

Kąt jest również stosowany do wyznaczenia miary kąta lub o rotacji . Środek ten ma stosunek długości łuku okręgu do jego promienia . W tym przypadku kąt geometryczny, łuk jest wyśrodkowany przy wierzchołku i ograniczony z obu stron. W przypadku rotacji, łuk jest skupione w środku obrotu i rozdzielany przez dowolny inny punkt i jej wizerunku przez obrót.

Słowo kąt pochodzi od łacińskiego słowa angulus , czyli „kącik”; pokrewne słowa są grecki ἀγκύλος (ankylοs) , czyli „krzywy, zakrzywiony”, a angielskie słowo „ kostki ”. Obie są związane z Proto-indoeuropejskiego korzenia * ank- znaczy „wyginać” lub „łuk”.

Euclid określa kąt płaszczyźnie pochylenia względem siebie w płaszczyźnie, z dwóch linii, które spotykają się ze sobą i nie leżą idealnie w stosunku do siebie. Według Proklos kąt musi być albo jakości lub ilości lub stosunki. Pierwsza koncepcja została wykorzystana przez Eudemus , który uważany jako kąt odchylenia od linii prostej ; drugi przez Karpa Antiochii , który uważał go jako przedział lub przestrzeni między liniami przecinającymi; Euklides przyjęła trzecią koncepcję, choć jego definicje prawa, ostrych i rozwartych kątach są z pewnością ilościowa.

identyfikowanie kąty

W matematycznych, to powszechnie stosuje się greckiej litery ( α , β , γ , θ , φ ,...), By służyć jako zmiennych stałego do wielkości pewnym kątem. (Aby uniknąć pomyłek z drugim rozumieniu, symbol π zwykle nie jest wykorzystywany do tego celu.) Małymi literami alfabetu łacińskiego ( abc ,...) Wykorzystywane są również, podobnie jak wielkie litery rzymskie litery w kontekście wielokąty . Patrz dane w tym artykule przykłady.

W figur geometrycznych, kąty te mogą być identyfikowane przez etykiety dołączone do trzech punktach, które je określają. Na przykład, kąt przy wierzchołku A, zamknięty przez promienie AB i AC (czyli linii od punktu A do punktu B i od punktu A do punktu C) oznacza się ∠BAC (Unicode U + 2220 KĄT ) lub . Czasami, gdy nie ma ryzyka pomyłki, kąt może być nazywany po prostu przez jego wierzchołek ( „kąt A”).

Potencjalnie kąt oznaczona, na przykład, ∠BAC może odnosić się do dowolnego z czterech kątów: kąt kierunku ruchu wskazówek zegara od B do C, pod kątem przeciwnym do wskazówek zegara od B do C, kąt kierunku ruchu wskazówek zegara od C do B, lub pod kątem przeciwnym do wskazówek zegara od C do B , przy czym kierunek, w których kąt jest mierzony określa jego oznakowanie (patrz Dodatnie i ujemne kąty ). Jednakże, w wielu sytuacjach geometrycznych wynika to jasno z kontekstu, że dodatni kąt mniejszy niż lub równy 180 stopni rozumie i bez niejednoznaczności. W przeciwnym razie, konwencja można przyjąć, tak że ∠BAC zawsze odnosi się w lewo (pozytywny) kąt od B do C, oraz dla ∠CAB w lewo (dodatnie) od kąta C B.

Rodzaje kątów

poszczególne kąty

  • Kąt równy 0 ° C jest nazywana kątem zera.
  • Kątach mniejszych niż kąt (poniżej 90 °), nazywane są ostre kąty ( „ostry” oznacza „ostry”).
  • Kąt równy 1 / 4 obrotu (90 ° lub π / 2 radianów) nazywa się pod kątem prostym . Dwie linie, które tworzą kąt prosty, są uważane za normalne , prostopadłe lub prostopadłej .
  • Kąty większe od kąta prostego i mniejszy niż kąt prosty (między 90 ° a 180 °) nazywane są rozwarte kąty ( „tępy”, czyli „tępe”).
  • Kąt równy 1 / 2 obrotu (180 ° lub gatunku radianów) jest nazywany kątem prostym .
  • Kąty większe niż kąt prosty, ale mniej niż 1 obrót (między 180 ° a 360 ° C) jest nazywana kątów wklęsłych .
  • Kąt równy 1 obrotu (360 ° lub 2 gatunku radianów) nazywa się kąta pełnego , pełny kąt , lub perigon .
  • Kąty, które nie są kątami prostymi lub wielokrotność kąta prostego nazywane są skośne kąty .

