Rozdzielczość kątowa - Angular resolution

Rozdzielczość kątowa opisuje zdolność dowolnego urządzenia tworzącego obraz, takiego jak teleskop optyczny lub radiowy , mikroskop , kamera lub oko , do rozróżniania drobnych szczegółów obiektu, co czyni go głównym wyznacznikiem rozdzielczości obrazu . Jest stosowany w optyce stosowanej do fal świetlnych, w teorii anten stosowanej do fal radiowych oraz w akustyce stosowanej do fal dźwiękowych. Potoczne użycie terminu „rozdzielczość” często powoduje zamieszanie; kiedy mówi się, że kamera ma wysoką rozdzielczość ze względu na dobrą jakość obrazu, w rzeczywistości ma ona niską rozdzielczość kątową (ponieważ odległość kątowa lub różnica kątów, przy których nadal może rozdzielić poszczególne obiekty, jest niska). Ściśle związany termin rozdzielczość przestrzenna odnosi się do precyzji pomiaru w odniesieniu do przestrzeni, która jest bezpośrednio związana z rozdzielczością kątową w przyrządach do obrazowania. W kryterium Rayleigha wynika, że minimalna rozpiętość kątową, która może zostać rozwiązane przez układ do generowania obrazu jest ograniczony przez dyfrakcję w stosunku do długości fali fal do otworu szerokości. Z tego powodu systemy obrazowania o wysokiej rozdzielczości, takie jak teleskopy astronomiczne , obiektywy teleobiektywów dalekiego zasięgu i radioteleskopy, mają duże apertury.

Określenie warunków

Rozdzielczość to zdolność urządzenia obrazującego do oddzielania (tj. widzenia jako odrębnych) punktów obiektu, które znajdują się w niewielkiej odległości kątowej lub jest to zdolność instrumentu optycznego do oddzielania odległych obiektów, które są blisko siebie , na pojedyncze obrazy. Termin rozdzielczość lub minimalna odległość rozdzielcza to minimalna odległość między rozróżnialnymi obiektami na obrazie, chociaż termin ten jest luźno używany przez wielu użytkowników mikroskopów i teleskopów do opisania zdolności rozdzielczej. Jak wyjaśniono poniżej, rozdzielczość ograniczona dyfrakcją jest definiowana przez kryterium Rayleigha jako kątowe rozdzielenie dwóch źródeł punktowych, gdy maksimum każdego źródła leży w pierwszym minimum wzoru dyfrakcyjnego ( dysk Airy'ego ) drugiego. W analizie naukowej na ogół termin „rozdzielczość” jest używany do opisania precyzji, z jaką dowolny instrument mierzy i rejestruje (w obrazie lub widmie) dowolną zmienną w badanej próbce lub próbce.

Kryterium Rayleigha

Przewiewne wzory dyfrakcyjne generowane przez światło z dwóch źródeł punktowych przechodzących przez okrągły otwór , taki jak źrenica oka. Można wyróżnić punkty daleko od siebie (u góry) lub spełniające kryterium Rayleigha (w środku). Punkty bliżej niż kryterium Rayleigha (na dole) są trudne do rozróżnienia.

Rozdzielczość systemu obrazowania może być ograniczona przez aberrację lub dyfrakcję powodującą rozmycie obrazu. Te dwa zjawiska mają różne pochodzenie i nie są ze sobą powiązane. Aberracje można wytłumaczyć optyką geometryczną i zasadniczo można je rozwiązać poprzez poprawę jakości optycznej systemu. Z drugiej strony dyfrakcja wynika z falowej natury światła i jest determinowana przez skończoną aperturę elementów optycznych. W obiektywu "okrągły otwór jest analogiczny do dwuwymiarowego wersji eksperymentu pojedynczej szczeliny . Światło przechodzące przez soczewkę zakłóca się, tworząc wzór dyfrakcyjny w kształcie pierścienia, znany jako wzór Airy'ego , jeśli czoło fali przepuszczanego światła jest sferyczne lub płaskie nad otworem wyjściowym.

