Kąt - Angle

Kąt utworzony przez dwa promienie wychodzące z wierzchołka.

W geometrii euklidesowej An kąt jest postać utworzona z dwóch promieni , zwany boków kąta, dzielące wspólny punkt końcowy, zwany wierzchołek kąta. Kąty utworzone przez dwa promienie leżą w płaszczyźnie zawierającej promienie. Kąty są również tworzone przez przecięcie dwóch płaszczyzn. Są to tak zwane kąty dwuścienne . Dwie przecinające się krzywe definiują również kąt, który jest kątem stycznych w punkcie przecięcia. Na przykład kąt sferyczny utworzony przez dwa wielkie koła na sferze jest równy kątowi dwuściennemu między płaszczyznami zawierającymi wielkie koła.

Kąt jest również używany do wyznaczenia miary kąta lub obrotu . Miarą tą jest stosunek długości łuku kołowego do jego promienia . W przypadku kąta geometrycznego łuk jest wyśrodkowany w wierzchołku i ograniczony bokami. W przypadku obrotu łuk jest wyśrodkowany w środku obrotu i ograniczony przez dowolny inny punkt i jego obraz przez obrót.

Historia i etymologia

Słowo kąt pochodzi od łacińskiego słowa angulus , co oznacza „róg”; pokrewnymi słowami są greckie ἀγκύλος (ankylοs) , co oznacza „krzywy, zakrzywiony” i angielskie słowo „ kostka ”. Obie są związane z Proto-indoeuropejskiego korzenia * ank- , czyli „wyginać” lub „łuk”.

Euklides definiuje kąt płaski jako nachylenie do siebie, w płaszczyźnie, dwóch linii, które się spotykają i nie leżą względem siebie prosto. Według Proclusa kąt musi być albo jakością, albo ilością, albo relacją. Pierwsza koncepcja została wykorzystana przez Eudemusa , który uważał kąt za odchylenie od linii prostej ; drugi przez Karpa z Antiochii , który uważał ją za odstęp lub przestrzeń między przecinającymi się liniami; Euklides przyjął trzecią koncepcję.

Rozpoznawanie kątów

W wyrażeniach matematycznych powszechnie używa się liter greckich ( α , β , γ , θ , φ ,...) jako zmiennych oznaczających wielkość pewnego kąta (aby uniknąć pomylenia z jego innym znaczeniem, symbol π nie jest zwykle używany w tym celu). Używane są również małe litery rzymskie ( abc , ... ) , podobnie jak wielkie litery rzymskie w kontekście wielokątów . Przykłady można znaleźć na rysunkach w tym artykule.

W figurach geometrycznych kąty mogą być również identyfikowane przez etykiety dołączone do trzech punktów, które je definiują. Na przykład kąt w wierzchołku A zawarty w promieniach AB i AC (tj. prostych z punktu A do punktu B i punktu A do punktu C) jest oznaczony jako ∠BAC (w Unicode U+2220 ANGLE ) lub . Tam, gdzie nie ma ryzyka pomyłki, kąt może być czasami określany po prostu jego wierzchołkiem (w tym przypadku „kąt A”).

Potencjalnie kąt oznaczony jako, powiedzmy, ∠BAC, może odnosić się do jednego z czterech kątów: kąta zgodnego z ruchem wskazówek zegara od B do C, kąta przeciwnego do ruchu wskazówek zegara od B do C, kąta zgodnego z ruchem wskazówek zegara od C do B lub kąta przeciwnego do ruchu wskazówek zegara od C do B, gdzie kierunek pomiaru kąta określa jego znak (patrz Kąty dodatnie i ujemne ). Jednak w wielu sytuacjach geometrycznych jest oczywiste z kontekstu, że chodzi o kąt dodatni mniejszy lub równy 180 stopni, w którym to przypadku nie ma dwuznaczności. W przeciwnym razie można przyjąć konwencję, w której ∠BAC zawsze odnosi się do kąta przeciwnego do ruchu wskazówek zegara (dodatniego) od B do C, a ∠CAB kąta przeciwnego do ruchu wskazówek zegara (dodatniego) od C do B.

Rodzaje kątów

Indywidualne kąty

Istnieje pewna wspólna terminologia dla kątów, których miara jest zawsze nieujemna (patrz § Kąty dodatnie i ujemne ):

  • Kąt równy 0° lub nieobrócony nazywany jest kątem zerowym.
  • Kąt mniejszy niż kąt prosty (mniejszy niż 90°) nazywany jest kątem ostrym („ostrym”, co oznacza „ ostry ”).
  • Kąt równy 1/4 skręt (90° lub π/2radiany) nazywamy kątem prostym . Mówi się, że dwie linie tworzące kąt prosty są normalne , prostopadłe lub prostopadłe .
  • Kąt większy niż kąt prosty i mniejszy niż kąt prosty (pomiędzy 90 ° a 180 °) nazywany jest kątem rozwartym („rozwarty”, co oznacza „tępy”).
  • Kąt równy 1/2 obrót (180° lub π radiany) nazywamy kątem prostym .
  • Kąt większy niż kąt prosty, ale mniejszy niż 1 obrót (pomiędzy 180° a 360°) nazywany jest kątem refleksyjnym .
  • Kąt równy 1 obrocie (360° lub 2 radiany π ) nazywany jest pełnym kątem , pełnym kątem , okrągłym kątem lub perygonem .
  • Kąt, który nie jest wielokrotnością kąta prostego, nazywany jest kątem ukośnym .

