Jednostka kątowa - Angular unit
Na przestrzeni dziejów kąty były mierzone w wielu różnych jednostkach . Są one znane jako jednostki kątowe , przy czym najbardziej współczesnymi jednostkami są stopień (°), radian (rad) i gradian (grad), chociaż w historii używano wielu innych jednostek . Celem tej strony jest zestawienie innych pojęć odnoszących się do jednostki kątowej , gdzie można podać dodatkowe wyjaśnienia.
Ogólnie pomiar kąta
Wielkość kąta geometrycznego zwykle charakteryzuje się wielkością najmniejszego obrotu, który mapuje jeden z promieni na drugi. Mówi się, że kąty, które mają ten sam rozmiar, są równe , przystające lub równe pod względem .
W niektórych kontekstach, takich jak określenie punktu na okręgu lub opisanie orientacji obiektu w dwóch wymiarach w stosunku do orientacji odniesienia, kąty różniące się o dokładną wielokrotność pełnego obrotu są w rzeczywistości równoważne. W innych kontekstach, takich jak określenie punktu na krzywej spiralnej lub opisanie skumulowanego obrotu obiektu w dwóch wymiarach względem orientacji odniesienia, kąty różniące się niezerową wielokrotnością pełnego obrotu nie są równoważne.
Aby zmierzyć kąt θ , rysuje się łuk kołowy wyśrodkowany na wierzchołku kąta (np. za pomocą cyrkla ). Miarą kąta w radianach jest stosunek długości s łuku do promienia r okręgu .
Miara kąta w innej jednostce kąta jest następnie uzyskiwana przez pomnożenie jego miary w radianach przez współczynnik skalowania k/2 π, gdzie k jest miarą pełnego skrętu w wybranej jednostce (na przykład 360 dla stopni lub 400 dla gradianów ):
Tak zdefiniowana wartość θ jest niezależna od wielkości okręgu: jeśli długość promienia ulega zmianie, to długość łuku zmienia się w tej samej proporcji, a więc stosunek s / r pozostaje niezmieniony. (Dowód. Powyższy wzór można przepisać jako k =r/s. Jeden obrót, dla którego θ = n jednostek, odpowiada łukowi o długości równej obwodowi koła , który wynosi 2 πr , czyli s = 2 πr . Podstawiając n za θ i 2 πr za s we wzorze, otrzymujemy k =nr/2 πr = nie/2 π.)
W szczególności miara kąta, jaką jest radian, może być również interpretowana jako długość łuku odpowiadającego mu okręgu jednostkowego:
Postulat dodania kąta
Postulat dodawania kątów mówi, że jeśli B znajduje się wewnątrz kąta AOC, to
Miara kąta AOC jest sumą miary kąta AOB i miary kąta BOC. W tym postulacie nie ma znaczenia, w jakiej jednostce mierzony jest kąt — o ile każdy kąt jest mierzony w tej samej jednostce.
Jednostki
Jeden radian to kąt zależny od łuku koła, który ma taką samą długość jak promień okręgu. Radian to pochodna wielkość pomiaru kątowego w układzie SI . Z definicji jest bezwymiarowy , chociaż można go określić jako rad, aby uniknąć niejednoznaczności. Kąty mierzone w stopniach są oznaczone symbolem °. Podziały stopnia to minuta (symbol ′, 1′ = 1/60°) i sekunda {symbol ″, 1″ = 1/3600°}. Kąt 360° odpowiada kątowi zawartemu w pełnym okręgu i jest równy 2 radianom π , czyli 400 gradianom.
Inne jednostki używane do reprezentowania kątów są wymienione w poniższej tabeli. Jednostki te są zdefiniowane w taki sposób, że liczba zwojów odpowiada pełnemu okręgowi.