Nazwy, odstępy i jednostki mierzone są pokazane w poniższej tabeli:

Ostry ( ) rozwarty ( b ) i proste ( c ), kąty. Ostre i rozwarte kąty są również znane jako kątach ukośnych.
Kąt odbicia
Imię   zero ostry prosty kąt rozwarty prosto odruch perigon
jednostki Interwał
Obrotów   0 (0,  1 / 4 ) 1 / 4 ( 1 / 41 / 2 ) 1 / 2 ( 1 / 2 , 1) 1
radianów 0 (0, 1 / 2 π ) 1 / 2 π ( 1 / 2 π , π ) π ( Π 2 π ) 2 π
Stopnie   0 ° (0, 90) ° 90 ° (90, 180) ° 180 ° (180, 360), ° 360 °
gradach   0 g (0, 100) g 100 g (100, 200), g 200 g (200, 400) g 400 g

pary kątowe równoważności

  • Kąty, które mają ten sam środek (czyli tej samej wielkości) są uważane za równe lub przystające . Kąt jest określony przez jego środek, a nie jest zależna od długości boków kąta (na przykład wszystkie kąty są równe co do środka).
  • Dwa kąty, które dzielą strony zacisków, lecz różnią się wielkością od całkowitej wielokrotności z kolei są nazywane koterminalne kąty .
  • Kąta jest ostra wersja dowolnym kątem określonym przez wielokrotne odjęcie lub dodanie kątem prostym ( 1 / 2 turze 180 ° lub gatunku radianów) wyników jest to konieczne, aż wielkość wyniku jest kątem ostrym wartość od 0 do 1 / 4 turze 90 ° C, lub gatunku / 2 radianów. Na przykład, pod kątem 30 stopni, posiada kąt odniesienia 30 stopni, a kąt 150 stopni, posiada kąt odniesienia 30 ° C (180-150). Kąt 750 stopni ma kąt odniesienia 30 ° C (750-720).

Pionowy i sąsiadujące pary kątowe

Kąty A i B, które stanowią parę pionowych kątów; kątów C, D są dwie pionowe kątami.

Kiedy dwie proste linie przecinają się w punkcie, powstają cztery kątowniki. Parami te kąty są nazywane w zależności od ich lokalizacji względem siebie.

  • Para przeciwległych kątów siebie, utworzone przez dwie przecinające się linie proste, które tworzą znak „X” przypisuje kształt są nazywane pionowych kątowników lub przeciwne kąty lub pionowo przeciwne kąty . Są one w skrócie vert. opp. ∠s .
Równość pionowo przeciwległych kątów nazywamy pionową kąt twierdzenie . Eudemos z Rodos nadana dowód do Talesa z Miletu . Propozycja wykazały, że ponieważ obie pary pionowych kąty są uzupełnieniem do obu sąsiednich kątów pionowe kąty są równe środka. Według historycznych Uwaga, kiedy Thales odwiedził Egipt, zauważył, że kiedy Egipcjanie wyciągnął dwie przecinające się linie, będą mierzyć kąty pionowe aby upewnić się, że są one równe. Thales zawarta że można udowodnić, że wszystkie kąty pionowe są równe jeśli ktoś przyjął kilka ogólnych pojęć, takich jak: wszystkie kąty proste są równe, równa dodane do równych są sobie równe, i wynosi odejmowana od równości są równe.
Na rysunku, przyjmijmy miary kąta A = x . Gdy dwa sąsiadujące ze sobą kąty w jednej linii, są uzupełniające. Zatem miarą kąta C = 180 - x . Podobnie, pomiar kąta D = 180 - x . Zarówno kąt C i kąt D ma środki równe 180 - x i są przystające. Od kąta B jest uzupełnienie obydwa kąty, C i D , zarówno tych środków kąt ten może być użyty do określenia miary kąta B . Przy użyciu środka z obu kąt C lub kąt D znajdujemy miarą kąta B = 180 - (180 - x ) = 180 - 180 + x = x . Dlatego zarówno Kąt i kąt B mają środki równe x i są równe miary.
Kąty i
B są obok siebie.
  • Sąsiednie kąty , często skracane jako przym. ∠s są kąty, które mają wspólny wierzchołek i krawędzi, ale nie udostępnia żadnych punktów wewnętrznych. Innymi słowy, są to kątowniki, które są ze sobą, lub sąsiadują ze sobą, dzielenie „ramieniu”. Kąty suma prostopadle sąsiadujące, pod kątem prostym lub w pełnym kącie są specjalne i nazywa się odpowiednio komplementarne , uzupełniających i explementary kątami (zobacz „połączenie pary kątowych” poniżej).