Nazwy, przedziały i jednostki miary są pokazane w poniższej tabeli:

Kąty ostre ( a ), rozwarte ( b ) i proste ( c ). Kąty ostre i rozwarte są również znane jako kąty skośne.
Kąt odbicia
Nazwa   zero ostry prosty kąt rozwarty prosty odruch perigon
Jednostka Interwał
zakręt   0 tur (0, 1/4) zakręt 1/4 zakręt (1/4, 1/2) zakręt 1/2 zakręt (1/2, 1) obrót 1 tura
radian 0 rad (0, 1/2π ) rad 1/2π rad (1/2π , π ) rad π rad ( π , 2 π ) rad 2 π rad
stopień   (0, 90)° 90° (90, 180)° 180° (180, 360)° 360°
gon   0 g (0, 100) g 100 gramów (100, 200) g 200 gramów (200, 400) g 400 gramów

Pary kątów równoważności

  • Mówi się, że kąty, które mają tę samą miarę (tj. tę samą wielkość), są równe lub przystające . Kąt jest określony przez swoją miarę i nie jest zależny od długości boków kąta (np. wszystkie kąty proste są równe miary).
  • Dwa kąty, które mają wspólne boki końcowe, ale różnią się wielkością o całkowitą wielokrotność zwoju, nazywane są kątami koterminalnymi .
  • Kąta jest wersja ostre każdej kąt określony przez wielokrotne odjęcie lub dodanie kątem prostym (1/2obrócić o 180° lub w radianach π ) do wyników w razie potrzeby, aż wartość wyniku będzie kątem ostrym, o wartości od 0 do1/4 skręć o 90° lub π/2radiany. Na przykład kąt 30 stopni ma kąt odniesienia 30 stopni, a kąt 150 stopni ma również kąt odniesienia 30 stopni (180–150). Kąt 750 stopni ma kąt odniesienia 30 stopni (750–720).

Para kątów pionowych i sąsiednich

Kąty A i B to para kątów pionowych; kąty C i D są parą kątów pionowych. Znaki kreskowania służą tutaj do pokazania równości kątów.

Kiedy dwie proste linie przecinają się w punkcie, powstają cztery kąty. Parami te kąty są nazywane zgodnie z ich położeniem względem siebie.

  • Para przeciwległych kątów, utworzona przez dwie przecinające się proste linie, które tworzą kształt podobny do „X”, nazywa się kątami pionowymi lub kątami przeciwległymi lub kątami przeciwległymi w pionie . Są one skracane do vert. przeciw. s .
Równość kątów przeciwnych w pionie nazywa się twierdzeniem o kątach pionowych . Eudemus z Rodos przypisał dowód Talesowi z Miletu . Propozycja wykazała, że ​​ponieważ obie pary kątów pionowych uzupełniają oba sąsiednie kąty, kąty pionowe są sobie równe. Zgodnie z notatką historyczną, gdy Tales odwiedził Egipt, zauważył, że za każdym razem, gdy Egipcjanie rysują dwie przecinające się linie, mierzą kąty pionowe, aby upewnić się, że są równe. Thales doszedł do wniosku, że można udowodnić, że wszystkie kąty pionowe są równe, jeśli przyjmie się pewne ogólne pojęcia, takie jak:
  • Wszystkie kąty proste są równe.
  • Równe dodane do równych są równe.
  • Równe odjęte od równych są równe.
Gdy dwa sąsiednie kąty tworzą linię prostą, są one uzupełniające. Jeśli więc założymy, że miara kąta A jest równa x , to miara kąta C będzie wynosić 180° − x . Podobnie, miara kąta D wynosiłaby 180° − x . Zarówno kąt C, jak i kąt D mają miary równe 180° − x i są przystające. Ponieważ kąt B jest uzupełnieniem obu kątów C i D , każdy z tych miar kątowych może być użyty do określenia miary kąta B . Używając miary kąta C lub kąta D , znajdujemy miarę kąta B jako 180° - (180° - x ) = 180° - 180° + x = x . Dlatego zarówno kąt A , jak i kąt B mają miary równe x i są równe pod względem miary.
Kąty A i B przylegają do siebie.
  • Sąsiadujące kąty , często w skrócie przym. ∠s to kąty, które mają wspólny wierzchołek i krawędź, ale nie mają wspólnych punktów wewnętrznych. Innymi słowy, są to kąty, które znajdują się obok siebie lub sąsiadują, dzieląc „ramię”. Kąty suma kąta prostego, kąta prostego lub kąta pełnego sąsiadujące są specjalne i nazywa się odpowiednio uzupełniających się , uzupełniającego i explementary kątami ( § Połączenie pary kąt poniżej).

Poprzeczna jest linia przecina parę (często równolegle) linii, i wiąże się z naprzemiennych kątów wewnętrznych , Kąty , kątów wewnętrznych i kątów zewnętrznych .

Łączenie par kątów

Trzy specjalne pary kątów obejmują sumowanie kątów:

Komplementarne kąty i b ( b jest uzupełnienie z i jest uzupełnieniem B ).
  • Kąty dopełniające to pary kątów, których miary sumują się do jednego kąta prostego (1/4 skręć o 90° lub π/2radiany). Jeśli dwa komplementarne kąty sąsiadują ze sobą, ich niewspółdzielone boki tworzą kąt prosty. W geometrii euklidesowej dwa kąty ostre w trójkącie prostokątnym są komplementarne, ponieważ suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180 stopni, a sam kąt prosty odpowiada 90 stopni.
Przymiotnik komplementarny pochodzi od łacińskiego komplementum , związanego z czasownikiem complere , "napełnić". Kąt ostry jest „wypełniany” przez jego dopełnienie, tworząc kąt prosty.
Różnica między kątem a kątem prostym nazywana jest dopełnieniem kąta.
Jeśli kąty A i B są komplementarne, zachodzą następujące zależności:
(The tangens kąta równy cotangens jego dopełnieniem i jego sieczny równa cosecans jego dopełnienia).
Przedrostekwspół- ” w nazwach niektórych trygonometrycznych wskaźników odnosi się do słowa „komplementarny”.
Kąty a i b są kątami dodatkowymi .
  • Dwa kąty, które sumują się do kąta prostego (1/2skręt, 180° lub π radiany) nazywane są kątami dodatkowymi .
Jeśli dwa dodatkowe kąty sąsiadują ze sobą (tj. mają wspólny wierzchołek i dzielą tylko jedną stronę), ich niewspólne boki tworzą linię prostą . Takie kąty nazywane są liniową parą kątów . Jednak kąty uzupełniające nie muszą leżeć w tej samej linii i można je rozdzielić w przestrzeni. Na przykład sąsiednie kąty równoległoboku są uzupełniające, a przeciwne kąty cyklicznego czworoboku (tego, którego wszystkie wierzchołki padają na jednym okręgu) są uzupełniające.
Jeśli punkt P znajduje się na zewnątrz okręgu o środku O, a styczne z P dotykają okręgu w punktach T i Q, to ∠TPQ i ∠TOQ są uzupełniające.
Sinusy kątów uzupełniających są równe. Ich cosinusy i tangensy (chyba że nieokreślone) są równe co do wielkości, ale mają przeciwne znaki.
W geometrii euklidesowej dowolna suma dwóch kątów w trójkącie jest uzupełnieniem trzeciego, ponieważ suma kątów wewnętrznych trójkąta jest kątem prostym.

Suma dwóch explementary kątów jest kompletna kąt.
  • Dwa kąty, które sumują się do pełnego kąta (1 obrót, 360° lub 2 radiany π ) nazywane są kątami komplementarnymi lub kątami sprzężonymi .
    Różnica między kątem a całkowitym jest nazywana uzupełnieniem kąta lub sprzężeniem kąta.