| Nazwa | liczba w jednej turze | kąt obrotu | opis |
|---|---|---|---|
| Skręcać | 1 | 360° | Kolej również cykl , pełne koło , obrót i ruch obrotowy jest pełny okrąg lub środek (jak na powrót do punktu) z koła lub elipsy. W zależności od zastosowania, zwrot jest oznaczany skrótem τ , cyc , rev lub rot . Symbol τ może być również użyty jako stała matematyczna reprezentująca 2 radiany π . |
| Wielokrotności π | 2 | 180° | W kalkulatorze naukowym RPN WP 43S zaimplementowano wielokrotności jednostki π (MUL π ) . Zobacz także: Operacje zalecane przez IEEE 754 |
| Kwadrant | 4 | 90° | Jeden kwadrant nazywany jest również kątem prostym . Kwadrant jest jednostką używaną w Elementach Euklidesa . W języku niemieckim symbol ∟ został użyty do oznaczenia ćwiartki. |
| Sekstans | 6 | 60° | Sekstantu to urządzenie wykorzystywane przez Babilończykami stopień, minuta i sekunda łukowego łuku są sześćdziesiątkowa podjednostki babiloñskiej urządzenia. Jest szczególnie łatwy do zbudowania za pomocą linijki i cyrkla. |
| Radian | 2 π | 57°17′ | Radianie zależy od obwodu koła, które ma długość równą promieniowi okręgu. |
| Heksakontada | 60 | 6° | Hexacontade jest jednostką wykorzystywaną przez Eratostenesa . |
| Stopień binarny | 256 | 1°33'45" | Stopień binarny , znany również jako radian binarny (lub brad ). Stopień binarny jest używany w obliczeniach, aby kąt mógł być skutecznie reprezentowany w jednym bajcie (choć z ograniczoną precyzją). Inne miary kąta stosowane w obliczeniach mogą opierać się na podzieleniu jednego pełnego zakrętu na 2 n równych części dla innych wartości n .
|
| Stopień | 360 | 1° | Jedną z zalet tej starej podjednostki sześćdziesiętnej jest to, że wiele kątów wspólnych w prostej geometrii jest mierzonych jako całkowita liczba stopni. Ułamki stopnia można zapisać w normalnym zapisie dziesiętnym (np. 3,5 ° dla trzech i pół stopnia), ale używane są również podjednostki sześćdziesiętne „minuta” i „sekunda” systemu „stopień-minuta-sekunda”, zwłaszcza dla współrzędnych geograficznych oraz w astronomii i balistyce |
| Grad | 400 | 0°54′ | Grad , zwany także stopień , gradian lub gon . kąt prosty to 100 gradów. Jest to podjednostka dziesiętna kwadrantu. Km historycznie zdefiniowany jako Centi -grad łuku wzdłuż południka Ziemi, więc km jest analogowy dziesiętny do sześćdziesiątkowy mili morskiej . Grad jest używany głównie w triangulacji . |
| Minuta łuku | 21 600 | 0°1′ | Minut łuku (lub MOA , arcminute , lub po prostu minut ) jest1/60stopnia. Mil morskich została zdefiniowana jako historycznie minuty łuku wzdłuż koła wielkiego Ziemi. |
| Sekunda łuku | 1 296 000 | 0°0′1″ | Sekundy łuku (lub sekundy kątowej , lub po prostu drugiego ) jest1/60 minuty łuku i 1/3600 stopnia. |
Równoważne deskryptory czasu
W astronomii , Rektascencja i odchylenie zwykle mierzy się w jednostkach kątowych, wyrażona w kategoriach czasu, na podstawie 24-godzinnego dnia.
| Jednostka | Symbol | Stopień | Radiany | okrąg | Inny |
|---|---|---|---|---|---|
| Godzina | h | 15° | π ⁄ 12 | 1 / 24 | |
| Minuta | m | 0°15' | π ⁄ 720 | 1 ⁄ 1440 | 1 ⁄ 60 godzin |
| druga | s | 0°0'15" | π ⁄ 43200 | 1 ⁄ 86 400 | 1 ⁄ 60 minut |
Inne deskryptory
- Tau , liczba radianów w jednym obrocie (1 obrót = τ rad), τ = 2 π .
- Chi, stary chiński pomiar kąta.
- Część średnicy ( n = 376,99...): Część średnicy (czasami używana w matematyce islamskiej) to)1/60radian. Jedna „część o średnicy” wynosi około 0,95493°. Na jeden obrót przypada około 376.991 części o średnicy.
- Milliradian definicje i pochodne: Rzeczywista milliradian jest utworzona tysięcznej radianach, co oznacza, że obrót jednego z kolei będzie równa dokładnie 2000π mil (lub około 6283,185 mil), i prawie wszystkie istotne zakres dla broni palnej jest kalibrowany do tej definicji. Ponadto istnieją trzy inne pochodne definicje używane dla artylerii i nawigacji, które są w przybliżeniu równe miliradianowi. Zgodnie z tymi trzema innymi definicjami jeden obrót odpowiada dokładnie 6000, 6300 lub 6400 milicali, co odpowiada rozpiętości zakresu od 0,05625 do 0,06 stopnia (3,375 do 3,6 minuty). Dla porównania, prawdziwy miliradian wynosi około 0,05729578 stopnia (3,43775 minuty). Jeden „ milion NATO ” jest zdefiniowany jako1/6400koła. Podobnie jak w przypadku prawdziwego miliradiana, każda z pozostałych definicji wykorzystuje użyteczną właściwość mila polegającą na subtensions, tzn. że wartość jednego miliradiana jest w przybliżeniu równa kątowi zawartemu przez szerokość 1 metra, patrząc z odległości 1 km (2 π/6400 = 0,0009817… 1/1000).