Wzajemne oddziaływanie dyfrakcji i aberracji można scharakteryzować za pomocą funkcji rozproszenia punktów (PSF). Im węższa apertura obiektywu, tym większe prawdopodobieństwo, że PSF jest zdominowany przez dyfrakcję. W takim przypadku rozdzielczość kątową układu optycznego można oszacować (na podstawie średnicy apertury i długości fali światła) za pomocą kryterium Rayleigha określonego przez Lorda Rayleigha : dwa źródła punktowe są uważane za właśnie rozwiązane, gdy główne maksimum dyfrakcyjne (środek) dysku Airy jednego obrazu pokrywa się z pierwszym minimum dysku Airy drugiego, jak pokazano na załączonych zdjęciach. (Na zdjęciach, które pokazują granicę kryterium Rayleigha, środkowe maksimum jednego źródła punktowego może wyglądać tak, jakby leżało poza pierwszym minimum drugiego, ale badanie linijką potwierdza, że ​​oba źródła przecinają się). Jeśli odległość jest większa, te dwa punkty są dobrze rozwiązane, a jeśli jest mniejsze, uważa się je za nierozwiązane. Rayleigh bronił tego kryterium na źródłach o równej sile.

Biorąc pod uwagę dyfrakcję przez otwór kołowy, przekłada się to na:

gdzie θ to rozdzielczość kątowa ( radiany ), λ to długość fali światła, a D to średnica apertury soczewki. Współczynnik 1,22 wynika z obliczeń położenia pierwszego ciemnym okrągły pierścień otaczający centralną płytę Airy z dyfrakcji wzoru. Ta liczba to dokładniej 1.21966989... ( OEISA245461 ), pierwsze zero funkcji Bessela rzędu jeden pierwszego rodzaju podzielone przez π .

Formalne kryterium Rayleigha jest bliskie empirycznej granicy rozdzielczości znalezionej wcześniej przez angielskiego astronoma WR Dawesa , który testował ludzkich obserwatorów na bliskich podwójnych gwiazdach o równej jasności. Wynik θ = 4,56/ D , gdzie D w calach i θ w sekundach kątowych , jest nieco węższy niż obliczony za pomocą kryterium Rayleigha. Obliczenia wykorzystujące tarcze Airy'ego jako funkcję rozrzutu punktowego pokazują, że przy limicie Dawesa między dwoma maksimami jest 5%, podczas gdy przy kryterium Rayleigha jest to 26,3%. Nowoczesne techniki przetwarzania obrazu , w tym dekonwolucja funkcji rozproszenia punktów, umożliwiają rozdzielczość plików binarnych przy jeszcze mniejszej separacji kątowej.

Stosując przybliżenie małokątowe , rozdzielczość kątową można przekształcić na rozdzielczość przestrzenną Δ , mnożąc kąt (w radianach) przez odległość od obiektu. Przez mikroskop, odległość ta jest zbliżona do długości ogniskowej F z celem . W tym przypadku kryterium Rayleigha brzmi:

.

Jest to promień , w płaszczyźnie obrazowania, najmniejszego punktu, na którym może być skupiona skolimowana wiązka światła , co odpowiada również rozmiarowi najmniejszego obiektu, jaki może rozdzielić soczewka. Wielkość jest proporcjonalna do długości fali, λ , a zatem na przykład światło niebieskie może być skupione w mniejszym miejscu niż światło czerwone . Jeżeli soczewka skupia wiązkę światła o skończonym zasięgu (np. wiązkę laserową ), wartość D odpowiada średnicy wiązki światła, a nie soczewki. Ponieważ rozdzielczość przestrzenna jest odwrotnie proporcjonalna do D , prowadzi to do nieco zaskakującego wyniku, że szeroka wiązka światła może być skupiona na mniejszej plamce niż wąska. Wynik ten jest związany z właściwościami Fouriera soczewki.

Podobny wynik dotyczy małego czujnika obrazującego obiekt w nieskończoności: rozdzielczość kątową można przekonwertować na rozdzielczość przestrzenną czujnika, używając f jako odległości od czujnika obrazu; wiąże to przestrzenną rozdzielczość obrazu z liczbą f , f /#:

.

Ponieważ jest to promień dysku Airy'ego, rozdzielczość lepiej oszacować na podstawie średnicy,

Przypadki szczególne

Wykres logarytmiczny średnicy apertury w funkcji rozdzielczości kątowej przy granicy dyfrakcji dla różnych długości fal światła w porównaniu z różnymi instrumentami astronomicznymi. Na przykład, niebieska gwiazda pokazuje, że Kosmiczny Teleskop Hubble'a ma prawie ograniczoną dyfrakcję w zakresie widzialnym przy 0,1 sekundy kątowej, podczas gdy czerwone kółko pokazuje, że ludzkie oko powinno mieć rozdzielczość 20 sekund kątowych w teorii, choć normalnie tylko 60 sekund kątowych. .

Pojedynczy teleskop

Źródła punktowe oddzielone kątem mniejszym niż rozdzielczość kątowa nie mogą być rozdzielone. Pojedynczy teleskop optyczny może mieć rozdzielczość kątową mniejszą niż jedna sekunda kątowa , ale obserwacje astronomiczne i inne efekty atmosferyczne sprawiają, że osiągnięcie tego jest bardzo trudne.