Kąty związane z wielokątem

Kąty wewnętrzne i zewnętrzne.
  • Kąt będący częścią prostego wielokąta nazywany jest kątem wewnętrznym, jeśli leży wewnątrz tego prostego wielokąta. Prosty wielokąt wklęsły ma co najmniej jeden kąt wewnętrzny, który jest kątem odbicia.
    W geometrii euklidesowej miary kątów wewnętrznych trójkąta sumują się do π radianów, 180° lub1/2zakręt; miary kątów wewnętrznych prostego czworoboku wypukłego sumują się do 2 radianów π , 360° lub 1 obrotu. Ogólnie rzecz biorąc, miary kątów wewnętrznych prostego wielokąta wypukłego o n bokach sumują się do ( n  - 2) π  radianów lub ( n  - 2)180 stopni, ( n  - 2)2 kątów prostych lub ( n  - 2)1/2 zakręt.
  • Uzupełnienie kąta wewnętrznego nazywa się kątem zewnętrznym , co oznacza, że ​​kąt wewnętrzny i kąt zewnętrzny tworzą liniową parę kątów . W każdym wierzchołku wielokąta znajdują się dwa zewnętrzne kąty, każdy określony przez przedłużenie jednego z dwóch boków wielokąta, które spotykają się w wierzchołku; te dwa kąty są pionowe, a zatem równe. Kąt zewnętrzny mierzy wielkość obrotu, jaki należy wykonać na wierzchołku, aby wyśledzić wielokąt. Jeśli odpowiadający kąt wewnętrzny jest kątem refleksyjnym, kąt zewnętrzny należy uznać za ujemny . Nawet w non-wielokąt prosty może być możliwe, aby zdefiniować kąt zewnętrzny, ale trzeba będzie wybrać się orientację w płaszczyźnie (lub powierzchni ) decydowanie znak miary kąta zewnętrznego.
    W geometrii euklidesowej suma kątów zewnętrznych prostego wielokąta wypukłego, jeśli tylko jeden z dwóch kątów zewnętrznych jest założony na każdym wierzchołku, wyniesie jeden pełny obrót (360°). Kąt zewnętrzny można by tutaj nazwać dodatkowym kątem zewnętrznym . Kąty zewnętrzne są powszechnie używane w programach Logo Turtle podczas rysowania regularnych wielokątów.
  • W trójkącie , że Dwusieczna dwóch zewnętrznych kątów a dwusieczną kąta wewnętrznego drugiego są współbieżne (spotykają się w jednym punkcie).
  • W trójkącie trzy punkty przecięcia, każdy z dwusiecznej kąta zewnętrznego o przeciwnej wysuniętej stronie , są współliniowe .
  • W trójkącie trzy punkty przecięcia, dwa z nich między dwusieczną kąta wewnętrznego a przeciwległą stroną, a trzeci między drugą dwusieczną kąta zewnętrznego a przeciwległą stroną wydłużoną, są współliniowe.
  • Niektórzy autorzy używają nazwy kąt zewnętrzny prostego wielokąta, aby po prostu oznaczać dopełnienie kąta zewnętrznego ( nie uzupełniania!) kąta wewnętrznego. Jest to sprzeczne z powyższym użyciem.

Kąty związane z płaszczyzną

  • Kąt pomiędzy dwiema płaszczyznami (taki jak dwie sąsiednie ściany wielościanu ) nazywany jest kątem dwuściennym . Można go zdefiniować jako kąt ostry między dwiema liniami normalnymi do płaszczyzn.
  • Kąt między płaszczyzną a przecinającą się linią prostą jest równy dziewięćdziesiąt stopni minus kąt między przecinającą się linią a linią przechodzącą przez punkt przecięcia i prostopadłą do płaszczyzny.

Kąty pomiarowe

Wielkość kąta geometrycznego zwykle charakteryzuje się wielkością najmniejszego obrotu, który mapuje jeden z promieni na drugi. Kąty, które mają ten sam rozmiar, są uważane za równe lub przystające lub równa w działaniu .

W niektórych kontekstach, takich jak określenie punktu na okręgu lub opisanie orientacji obiektu w dwóch wymiarach w stosunku do orientacji odniesienia, kąty różniące się o dokładną wielokrotność pełnego obrotu są w rzeczywistości równoważne. W innych kontekstach, takich jak określenie punktu na krzywej spiralnej lub opisanie skumulowanego obrotu obiektu w dwóch wymiarach względem orientacji odniesienia, kąty różniące się niezerową wielokrotnością pełnego obrotu nie są równoważne.

Miara kąta θ tos/rradiany .

Aby zmierzyć kąt θ , rysuje się łuk kołowy wyśrodkowany na wierzchołku kąta, np. za pomocą cyrkla . Stosunek długości s łuku do promienia r okręgu jest liczbą radianów w kącie. Konwencjonalnie, w matematyce i SI , radian jest traktowany jako równy wartości bezwymiarowej 1.

Kąt wyrażony inną jednostką kątową można następnie uzyskać mnożąc kąt przez odpowiednią stałą konwersji postaci k/2 π, gdzie k jest miarą pełnego skrętu wyrażoną w wybranej jednostce (na przykład k = 360° dla stopni lub 400 gradów dla gradientów ):

Tak zdefiniowana wartość θ jest niezależna od wielkości okręgu: jeśli długość promienia ulega zmianie, to długość łuku zmienia się w tej samej proporcji, a więc stosunek s / r pozostaje niezmieniony.

W szczególności miara kąta, jaką jest radian, może być również interpretowana jako długość łuku odpowiadającego mu okręgu jednostkowego:

Postulat dodania kąta

Postulat dodawania kątów stwierdza, że ​​jeśli B znajduje się wewnątrz kąta AOC, to

Miara kąta AOC jest sumą miary kąta AOB i miary kąta BOC.

Jednostki

Definicja 1 radiana

Na przestrzeni dziejów kąty były mierzone w wielu różnych jednostkach . Są one znane jako jednostki kątowe , przy czym najbardziej współczesnymi jednostkami są stopień (°), radian (rad) i gradian (grad), chociaż w historii używano wielu innych jednostek .

Kąty wyrażone w radianach są bezwymiarowe dla analizy wymiarowej .

Większość jednostek miary kątowej jest określona tak, że jeden obrót (tj. jedno pełne koło) jest równy n jednostkom, dla pewnej liczby całkowitej n . Dwa wyjątki to radian (i jego podwielokrotności dziesiętne) oraz część średnicy.

Jeden radian to kąt zależny od łuku koła, który ma taką samą długość jak promień okręgu. Radian to pochodna wielkość pomiaru kątowego w układzie SI . Z definicji jest bezwymiarowy , chociaż można go określić jako rad, aby uniknąć niejednoznaczności. Kąty mierzone w stopniach są oznaczone symbolem °. Podziały stopnia to minuta (symbol ′, 1′ = 1/60°) i sekunda {symbol ″, 1″ = 1/3600°}. Kąt 360° odpowiada kątowi zawartemu w pełnym okręgu i jest równy 2 radianom π , czyli 400 gradianom.

Inne jednostki używane do reprezentowania kątów są wymienione w poniższej tabeli. Jednostki te są zdefiniowane w taki sposób, że liczba zwojów odpowiada pełnemu okręgowi.

Nazwa liczba w jednej turze kąt obrotu opis
Zakręt 1 360° Kolej również cykl , pełne koło , obrót i ruch obrotowy jest pełny okrąg lub środek (jak na powrót do tego samego miejsca) z koła lub elipsy. W zależności od zastosowania skręt oznaczany jest skrótem τ , cyc , rev lub rot . Symbol τ może być również użyty jako stała matematyczna reprezentująca 2 radiany π .
Wielokrotności π 2 180° W kalkulatorze naukowym RPN WP 43S zaimplementowano wielokrotności jednostki π (MUL π ) . Zobacz także: Operacje zalecane przez IEEE 754
Kwadrant 4 90° Jeden kwadrant to1/4 skręt i znany również jako kąt prosty . Kwadrant jest jednostką używaną w Elementach Euklidesa . W języku niemieckim symbol został użyty do oznaczenia ćwiartki. Jest to jednostka używana w Żywiołach Euklidesa . 1 czwórka = 90° =π/2 rad = 1/4 kolej = 100 grad.
Sekstans 6 60° Sekstantu to urządzenie wykorzystywane przez Babilończykami stopień, minuta i sekunda łukowego łuku są sześćdziesiątkowa podjednostki babiloñskiej urządzenia. Jest szczególnie łatwy do zbudowania za pomocą linijki i cyrkla. Jest to kąt trójkąta równobocznego lub jest1/6 zakręt. 1 jednostka babilońska = 60° = π /3 rad ≈ 1,047197551 rad.
Radian 2 π 57°17′ Radianie zależy od obwodu koła, które ma długość równą promieniowi koła ( n  = 2 π  = 6.283 ...). Jest to kąt, na który składa się łuk koła, który ma taką samą długość jak promień okręgu. Symbol radianu to rad . Jeden obrót to 2  radiany π , a jeden radian to180°/π, czyli około 57,2958 stopni. W tekstach matematycznych kąty są często traktowane jako bezwymiarowe z radianem równym jeden, co powoduje, że jednostka rad jest często pomijana. Radian jest używany w praktycznie wszystkich pracach matematycznych poza prostą geometrią praktyczną, na przykład ze względu na przyjemne i „naturalne” właściwości, które wyświetlają funkcje trygonometryczne, gdy ich argumenty są wyrażone w radianach. Radian jest (pochodną) jednostką miary kąta w SI , która również traktuje kąt jako bezwymiarowy.
Heksakontada 60 Hexacontade jest jednostką wykorzystywaną przez Eratostenesa . Jest równy 6°, tak że cały zakręt został podzielony na 60 heksakontad.
Stopień binarny 256 1°33'45" Stopień binarny , znany również jako radian binarny (lub brad ). Stopień binarny jest używany w obliczeniach, aby kąt mógł być skutecznie reprezentowany w jednym bajcie (choć z ograniczoną precyzją). Inne miary kąta stosowane w obliczeniach mogą opierać się na podzieleniu jednego pełnego zakrętu na 2 n równych części dla innych wartości n .

To jest 1/256 tury.

Stopień 360 Jedną z zalet tej starej podjednostki sześćdziesiętnej jest to, że wiele kątów wspólnych w prostej geometrii jest mierzonych jako całkowita liczba stopni. Ułamki stopnia można zapisać w normalnym zapisie dziesiętnym (np. 3,5 ° dla trzech i pół stopnia), ale używane są również podjednostki „minuta” i „sekunda” sześćdziesiętne systemu „stopień-minuta-sekunda”, zwłaszcza dla współrzędnych geograficznych oraz w astronomii i balistyce ( n  = 360) Stopień , oznaczony małym kółkiem w indeksie górnym (°), wynosi 1/360 obrotu, więc jeden obrót to 360°. Przypadek stopni do wzoru podanego wcześniej, stopień z n = 360 ° jednostek uzyskuje się poprzez ustawienie k =360°/2 π.
Grad 400 0°54′ Grad , zwany także stopień , gradian lub gon . kąt prosty to 100 gradów. Jest to podjednostka dziesiętna kwadrantu. Km historycznie zdefiniowany jako Centi -grad łuku wzdłuż południka Ziemi, tak kilometr analog dziesiętny w sześćdziesiątkowy milę ( n  = 400). Grad jest używany głównie w triangulacji i geodezji kontynentalnej .
Minuta łuku 21600 0°1′ Minut łuku (lub MOA , arcminute , lub po prostu minut ) jest1/60stopnia. Mil morskich historycznie zdefiniowany jako minutę wzdłuż łuku koła wielkiego Ziemi ( n  = 21600). Arcminute jest1/60 stopnia = 1/21600zakręt. Jest oznaczony przez pojedynczą liczbę pierwszą ( ′ ). Na przykład 3° 30′ jest równe 3 × 60 + 30 = 210 minut lub 3 + 30/60= 3,5 stopnia. Czasami używany jest również format mieszany z ułamkami dziesiętnymi, np. 3° 5,72′ = 3 + 5,72/60stopnie. Mil morskich została zdefiniowana jako historycznie arcminute wzdłuż koła wielkiego Ziemi.
Sekunda łuku 1 296 000 0°0′1″ Sekundy łuku (lub sekundy kątowej , lub po prostu drugiego ) jest1/60 minuty łuku i 1/3600stopnia ( n  = 1 296 000). Sekundy kątowej (lub sekundy łuku , lub po prostu drugiego ) jest1/60 minuty kątowej i 1/3600stopnia. Jest oznaczony przez podwójną liczbę pierwszą ( ″ ). Na przykład 3° 7′ 30″ jest równe 3 +7/60 + 30/3600 stopni lub 3,125 stopnia.

Inne deskryptory

  • Kąt godzinny ( n  = 24): Astronomiczny kąt godzinny wynosi1/24 zakręt. Ponieważ system ten jest podatny na pomiary obiektów cyklicznych raz dziennie (takich jak względna pozycja gwiazd), podjednostki sześćdziesiętne nazywane są minutą czasu i sekundą czasu . Różnią się one od i są 15 razy większe niż minuty i sekundy łuku. 1 godzina = 15° =π/12 rad = 1/6 quad = 1/24 obrót = 16+2/3 mgr.
  • (Kompas) punkt lub wiatr ( n  = 32): Punkt używany w nawigacji to1/32tury. 1 punkt =1/8kąta prostego = 11,25° = 12,5 grad. Każdy punkt jest podzielony na cztery ćwiartki, tak że 1 obrót równa się 128 ćwierćpunktów.
  • Pechus ( n  = 144-180): Pechus była jednostką babilońską równą około 2° lub 2+1/2°.
  • Tau , liczba radianów w jednym obrocie (1 obrót = τ rad), τ = 2 π .
  • Chi, stary chiński pomiar kąta.
  • Część średnicy ( n  = 376,99...): Część średnicy (czasami używana w matematyce islamskiej) to1/60radian. Jedna „część o średnicy” wynosi około 0,95493°. Na jeden obrót przypada około 376.991 części o średnicy.
  • Milliradian definicje i pochodne: Rzeczywista milliradian jest utworzona tysięcznej radianach, co oznacza, że obrót jednego z kolei będzie równa dokładnie 2000π mil (lub około 6283,185 mil), i prawie wszystkie istotne zakres dla broni palnej jest kalibrowany do tej definicji. Ponadto istnieją trzy inne pochodne definicje używane dla artylerii i nawigacji, które są w przybliżeniu równe miliradianowi. Zgodnie z tymi trzema innymi definicjami jeden obrót odpowiada dokładnie 6000, 6300 lub 6400 milicali, co odpowiada rozpiętości zakresu od 0,05625 do 0,06 stopnia (3,375 do 3,6 minuty). Dla porównania, prawdziwy miliradian wynosi około 0,05729578 stopnia (3,43775 minuty). Jeden „ milion NATO ” jest zdefiniowany jako1/6400koła. Podobnie jak w przypadku prawdziwego miliradiana, każda z pozostałych definicji wykorzystuje użyteczną właściwość mila polegającą na subtensions, tzn. że wartość jednego miliradiana jest w przybliżeniu równa kątowi zawartemu przez szerokość 1 metra, patrząc z odległości 1 km (2 π/6400 = 0,0009817… 1/1000).
  • Achnam i zam. W starej Arabii zakręt był podzielony na 32 Akhnam, a każdy achnam był podzielony na 7 zam, tak że obrót to 224 zam.

Kąty dodatnie i ujemne

Chociaż definicja pomiaru kąta nie wspiera koncepcji kąta ujemnego, często przydatne jest narzucenie konwencji, która pozwala dodatnim i ujemnym wartościom kątowym reprezentować orientacje i/lub obroty w przeciwnych kierunkach względem jakiegoś odniesienia.

W dwuwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych kąt jest zwykle definiowany przez jego dwa boki, z wierzchołkiem na początku. Strona początkowa znajduje się na dodatniej osi x , natomiast druga strona lub strona końcowa jest określona przez miarę od strony początkowej w radianach, stopniach lub obrotach. Z dodatnimi kątami reprezentującymi obroty w kierunku dodatniej osi y i ujemnymi kątami reprezentującymi obroty w kierunku ujemnej osi y . Gdy współrzędne kartezjańskie są reprezentowane przez pozycję standardową , zdefiniowaną przez oś x w prawo i oś y w górę, obroty dodatnie są przeciwne do ruchu wskazówek zegara, a ujemne zgodnie z ruchem wskazówek zegara .

W wielu kontekstach, kąt - θ jest praktycznie równoznaczne z kątem „jeden pełny obrót minus θ ”. Na przykład orientacja reprezentowana jako -45° jest efektywnie równoważna orientacji reprezentowanej jako 360°-45° lub 315°. Chociaż końcowa pozycja jest taka sama, fizyczny obrót (ruch) o -45° nie jest tym samym, co obrót o 315° (na przykład obrót osoby trzymającej miotłę spoczywającą na zakurzonej podłodze pozostawiłby wizualnie różne ślady obszarów zamiatanych na podłodze).

W geometrii trójwymiarowej „zgodnie z ruchem wskazówek zegara” i „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara” nie mają absolutnego znaczenia, więc kierunek kątów dodatnich i ujemnych musi być zdefiniowany w odniesieniu do jakiegoś odniesienia, którym jest zazwyczaj wektor przechodzący przez wierzchołek kąta i prostopadły do ​​płaszczyzny w w którym leżą promienie kąta.

W nawigacji , namiar lub azymut są mierzone względem północy. Zgodnie z konwencją, patrząc z góry, kąty namiaru są dodatnie zgodnie z ruchem wskazówek zegara, więc namiar 45° odpowiada orientacji północno-wschodniej. W nawigacji nie stosuje się namiarów ujemnych, więc orientacja północno-zachodnia odpowiada namiarowi 315°.

Alternatywne sposoby pomiaru wielkości kąta

Istnieje kilka alternatyw do mierzenia wielkości kąta za pomocą kąta obrotu. Nachylenie lub nachylenie jest równe tangens kąta lub czasem (rzadko) sinusoidalnej ; gradient jest często wyrażany w procentach. W przypadku bardzo małych wartości (mniej niż 5%) nachylenie nachylenia jest w przybliżeniu miarą kąta w radianach.

W racjonalnym geometrii rozpiętość pomiędzy dwoma przewodami definiuje się jako kwadrat sinusa kąta między liniami. Ponieważ sinus kąta i sinus jego dodatkowego kąta są takie same, każdy kąt obrotu, który odwzorowuje jedną z linii na drugą, prowadzi do tej samej wartości rozrzutu między liniami.

Przybliżenia astronomiczne

Astronomowie mierzą kątowe oddzielenie obiektów w stopniach od ich punktu obserwacji.

  • 0,5° to w przybliżeniu szerokość słońca lub księżyca.
  • 1° to w przybliżeniu szerokość małego palca na wyciągnięcie ręki.
  • 10° to w przybliżeniu szerokość zaciśniętej pięści na wyciągnięcie ręki.
  • 20° to w przybliżeniu szerokość dłoni na wyciągnięcie ręki.

Pomiary te wyraźnie zależą od indywidualnego podmiotu, a powyższe należy traktować jedynie jako przybliżone przybliżenie reguły .

W astronomii , Rektascencja i odchylenie zwykle mierzy się w jednostkach kątowych, wyrażona w kategoriach czasu, na podstawie 24-godzinnego dnia.

Jednostka Symbol Stopień Radiany Koło Inne
Godzina h 15° π 12 124
Minuta m 0°15' π 720 11440 160 godzin
druga s 0°0'15" π 43200 186 400 160 minut

Pomiary, które nie są jednostkami kątowymi

Nie wszystkie pomiary kątów są jednostkami kątowymi, w przypadku pomiaru kątowego jest definitywne, że postulat dodawania kątów jest spełniony .

Niektóre pomiary kąta, w których postulat dodania kąta nie jest spełniony, obejmują:

Kąty między krzywymi

Kąt między dwiema krzywymi w punkcie P jest zdefiniowany jako kąt pomiędzy stycznymi A i B w punkcie P .

Kąt między linią a krzywą (kąt mieszany) lub między dwoma przecinającymi się krzywymi (kąt krzywoliniowy) jest definiowany jako kąt między stycznymi w punkcie przecięcia. Poszczególnym przypadkom nadano różne nazwy (obecnie rzadko, jeśli w ogóle): amficyrtyczny (gr. ἀμφί , obustronnie κυρτός, wypukły) lub cissoidalny (gr. κισσός, bluszcz), dwuwypukły; ksystroidalny lub sistroidalny (gr. ξυστρίς, narzędzie do skrobania), wklęsło-wypukły; amficoelic (gr. κοίλη, wklęsły) lub angulus lunularis , dwuwklęsły.

Dwusieczna i trójsieczna kąty

W starożytnych greckich matematyków umiał przepoławiać kąt (podzielić ją na dwie równe miary kątów) używając tylko kompas i liniału , ale mógł tylko trisect pewnymi kątami. W 1837 roku Pierre Wantzel wykazał, że dla większości kątów tej konstrukcji nie da się wykonać.

Iloczyn skalarny i uogólnienia

W przestrzeni euklidesowej kąt θ między dwoma wektorami euklidesowymi u i v jest powiązany z ich iloczynem skalarnym i ich długościami wzorem

Ta formuła zapewnia łatwą metodę znajdowania kąta między dwiema płaszczyznami (lub zakrzywionymi powierzchniami) z ich wektorów normalnych oraz między liniami skośnymi z ich równań wektorowych.

Produkt wewnętrzny

Aby zdefiniować kąty w abstrakcyjnej rzeczywistej przestrzeni iloczynu skalarnego , zastępujemy iloczyn skalarny Euklidesa ( · ) iloczynem skalarnym , tj.

W złożonej wewnętrznej przestrzeni iloczynu wyrażenie dla cosinusa powyżej może dawać wartości nierzeczywiste, więc jest zastępowane przez

lub, częściej, używając wartości bezwzględnej, z

Ta ostatnia definicja ignoruje kierunek wektorów i opisuje w ten sposób kąt pomiędzy jednowymiarowymi podprzestrzeniami i rozpiętymi przez wektory i odpowiednio.

Kąty między podprzestrzeniami

Definicja kąta między podprzestrzeniami jednowymiarowymi i dana przez

w przestrzeni Hilberta można rozszerzyć do podprzestrzeni o dowolnych skończonych wymiarach. Biorąc pod uwagę dwie podprzestrzenie , z , prowadzi to do definicji kątów zwanych kątami kanonicznymi lub głównymi pomiędzy podprzestrzeniami.

Kąty w geometrii Riemanna

W geometrii Riemanna The tensora metrycznego jest używany do określenia kąta nachylenia pomiędzy dwiema stycznymi . Gdzie U i V są wektorami stycznymi, a g ij są składowymi tensora metrycznego G ,

Kąt hiperboliczny

Hiperboliczny kąt jest argumentem o hiperbolicznej funkcji podobnie jak kąt kołowy jest argument w okrągłym funkcji . Porównanie można zwizualizować jako wielkość otworów sektora hiperbolicznego i sektora kołowego, ponieważ obszary tych sektorów odpowiadają w każdym przypadku wielkościom kątowym. W przeciwieństwie do kąta kołowego, kąt hiperboliczny jest nieograniczony. Kiedy funkcje kołowe i hiperboliczne są postrzegane jako nieskończone szeregi w ich argumencie kąta, kołowe są po prostu naprzemiennymi szeregami postaci funkcji hiperbolicznych. To splatanie się dwóch typów kąta i funkcji zostało wyjaśnione przez Leonharda Eulera we Wstępie do analizy nieskończoności .

Kąty w geografii i astronomii

W geografii położenie dowolnego punktu na Ziemi można określić za pomocą układu współrzędnych geograficznych . System ten określa szerokość i długość geograficzną dowolnego miejsca w postaci kątów leżących w środku Ziemi, używając jako odniesienia równika i (zazwyczaj) południka Greenwich .

W astronomii dany punkt na sferze niebieskiej (to znaczy pozorna pozycja obiektu astronomicznego) można zidentyfikować za pomocą dowolnego z kilku astronomicznych układów współrzędnych , gdzie odniesienia różnią się w zależności od konkretnego układu. Astronomowie mierzą odległość kątową dwóch gwiazd , wyobrażając sobie dwie linie przechodzące przez środek Ziemi , z których każda przecina jedną z gwiazd. Kąt między tymi liniami można zmierzyć i jest to kątowa odległość między dwiema gwiazdami.

Zarówno w geografii, jak i astronomii kierunek obserwacji można określić za pomocą kąta pionowego, takiego jak wysokość / wysokość względem horyzontu oraz azymut względem północy .

Astronomowie mierzą również pozorną wielkość obiektów jako średnicę kątową . Na przykład księżyc w pełni ma średnicę kątową około 0,5°, patrząc z Ziemi. Można powiedzieć: „Średnica Księżyca odpowiada kątowi pół stopnia”. Wzór mały kąt może być stosowany do konwersji takiego pomiaru kątowego w stosunku odległości / wymiaru.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

 Ten artykuł zawiera tekst z publikacji znajdującej się obecnie w domenie publicznejChisholm, Hugh, ed. (1911), " Kąt ", Encyclopaedia Britannica , 2 (wyd. 11), Cambridge University Press, s. 14

Zewnętrzne linki