Poprzeczna jest linia przecina parę (często równolegle) linii i wiąże się z naprzemiennych kątów wewnętrznych , Kąty , kątów wewnętrznych i kątów zewnętrznych .

Łączenie pary kątowych

Istnieją trzy specjalne pary kątowe, które wiążą się z sumowaniem kątami

Komplementarnych kątów i
b ( b jest uzupełnienie z i jest uzupełnieniem B ).
  • Komplementarnych kątów są pary kątowe których środki sumują się do jedności kąta ( 1 / 4 z kolei, 90 ° C, lub gatunku / 2 radianów). Jeżeli oba kąty są komplementarne w sąsiedztwie ich niewspólną boki tworzą kąt prosty. W geometrii euklidesowej dwóch ostrych kątów w trójkąt są komplementarne, ponieważ suma wewnętrznych kątów trójkąta wynosi 180 °, a sam kąt prosty stanowi dziewięćdziesięciu stopni.
Przymiotnik jest komplementarna z łacińskiego complementum , związane z czasownika complere „aby zapełnić”. Kąt ostry jest „wypełniony” przez jego uzupełnienie tworzą kąt prosty.
Różnica między kątem i pod kątem prostym jest określany jako dopełnienie kąta.
Jeśli kąty i B są komplementarne Następujące związki posiadają:
(The tangens kąta równy cotangens jego dopełnieniem i jego sieczny równa cosecans jego dopełnienia).
Przedrostekwspół- ” w nazwach niektórych trygonometrycznych wskaźników odnosi się do słowa „komplementarny”.
Kąty i
bdodatkowe kątami.
  • Dwa kąty, które sumują się do prostego kąta ( 1 / 2, z kolei, 180 ° lub π radianach) zwane dodatkowe kąty .
Jeżeli dwa dodatkowe kąty sąsiadujące (czyli mają wspólny wierzchołek i dzielić się tylko z jednej strony), ich niewspólną boki tworzą linię prostą . Kąty te są nazywane liniowy pary kątów . Jednak dodatkowe kąty nie muszą znajdować się na tej samej linii i może być rozdzielone w przestrzeni. Na przykład, sąsiadujące ze sobą kąty równoległoboku są uzupełniające i przeciwległe kąty cyklicznego czworoboku (ten, którego wierzchołki wszystkich spadek w jednym okręgu) uzupełniają.
Czy punkt P znajduje się na zewnątrz do okręgu o środku w punkcie O, a jeżeli linie styczne z P dotykać koła w punktach T i Q, i następnie ∠TPQ ∠TOQ uzupełniają.
Sinusów uzupełniających kąty są równe. Ich cosinus i styczne (chyba niezdefiniowany) są równe co do wielkości, ale mają przeciwne znaki.
W geometrii euklidesowej Każda suma dwóch kątów trójkąta stanowi uzupełnienie do trzeciego, ponieważ suma kątów wewnętrznych trójkąta jest kątem prostym.

Suma dwóch explementary kątów jest kompletna kąt.
  • Dwa kąty, które sumują się do całkowitego kąta skrętu (1, 360 ° C, lub 2 gatunku radianów) zwane explementary kątów lub sprzężonych kąty .
    Różnica między kątem i całkowitego kąta jest określany jako explement kąta lub koniugatu kąta.

Kąty związane wielokąta

Wewnętrzne i zewnętrzne kąty.
  • Kąt, który jest częścią prostego wielokąta nazywamy kąt wnętrze jeśli leży na wewnętrznej stronie tego prostego wieloboku. Prosty wklęsły wielokąt ma co najmniej jeden wewnętrzny kąt, który jest kąt wklęsły.
    W geometrii euklidesowej środki o wewnętrznych kątów trójkąta dodać do gatunku radianach, 180 °, lub 1 / 2 zakręt; Środki z wewnętrznych kątów prostych wypukłej czworoboku dodać do 2 gatunku radianach, 360 °, lub 1 obrót. Na ogół, środki wewnętrznych kątów prostych wypukłej wieloboku o n bokach dodawać do ( n  - 2) gatunku radianach lub 180 ( n  - 2) °, (2 n  - 4) pod kątem prostym, lub ( n / 2  - 1) obracać.
  • Uzupełnieniem kątem wewnętrznym nazywane jest kąt zewnętrzny , to znaczy, wewnętrzny kąt i na zewnątrz, tworząc kąt liniowej pary kątów . Istnieją dwie zewnętrzne kąty na każdym wierzchołku wielokąta, co określono poprzez rozszerzenie jednego z dwóch boków wielokąta, które spotykają się przy wierzchołku; Te dwa kąty są pionowe, a zatem kąty są równe. Zewnętrzne kąt mierzy ilość obrotów trzeba zrobić przy wierzchołku aby prześledzić wielokąt. Jeśli odpowiedni kąt wewnętrzny jest odruchem kąt, kąt zewnętrzny należy uznać za negatywny . Nawet w non-wielokąt prosty może być możliwe, aby zdefiniować kąt zewnętrzny, ale trzeba będzie wybrać się orientację w płaszczyźnie (lub powierzchni ) decydowanie znak miary kąta zewnętrznego.
    W geometrii euklidesowej, suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego prostego będzie jeden pełny obrót (360 °). Z zewnątrz kąt tutaj można nazwać dodatkowy kąt zewnętrzny . Kąty zewnętrzne są powszechnie stosowane w Logo Turtle geometrii przy opracowywaniu regularnych wielokątów.
  • W trójkącie , że Dwusieczna dwóch zewnętrznych kątów a dwusieczną kąta wewnętrznego drugiego są współbieżne (spotykają się w jednym punkcie).
  • W trójkącie trzy punkty przecięcia każdego zewnętrznego dwusiecznej kąta z przeciwległym dłuższym boku , są współliniowe .
  • W trójkącie trzy punkty przecięcia dwóch z nich pomiędzy wewnętrzną dwusiecznej kąta, a po przeciwnej stronie, a trzeci pomiędzy drugim zewnętrznym dwusiecznej kąta, a po przeciwnej stronie przedłużony są współliniowe.
  • Niektórzy autorzy używają nazwy zewnętrznej kąta prostego wieloboku po prostu oznaczać explement kąt zewnętrzny ( nie uzupełnienie!) Kąta wnętrz. Jest to sprzeczne z powyższym użytkowania.

Kąty związane płaszczyzny

  • Kąt pomiędzy dwoma płaszczyzn (takich jak dwa sąsiednie powierzchnie czołowe wielościanu ) nazywany jest dwuścienny kąt . Może on być określony jako kąt ostry pomiędzy dwoma liniami normalnymi do płaszczyzn.
  • Kąt pomiędzy płaszczyzną i przecinających się linii prostej jest równa dziewięćdziesięciu stopni minus kąt pomiędzy linią przecięcia oraz linii, która przechodzi przez punkt przecięcia się i jest prostopadły do ​​płaszczyzny.

pomiaru kątów

Wielkość kąta geometryczna jest zwykle charakteryzowane przez wielkość najmniejszego obrotu, która mapuje jeden promieni do drugiej. Kąty, które mają ten sam rozmiar, są uważane za równe lub przystające lub równe miary .

W pewnych sytuacjach, takich jak identyfikujące punkt na kole albo opisujące orientacji obiektu w dwóch kierunkach w stosunku do orientacji odniesienia, kąty, które różnią się o dokładną wielokrotnością pełnego obrotu są skutecznie równoważna. W innych sytuacjach, np identyfikujące punkt na spiralnej krzywej lub opisujące łączny obrót obiektu w dwóch kierunkach w stosunku do orientacji odniesienia, kątów, które różnią się o nie-zerowej wielokrotności pełnego obrotu nie są równoważne.

Miarą kąta θ (w radianach) jest ilorazem S i R .

Aby zmierzyć kąt θ , A łuk okręgu o środku w wierzchołku kąta uwagę, na przykład za pomocą pary cyrkla . Stosunek długości s łuku przez promień R koła jest miarą kąta w radianach .

Miarą kąta innym kątowego urządzenia jest uzyskiwana przez pomnożenie jej środka w radianach przez współczynnik skalowania K / 2 gatunku , gdzie k jest miarą pełny obrót w wybranym urządzeniu (na przykład 360 na stopnie lub 400 do gradians ):

Wartość θ tak określony jest niezależna od wielkości okręgu: gdy długość promienia jest zmieniony, wówczas zmiany długości łuku w tej samej proporcji, aby stosunek y / R nie ulega zmianie. (Potwierdzenie. Powyższym wzorze może być zapisane jako k = θr / s . O jeden obrót, w odniesieniu do których θ = n jednostek odpowiada łuku równego długości do kręgu w obwodzie , który jest 2 π R , tak, e = 2 gatunku R . Podstawiając n dla θ i 2 gatunku R do S w formule powoduje k = nr / 2 π R = n / 2 π . )

Kąt dodatek postulat

Dodanie kąt postulować, że jeśli B jest wewnątrz kąta AOC , a następnie

Miara kąta AOC jest sumą miary kąta AOB i miary kąta BOC . W powyższej reguły nie ma znaczenia, w którym jednostka kąt mierzony jest tak długo, jak każdy kąt jest mierzony w tym samym urządzeniu.

jednostki

Jednostki stosowane do reprezentowania kąty są wymienione poniżej w kolejności malejącej wielkości. Z tych sztuk, stopień i radian są zdecydowanie najczęściej używane. Kąty są wyrażone w radianach bezwymiarowy dla celów analizy wymiarowej .

Większość urządzeń pomiaru kątowego są określone w taki sposób, że jeden skręt (czyli jeden pełny okrąg) jest równa n jednostek jakiegoś liczby całkowitej N . Te dwa wyjątki są radian i część średnicy.

Obrócić ( n  = 1)
Kolej również cykl , pełne koło , obrót , a obrót jest zakończony ruch kołowy lub środka (jak na powrót do tego samego miejsca) z koła lub elipsy. Obrót jest skrótem τ , Cyc , rev lub gnicia w zależności od zastosowania, ale akronim rpm (obrotów na minutę), tak R używany. Kolej z n jednostek uzyskuje się poprzez ustawienie k = 1 / 2 gatunku w powyższym wzorze. Równoważność 1 zaś wynosi 360 °, 2 π Rad, 400 grad i 4 pod kątem prostym. Symbol τ może być również stosowany jako matematyczną stałej reprezentuje 2 gatunku radianów. Stosuje się w ten sposób ( K = τ / 2n ) umożliwia radianów być wyrażony jako ułamek obrotu. Na przykład pół obrotu τ / 2 = π .
Kwadrancie ( n  = 4)
Kwadrant jest 1 / 4 z kolei, czyli pod kątem prostym . Jest to jednostka używana w Elementów Euklidesa . 1 quad. = 90 ° = π / 2  Rad = 1 / 4 obrót = 100 grad. W języku niemieckim symbolem został wykorzystany do określenia ćwiartki.
Sekstantu ( n  = 6)
Sekstantu ( kąt trójkąta równobocznego ) wynosi 1 / 6 z kolei. Jest to urządzenie wykorzystywane przez Babilończykami i jest szczególnie łatwy do skonstruowania przy linijki i cyrkla. Stopień, minuty i sekundy łuku łuku są sześćdziesiątkowy podjednostki babilońskiej urządzenia. 1 Babilończyk jednostka = 60 ° = π / 3 Rad ≈ 1,047197551 Rad.
θ = y / R Rad = 1 rad.
Radianach ( n  = 2 π  = 6,283..).
Radian jest wartość kąta łuku okręgu, który ma taką samą długość jak promienia okręgu. Przypadek radianie do wzoru podanego na początku, w radianach z n = 2 π jednostki uzyskuje się poprzez ustawienie k = 2 π / 2 π = 1. Jeden obrót wynosi 2 gatunku radianów, a jednym radianie jest 180 / π stopni lub około 57.2958 stopni. Radian jest skrótem rad , choć ten symbol jest często pomijane w tekstach matematycznych, gdzie są zakładanych radianów chyba że podano inaczej. Gdy radianów są stosowane kątowniki są uważane jako bezwymiarowy. Radian jest używany w niemal wszystkich matematycznej pracy poza zwykłą geometrii praktycznej z powodu, na przykład, do miłe i „naturalnych” właściwości, że funkcje trygonometryczne wyświetlaczu, gdy ich argumenty są w radianach. Radian jest (pochodnych) jednostka pomiaru kątowego w SI systemu.
Położenie zegara ( n  = 12)
Pozycja zegar jest względem kierunku przedmiotu opisywana analogię 12-godzinnego . Jeden wyobraża tarczy leży zarówno w pozycji pionowej lub mieszkanie przed siebie, i identyfikuje dwanaście godzin oznaczenia z kierunków, w których punkt.
Kąt godziny ( n  = 24)
Astronomiczna kąt godzin wynosi 1 / 24 z kolei. Ponieważ system ten jest podatny na obiekty, które cykl raz dziennie (takie jak względne położenie gwiazd) pomiar, podjednostki sześćdziesiątkowy nazywa minut czasu i drugiego czasu . Są one oddzielone od i 15 razy większa niż, minuty i sekundy kątowe. 1 godzina = 15 ° = π / 12  rad = 1 / 6  quad. = 1 / 24 kolej = 16 2 / 3   grad.
(Kompas) Temperatura wiatrowa ( n  = 32)
Punkt , używane w nawigacji jest 1 / 32 z kolei. 1 punkt = 1 / 8 kąta prostego = 11,25 ° = 12,5 grad. Każdy punkt jest podzielony na cztery ćwierć punktów tak, że kolej jest równa 1 128 ćwierć punktów.
Hexacontade ( n  = 60)
Hexacontade jest jednostka 6 °, które Eratosthenes używany tak, że cała kolej podzielono na 60 jednostek.
Pechus ( n  = 144-180)
-The pechus był Babilończyk jednostki równej około 2 ° lub 2 1 / 2  °.
Binarny stopnia ( n  = 256)
Binarny poziom , znane również jako radianie binarny (albo Brad ) jest 1 / 256 z kolei. Stopień binarna jest wykorzystywana w obliczeniach, tak że kąt może być efektywnie reprezentowane w jednym bajcie (aczkolwiek ograniczoną dokładnością). Inne środki do wyliczenia kąta może być oparta na podzielenie jedną całość kolei do 2 n równe części innych wartości n .
Stopień ( n  = 360)
Stopień , oznaczony małym indeksie górnym kręgu (°) wynosi od 1/360 obrotu, więc jeden skręt wynosi 360 ° C. Przypadek stopni do wzoru podanego wcześniej, stopień z n = 360 ° jednostek uzyskuje się poprzez ustawienie k = 360 ° / 2 gatunku . Jedną z zalet tego starego sześćdziesiątkowy podjednostki jest powszechne w wielu kątów prostych geometrii mierzy się jako liczbę stopni. Frakcje o stopniu mogą być zapisane w normalnym układzie dziesiętnym (na przykład 3,5 ° dla trzech i pół stopnia) jest również, ale „minut” i „drugi” podjednostki sześćdziesiątkowa systemu „stopień minut drugiego” w użyciu, zwłaszcza, o współrzędnych geograficznych oraz w astronomii i balistyki .
Średnica części ( n  = 376,99..).
Część średnicy (czasami stosowane w matematyce islamskich) wynosi 1 / 60 radianach. Jeden „część średnicę” około 0,95493 °. Istnieje około 376,991 średnica części na kolei.
Grad ( n  = 400)
Grad , zwany także stopień , gradian lub gon , to 1 / 400 z kolei, a więc kąt prosty ma 100 grads. Jest to podjednostki dziesiętną ćwiartce. Km historycznie zdefiniowany jako Centi -grad wzdłuż łuku koła wielkiego Ziemi, więc km jest analogowy dziesiętny do sześćdziesiątkowy mili morskiej. Grad jest stosowany głównie w triangulacji .
Milliradian
Milliradian (MIL lub mrad) jest zdefiniowana jako tysięcznej radianach, co oznacza, że obrót jednego z kolei składa się z 2000π milicali (lub około 6283.185 ... mil), i prawie wszystkie istotne zakres dla broni są kalibrowane z tą definicją , Ponadto istnieją trzy inne definicje pochodnych przeznaczonych dla artylerii i nawigacji, które są w przybliżeniu równe milliradian. W tych trzech innych definicji jeden obrót stanowi dokładnie przez 6000, 6300 lub 6400 mil, która jest równa, działającym w zakresie od 0,05625 do 0,06 ° (3,375 do 3,6 minuty). W porównaniu z prawdziwym milliradian wynosi około 0.05729578 ... stopni (3.43775 ... minut). Jeden „ NATO mil” definiuje się jako 1 / 6400 okręgu. Podobnie jak w przypadku prawdziwego milliradian, każdy z innymi definicjami wykorzystuje właściwość handby MIL dotyczącą wymiary pokrycia, to znaczy, że wartość jednego milliradian przybliżeniu równa wartość kąta szerokości 1 metra widziany z odległości 1 km ( 2 π / 6400 = 0.0009817 ... ≈ 1 / 1000 ).
Minutę łuku ( n  = 21600)
Minut łuku (lub MOA , arcminute lub tylko minutę ) wynosi 1 / 60 , których stopień = 1 / 21600 kolei. Jest oznaczany przez pojedynczy prim ( '). Na przykład, 3 ° 30 'jest równa 3 * 60 + 30 = 210 minut albo 3 +  30 / 60 = 3,5 °. Mieszany format z dziesiętnych jest czasami stosowane, na przykład 3 ° '= 5,72 3 +  5,72 / 60 stopni. Mil morskich została zdefiniowana jako historycznie minuty łuku wzdłuż koła wielkiego Ziemi.
Drugi łuk ( n  = 1,296,000)
Drugi łuk (lub sekundy kątowej lub tylko sekundy ) wynosi 1 / 60 na minutę łukowej i 1 / 3600 stopnia. Jest on oznaczony podwójną sile ( "). Na przykład, 3 ° 7 '30 "jest równe 3 + 7 / 60 + 30 / 3600 stopni, lub 3,125 stopni.

Dodatnie i ujemne kąty

Chociaż definicja pomiaru kąta nie obsługuje koncepcję ujemnym kątem, to często przydatne do nałożenia konwencję, która pozwala dodatnie i ujemne wartości kątowe do reprezentowania orientacje i / lub obroty w przeciwnych kierunkach w stosunku do pewnego odniesienia.

W dwuwymiarowym układzie współrzędnych kartezjańskim , kąt jest zazwyczaj definiowany przez jego obu stronach, z wierzchołkiem w pochodzenia. Początkową boku jest dodatnim osi x , podczas gdy druga strona lub strony zacisków jest określona przez działania od pierwszego boku w radianach stopni lub zwojów. Z dodatnich kątach reprezentujących obroty do dodatniej osi y i kątów ujemnych stanowiących obroty do ujemnego y -osiowy. Gdy współrzędne kartezjańskie są reprezentowane przez standardowej pozycji określonej przez x -osiowy w prawo, a Y -osiowy górę dodatnie obroty są lewoskrętne i ujemne obroty są do ruchu wskazówek zegara .

W wielu kontekstach, kąt - θ jest praktycznie równoznaczne z kątem „jeden pełny obrót minus θ ”. Na przykład, orientacja reprezentowane -45 ° jest faktycznie równoważne orientacji reprezentowane 360 ° - 45 ° lub 315 °. Mimo że końcowe położenie jest takie samo, fizyczne obrotowy (ruch) ° -45 jest taki sam jak 315 ° obrotu (na przykład obrót osoby trzymającej szczotki spoczywającą na podłodze zakurzonym pozostawi wizualnie różne ślady z przetoczyła regiony na podłodze).

W trójwymiarowej geometrii „zegara” i „w lewo” nie mają absolutną znaczenie, a więc w kierunku dodatnich i ujemnych kątów musi być określony w odniesieniu do pewnego odniesienia, co jest zazwyczaj wektor przechodzącej przez wierzchołek ustala kąt i prostopadle do płaszczyzny jakim promienie leżą kątowej.

W nawigacji , łożyska lub azymut są mierzone w stosunku do północy. Zwyczajowo, patrząc z góry, kątowniki łożyskowe są dodatnie do ruchu wskazówek zegara, a więc łożysko 45 ° odpowiada orientację północ-wschód. Łożyska negatywne nie są wykorzystywane w nawigacji, a więc orientacja północ-zachód odpowiada łożysku 315 °.

Alternatywne sposoby pomiaru wielkości kąta

Istnieje kilka alternatyw dla pomiaru wielkości kąta od kąta obrotu. Stopień stoku lub gradientu jest równa tangens kąta lub czasem (rzadko) z sinusa . Gradient jest często wyraża się jako wartość procentową. Dla bardzo małych wartości (mniej niż 5%,), przy czym stopień o nachyleniu około miarą kąta w radianach.

W racjonalnym geometrii rozpiętość pomiędzy dwoma przewodami definiuje się jako kwadrat sinusa kąta między liniami. Jako sinusa kąta a sinus jej dodatkowego kąta są takie same, dowolny kąt obrotu, która odwzorowuje jednej z linii do innych prowadzi do tych samych wartości dla różnicy między liniami.

przybliżenia astronomiczne

Astronomers pomiaru kątowego oddzielenia obiektów w stopniu od ich punktu obserwacji.

  • 0,5 ° w przybliżeniu szerokość od słońca lub księżyca.
  • Około 1 ° szerokość małego palca na długości ramienia.
  • 10 ° w przybliżeniu szerokość pięścią na długości ramienia.
  • 20 ° w przybliżeniu szerokości handspan na długości ramienia.

Pomiary te wyraźnie zależy od danego osobnika, a powyżej należy traktować jako szorstki zasada tylko przybliżeń.

Kąty między krzywymi

Kąt pomiędzy dwiema krzywymi na P jest określony jako kąt pomiędzy styczną A i B w P .

Kąt pomiędzy linią a krzywa (mieszanego) lub kąt pomiędzy dwiema krzywymi (przecinających krzywoliniowy kątowym), jest zdefiniowany jako kąt pomiędzy stycznymi w punkcie skrzyżowania. Różne nazwy (obecnie rzadko, jeśli w ogóle, używany) zostały podane do poszczególnych przypadkach: - amphicyrtic (Gr. Ἀμφί , po obu stronach, κυρτός, wypukłych) lub cissoidal (Gr κισσός, bluszcz.), Obustronnie wypukłe; xystroidal lub sistroidal (GR ξυστρίς, narzędzia do zgarniania.) wklęsło-wypukła; amphicoelic (GR. κοίλη wydrążonym) lub angulus lunularis , wklęsła.

Bisecting i trisecting kąty

W starożytnych greckich matematyków umiał przepoławiać kąt (podzielić ją na dwie równe miary kątów) z użyciem tylko kompas i liniału , ale może trisect tylko niektóre kąty. W 1837 roku Pierre Laurent Wantzel wykazały, że dla większości kątów ta konstrukcja nie może być wykonana.

iloczyn skalarny i uogólnienia

W przestrzeni euklidesowej kąt θ pomiędzy dwoma euklidesowa wektorów U i V są związane z ich iloczyn skalarny i ich długości za pomocą wzoru

Wzór ten dostarcza łatwego sposobu, aby dowiedzieć się kąt pomiędzy dwiema płaszczyznami (lub zakrzywionych powierzchni) z ich normalnych wektorów oraz między skośnymi liniami z ich równań wektorowych.

Produkt wewnętrzny

Aby zdefiniować kąty w abstrakcyjny realnej przestrzeni wewnętrznej produktu , możemy wymienić euklidesową iloczynu skalarnego ( · ) przez iloczyn wewnętrzny , czyli

W złożonym wewnętrznej przestrzeni produktu , wyrażenie dla cosinus powyżej może dać nie rzeczywiste wartości, a więc otrzymuje się

albo, częściej, przy pomocy wartości bezwzględnej, z

To ostatnie określenie ignoruje kierunek wektora, a więc opisuje kąt pomiędzy podprzestrzeni jednowymiarowych i objętej przez wektory i odpowiednio.

Kąty pomiędzy podprzestrzeni

Definicja kąta pomiędzy podprzestrzeni jednowymiarowych i podaje

w przestrzeni Hilberta może być przedłużony do podprzestrzeni wszelkich skończonych wymiarach. Biorąc pod uwagę dwie podprzestrzenie , z , prowadzi to do definicji kątów zwanych kanoniczne lub główne kąty między podprzestrzeni.

Kąty w geometrii Riemanna

W geometrii Riemanna The tensora metrycznego jest używany do określenia kąta nachylenia pomiędzy dwiema stycznymi . Gdzie U i V są wektory styczna g ij są elementy tensora metrycznego G ,

hiperboliczny kąt

Hiperboliczny kąt jest argumentem o hiperbolicznej funkcji podobnie jak kąt kołowy jest argument w okrągłym funkcji . Porównanie to może być widoczne, ponieważ rozmiar otworów w sektorze hiperbolicznych i wycinka koła , ponieważ powierzchnie tych sektorów odpowiadają wielkości kątów w każdym przypadku. W przeciwieństwie do kąta kołowego, kąt hiperboliczny jest nieograniczona. Gdy funkcje hiperboliczne okrągłe i są postrzegane jako nieskończonej serii w ich kątem argumentu, okrągłe z nich są po prostu przemiennego serii form funkcji hiperbolicznych. Ten tkania z dwóch rodzajów kąta i funkcji zostało wyjaśnione przez Leonhard Euler w Wstęp do analizy Infinite .

Kąty w geografii i astronomii

W geografii , położenie każdego punktu na Ziemi mogą być identyfikowane za pomocą współrzędnych geograficznych systemu . System ten określa szerokość geograficzną i długość geograficzną w dowolnym miejscu pod względem kątów wyznaczany w środku Ziemi, używając równik i (zazwyczaj) na południk Greenwich jako odniesienia.

W astronomii , dany punkt na sferze niebieskiej (to jest widoczne położenie astronomicznego obiektu) mogą być identyfikowane z użyciem dowolnego z kilku astronomicznych układy współrzędnych , gdzie odniesienia się różnić w zależności od konkretnego układu. Astronomowie pomiaru kątowego oddzielenia dwóch gwiazdek , wyobrażając sobie dwie linie przez środek Ziemi , każdą przecinającą jedną z gwiazd. Kąt pomiędzy tymi linii mogą być mierzone i jest odstęp kątowy pomiędzy dwiema gwiazdkami.

W obu geografii astronomii kierunek obserwacji może być określony w odniesieniu do belki nośnej , takich jak wysokość / wysokości względem horyzontu , a także azymutu względem północy .

Astronomowie pomiaru pozornej wielkości przedmiotów jako średnicy kątowej . Na przykład, pełnia ma kołowy o średnicy około 0,5 °, patrząc z Ziemi. Można powiedzieć, „średnica Księżyca leży naprzeciw kąta, o pół stopnia.” Wzór mały kąt może być stosowany do konwersji takiego pomiaru kątowego w stosunku odległości / wymiaru.

Zobacz też

Uwagi

Referencje

Przypisanie

Linki zewnętrzne