Rozdzielczość kątową R teleskopu można zwykle przybliżyć przez

gdzie λ to długość fali obserwowanego promieniowania, a D to średnica obiektywu teleskopu . Wynikowe R jest w radianach . Np. w przypadku światła żółtego o długości fali 580  nm dla rozdzielczości 0,1 sekundy kątowej potrzebujemy D=1,2m. Źródła większe niż rozdzielczość kątowa nazywane są źródłami rozszerzonymi lub źródłami rozproszonymi, a mniejsze źródła nazywane są źródłami punktowymi.

Ten wzór, dla światła o długości fali około 562 nm, jest również nazywany limitem Dawesa .

Tablica teleskopowa

Najwyższe rozdzielczości kątowe można osiągnąć za pomocą układów teleskopów zwanych interferometrami astronomicznymi : instrumenty te mogą osiągać rozdzielczości kątowe 0,001 sekundy kątowej przy długościach fal optycznych i znacznie wyższe rozdzielczości przy długościach fal rentgenowskich. W celu wykonania obrazowania metodą syntezy apertury potrzebna jest duża liczba teleskopów rozmieszczonych w układzie dwuwymiarowym z precyzją wymiarową lepszą niż ułamek (0,25x) wymaganej rozdzielczości obrazu.

Rozdzielczość kątową R tablicy interferometrów można zwykle przybliżyć przez

gdzie λ to długość fali obserwowanego promieniowania, a B to długość maksymalnej fizycznej separacji teleskopów w szyku, zwanej linią bazową . Wynikowe R jest w radianach . Źródła większe niż rozdzielczość kątowa nazywane są źródłami rozszerzonymi lub źródłami rozproszonymi, a mniejsze źródła nazywane są źródłami punktowymi.

Na przykład, aby uformować obraz w świetle żółtym o długości fali 580 nm, dla rozdzielczości 1 milisekundy kątowej potrzebujemy teleskopów ułożonych w układ o wymiarach 120 m × 120 m z dokładnością wymiarową lepszą niż 145 nm.

Mikroskop

Rozdzielczość R (tu mierzona jako odległość, nie mylić z rozdzielczością kątową z poprzedniego podrozdziału) zależy od apertury kątowej :

gdzie .

Tutaj NA jest aperturą numeryczną , jest połową kąta zawartego w soczewce, który zależy od średnicy soczewki i jej ogniskowej, jest współczynnikiem załamania światła ośrodka między soczewką a próbką i jest długością fali światła oświetlającego lub pochodzące z (w przypadku mikroskopii fluorescencyjnej) próbki.

Wynika z tego, że NA zarówno obiektywu, jak i kondensatora powinny być tak wysokie, jak to możliwe, aby uzyskać maksymalną rozdzielczość. W przypadku, gdy obie NA są takie same, równanie można sprowadzić do:

Praktyczny limit to około 70°. W suchym obiektywie lub kondensorze daje to maksymalną NA 0,95. W olejowych soczewkach immersyjnych o wysokiej rozdzielczości maksymalny NA wynosi zwykle 1,45, gdy używa się olejku immersyjnego o współczynniku załamania 1,52. Z powodu tych ograniczeń granica rozdzielczości mikroskopu świetlnego wykorzystującego światło widzialne wynosi około 200  nm . Biorąc pod uwagę, że najkrótszą długością fali światła widzialnego jest fiolet ( ≈ 400 nm),

który jest blisko 200 nm.

Obiektywy zanurzeniowe w olejku mogą mieć praktyczne trudności ze względu na małą głębię ostrości i wyjątkowo krótką odległość roboczą, co wymaga użycia bardzo cienkich (0,17 mm) szkiełek nakrywkowych lub, w mikroskopie odwróconym, cienkich szalek Petriego ze szklanym dnem .

Jednak rozdzielczość poniżej tej teoretycznej granicy można osiągnąć przy użyciu mikroskopii superrozdzielczej . Obejmują one optyczne bliskie pola ( Skaningowy mikroskop optyczny bliskiego pola ) lub technikę dyfrakcyjną zwaną mikroskopią 4Pi STED . Obiekty tak małe jak 30 nm zostały rozdzielone obiema technikami. Oprócz tego mikroskopia lokalizacyjna z fotoaktywacją może rozwiązywać struktury o tej wielkości, ale jest również w stanie dostarczyć informacji w kierunku z (3D).

Zobacz też

Notatki wyjaśniające

Cytaty

Zewnętrzne linki