- Achnam i zam. W starej Arabii zakręt był podzielony na 32 Akhnam, a każdy akhnam był podzielony na 7 zam, tak że obrót to 224 zam.
Kąty dodatnie i ujemne
Chociaż definicja pomiaru kąta nie wspiera koncepcji kąta ujemnego, często przydatne jest narzucenie konwencji, która pozwala dodatnim i ujemnym wartościom kątowym reprezentować orientacje i obroty w przeciwnych kierunkach względem pewnego odniesienia.
W dwuwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych kąt jest zwykle definiowany przez jego dwie strony, z wierzchołkiem na początku. Strona początkowa znajduje się na dodatniej osi x , podczas gdy druga strona (tj. strona końcowa ) jest określona miarą od strony początkowej w radianach, stopniach lub obrotach. Zazwyczaj kąty dodatnie reprezentują obroty w kierunku dodatniej osi y , a kąty ujemne reprezentują obroty w kierunku ujemnej osi y . Gdy współrzędne kartezjańskie są reprezentowane przez pozycję standardową , zdefiniowaną przez oś x w prawo i oś y w górę, obroty dodatnie są przeciwne do ruchu wskazówek zegara , a obroty ujemne są zgodne z ruchem wskazówek zegara .
W wielu kontekstach, kąt - θ jest praktycznie równoznaczne z kątem „jeden pełny obrót minus θ ”. Na przykład orientacja reprezentowana jako -45° jest faktycznie równoważna orientacji reprezentowanej jako 360°-45° lub 315°. Jednak obrót o -45° nie byłby tym samym, co obrót o 315°.
W geometrii trójwymiarowej „zgodnie z ruchem wskazówek zegara” i „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara” nie mają absolutnego znaczenia, więc kierunek kątów dodatnich i ujemnych musi być zdefiniowany w odniesieniu do jakiegoś odniesienia, którym zazwyczaj jest wektor przechodzący przez wierzchołek kąta i który jest prostopadły do płaszczyzna, w której leżą promienie kąta.
W nawigacji , namiar mierzony jest względem północy. Zgodnie z konwencją, patrząc z góry, kąt namiaru jest dodatni w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, więc namiar 45° odpowiada orientacji północno-wschodniej. W nawigacji nie stosuje się namiarów ujemnych, więc orientacja północno-zachodnia odpowiada namiarowi 315°.
Alternatywne sposoby pomiaru wielkości kąta
Istnieje kilka alternatyw do mierzenia wielkości kąta przez odpowiedni kąt obrotu. Stopień stoku lub gradientu jest równa tangens kąta lub czasem (rzadko) z sinusa . Gradienty są często wyrażane w procentach. W przypadku bardzo małych wartości (mniej niż 5%) nachylenie nachylenia jest w przybliżeniu miarą kąta w radianach.
W racjonalnym geometrii The rozpiętość pomiędzy dwoma przewodami definiuje się na placu sinusa kąta między liniami. Ponieważ sinus kąta i sinus jego dodatkowego kąta są takie same, każdy kąt obrotu, który odwzorowuje jedną z linii na drugą, prowadzi do tej samej wartości rozrzutu między liniami.
Przybliżenia astronomiczne
Astronomowie mierzą kątowe oddzielenie obiektów w stopniach od ich punktu obserwacji.
- 0,5° to w przybliżeniu szerokość słońca lub księżyca.
- 1° to w przybliżeniu szerokość małego palca na wyciągnięcie ręki.
- 10° to w przybliżeniu szerokość zaciśniętej pięści na wyciągnięcie ręki.
- 20° to w przybliżeniu szerokość dłoni na wyciągnięcie ręki.
Te pomiary wyraźnie zależą od indywidualnego podmiotu, a powyższe należy traktować jedynie jako przybliżone przybliżenie reguły .
Pomiary, które nie są jednostkami kątowymi
Nie wszystkie pomiary kątów są jednostkami kątowymi, w przypadku pomiaru kątowego jest definitywne, że postulat dodawania kątów jest spełniony .
Niektóre pomiary kąta, w których postulat dodania kąta nie jest spełniony, obejmują: