Powierzchnia - Area


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Powierzchnia
wspólne symbole
ZA
jednostka SI Metr kwadratowy [m 2 ]
W jednostkach podstawowych SI m 2
Trzy kształty na kwadratowej siatce
Łączna powierzchnia tych trzech form jest w przybliżeniu 15,57 kwadratów .

Powierzchnia jest ilość , która wyraża stopień o dwuwymiarowy figura lub kształt , lub płaskiej blaszki w płaszczyźnie . Powierzchnia jest jego analog w dwuwymiarowej powierzchni z trójwymiarowego obiektu . Powierzchnia może być rozumiana jako ilość materiału o danej grubości, która byłaby konieczna do ukształtowania modelu kształtu albo ilości farby niezbędnej do pokrycia powierzchni o jednej warstwie. Jest to dwuwymiarowa analog długości z krzywej (pojęciem jednowymiarowa) lub objętości stałego (koncepcji trójwymiarowej).

Obszar w kształcie może być mierzona przez porównanie kształt kwadratów o stałym rozmiarze. W międzynarodowym układzie jednostek (SI), a średnia jednostka powierzchni jest metr kwadratowy (napisany jak m 2 ), który to obszar kwadratu o bokach jeden metr długości. Kształt o powierzchni trzech metrów kwadratowych, że mają taką samą powierzchnię jak trzech takich kwadratów. W matematyce The kwadratowe urządzenie jest zdefiniowany tak, że jedna powierzchnia, a obszar o innym kształcie lub powierzchni, jest wielkością bezwymiarową liczbą rzeczywistą .

Istnieje wiele dobrze znanych wzorów o obszarach o prostych kształtach, takie jak trójkąty , prostokąty , a koła . Korzystając z tych formuł powierzchni każdego wieloboku można znaleźć przez podzielenie wielokąta na trójkąty . Dla kształtów z zakrzywioną granicę, rachunek jest zazwyczaj wymagany do obliczenia powierzchni. Rzeczywiście, problem określenia obszaru figur płaskich był główną motywacją dla rozwoju historycznego rachunku .

W przypadku stałej postaci, takie jak sfery , stożka lub cylindra, obszar powierzchni granicznej jest nazywany powierzchni . Wzory na powierzchniach prostych kształtów zostały obliczone przez starożytnych Greków , ale obliczając powierzchnię bardziej skomplikowanym kształcie zazwyczaj wymaga wielu zmiennych rachunku .

Obszar odgrywa ważną rolę we współczesnej matematyce. Oprócz oczywistego znaczenie geometrii i kamienia, obszar ten jest związany z definicji wyznaczników w liniowym Algebra i jest podstawową cechą powierzchni w różnicowej geometrii . W analizie , obszar podzbiór płaszczyzny jest określona przy użyciu miary Lebesgue'a , choć nie każdy podzbiór jest mierzalna. Ogólnie rzecz biorąc, obszar w wyższej matematyki jest postrzegana jako szczególny przypadek objętości dla regionów dwuwymiarowych.

Powierzchnia może być określona poprzez zastosowanie aksjomatów, określając go jako funkcja zbioru pewnych figur płaskich do zbioru liczb rzeczywistych. Można udowodnić, że taka funkcja istnieje.

formalna definicja

Podejście do określenia, co należy rozumieć przez „terenie” jest przez aksjomaty . „Obszar” może być określony jako funkcja ze zbioru M szczególnego rodzaju figur płaskich (nazywane mierzalnych) do zbioru liczb rzeczywistych, która spełnia następujące właściwości:

  • Dla wszystkich S w M , ( S ) ≥ 0.
  • Jeśli S i TM następnie tak są ST i ST , a także ( ST ) = a ( S ) + a ( T ) - ( ST ).
  • Jeśli S i TM z ST czym T - S w M i ( T - S ) = a ( T ) - ( S ).
  • Jeśli zbiór S jest M a S jest przystający do T czym T jest w M i ( S ) = a ( T ).
  • Każdy prostokąt R ma M . Jeżeli prostokąta ma długość h i szerokości k następnie ( R ) = hk .
  • Niech P być zestaw umieszczony pomiędzy dwoma kroku regiony S i T . Region etap jest utworzony z ograniczonym związek sąsiednich prostokątów spoczywa na wspólnej podstawie, tj SQT . Jeśli nie ma unikatowy numer C tak, że ( S ) ≤ C ≤ ( T ) dla wszystkich tych regionach krok S i T , a następnie ( P ) = C .

Można udowodnić, że taka funkcja obszar faktycznie istnieje.

jednostki

Kwadrat wykonane z rur PVC na trawie
Kwadratowy metr kwadrat z rury PCW.

Każda jednostka długości ma odpowiednią jednostkę powierzchni, mianowicie powierzchni kwadratu o danej długości bocznego. W ten sposób obszary mogą być mierzone w metrach kwadratowych (m 2 ) centymetrów kwadratowych (cm 2 ), milimetrach kwadratowych (mm 2 ), kilometrów kwadratowych (km 2 ) stóp kwadratowych (ft 2 ) jardów kwadratowych (km 2 ), mil kwadratowych (m; 2 ) i tak dalej. Algebraicznie, jednostki te mogą być traktowane jako kwadraty z odpowiednimi jednostkami długości.

Jednostką SI powierzchni jest metr kwadratowy, który jest uważany za jednostka SI pochodzi .

konwersje

Diagram przedstawiający współczynnik konwersji między różnymi obszarami
Chociaż istnieje 10 mm w 1 cm jest 100 mm 2 1 cm 2 .

Obliczanie powierzchni kwadratu, którego długość i szerokość 1 metr, to:

1 m x 1 m = 1 m 2

Tak więc prostokąt o różnych stronach (powiedzmy długości 3 m i szerokości 2 m), posiada powierzchnię na jednostkę powierzchni, która może być obliczona jako:

3 m x 2 m = 6 m 2 . Jest to równoważne 6 milionów milimetrów kwadratowych. Inne przydatne konwersje są:

  • 1 kilometrów kwadratowych = 1.000.000 metrów kwadratowych
  • 1 metr kwadratowy = 10,000 centymetrów kwadratowych = 1.000.000 milimetrów kwadratowych
  • 1 centymetr kwadratowy = 100 milimetrów kwadratowych.

Jednostki niemetrycznych

W jednostkach niemetrycznych konwersja między dwoma jednostkę powierzchni jest kwadratowy konwersji pomiędzy odpowiednimi jednostek długości.

1 stopa = 12 cali ,

związek między stóp kwadratowych i kwadratowych cala jest

1 stóp kwadratowych = 144 cali kwadratowych,

gdzie 144 = 12 2 = 12 x 12. Podobnie:

  • 1 jard kwadratowy = 9 stóp kwadratowych
  • 1 milę kwadratową = 3,097,600 jardów kwadratowych = 27,878,400 stóp kwadratowych

Ponadto, czynniki konwersji obejmują:

  • 1 cal kwadratowy = 6.4516 centymetrów kwadratowych
  • 1 stopa kwadratowa = 0,092 903 04 metrów kwadratowych
  • 1 jard kwadratowy = 0,836 127 36 metrów kwadratowych
  • 1 mile kwadratowe = 2,589 988 110 336 kilometrów kwadratowych

Inne jednostki, w tym historyczny

Istnieje kilka innych wspólnych jednostek na obszarze. Are była pierwotna jednostka powierzchni w systemie metrycznym , z:

  • 1 są = 100 metrów kwadratowych

Choć Are spadło z użytkowania, hektar jest nadal powszechnie stosowane do pomiaru gruntów:

  • 1 ha = 100 Ares = 10,000 metrów kwadratowych = 0,01 kilometrów kwadratowych

Inne rzadkie jednostki metryczne w dziedzinie obejmują tetradê Z hectad , a mnóstwo .

Akr jest również powszechnie stosowane do pomiaru obszarów lądowych, gdzie

  • 1 akr = 4,840 jardów kwadratowych = 43,560 stóp kwadratowych.

Akr w około 40% z hektara.

W skali atomowej, obszar ten jest mierzony w jednostkach oborach , takimi jak:

  • 1 barn = 10 -28 metrów kwadratowych.

Barn jest powszechnie stosowany w opisie w przekroju obszar interakcji Fizyki Jądrowej .

W Indiach,

  • 20 dhurki = 1 dhur
  • 20 dhur = 1 khatha
  • 20 Khata = 1 Bigha
  • 32 Khata = 1 akr

Historia

obszar krąg

W 5 wieku pne Hipokrates z Chios był pierwszym, aby pokazać, że obszar dysku (region otoczone okręgu) jest proporcjonalna do kwadratu jego średnicy, jako część jego kwadraturze z Księżyce Hipokratesa , ale nie nie zidentyfikować współczynnikiem proporcjonalności . Eudoksos z Knidos , także w 5 wieku pne, odkryli również, że powierzchnia dysku jest proporcjonalna do jego promień do kwadratu.

Następnie, Book I Euklidesa Elementy rozpatrywane równości pomiędzy obszarami figur dwuwymiarowych. Matematyk Archimedes użył narzędzia geometrii euklidesowej , aby pokazać, że obszar wewnątrz okręgu jest równy z trójkąta prostokątnego , którego podstawa ma długość obwodu okręgu i którego wysokość wynosi promień okręgu jest w swojej książce Measurement okręgu . (Obwód wynosi 2 π R , a powierzchnia trójkąta stanowi połowę razy bazowe wysokość, uzyskując obszaru gatunku R 2 dla dysku). Archimedesa przybliżeniu wartość Õ (a więc obszaru jednostki promienia okręgu ) z jego podwojenie metody , w której wpisane regularnego trójkąta w kole i zauważył jego powierzchnię, a następnie podwoił liczbę stron, aby dać regularny sześciokąt , a następnie wielokrotnie podwoiła liczbę boków jako obszar wielokąta dostaje coraz bliżej, że okręgu (i zrobił to samo z ograniczonej wielokątów ).

Szwajcarski naukowiec Johann Heinrich Lambert w 1761 roku udowodnił, że gatunku , stosunek obszarze okręgu do jego kwadratu promienia, jest irracjonalna , co oznacza, że nie jest równa ilorazowi dowolnych dwóch liczb całkowitych. W 1794 roku francuski matematyk Adrien-Marie Legendre udowodnił, że π 2 jest nieracjonalne; Dowodzi to również, że π jest irracjonalna. W 1882 r niemieckim matematyka Ferdinand Lindemann okazało się, że π jest nadzmysłowy (nie roztwór dowolnego równania wielomianowego współczynnikach racjonalnej), potwierdzając przypuszczenie, przez obie Legendre i Eulera.

obszar trójkąt

Heron (lub Hero) z Aleksandrii znaleźć to, co jest znane jako Wzór Herona na pole trójkąta pod względem jego boków, a dowód można znaleźć w książce Metrica , napisanej około 60 CE. Sugerowano, że Archimedes znał wzoru ponad dwa wieki wcześniej, a ponieważ Metrica jest zbiorem wiedzy matematycznej dostępnych w starożytnym świecie, możliwe jest, że formuła wyprzedza referencyjne podane w tej pracy.

W 499 Aryabhata , wielki matematyka - astronom z klasycznego wieku Indian matematycznych i Indian astronomii wyrażone powierzchni trójkąta jako połową krotność bazowe wysokości w Aryabhatiya (sekcja 2.6).

Formuła równoważne Herona została odkryta przez Chińczyków niezależnie od Greków. Została ona opublikowana w 1247 roku w Shushu Jiuzhang ( „ Matematyczny traktat w dziewięciu rozdziałach ”), napisany przez Qin Jiushao .

obszar czterostronne

W 7. wne Brahmagupta opracował wzór, obecnie znany jako wzoru Brahmagupta jest na obszarze o cyklicznym czworoboku (A czworoboku wpisana w koło) w odniesieniu do jego boków. W 1842 roku niemieccy matematycy Carl Anton Bretschneider i Karl Georg Christian von Staudt niezależnie znaleźć formułę, znany jako twierdzenie bretschneidera , na obszarze dowolnego czworokąta.

Ogólny obszar wielokąta

Rozwój współrzędnych kartezjańskich przez Kartezjusza w 17 wieku umożliwiło rozwój wzoru mierniczego na obszarze dowolnego wielokąta ze znanymi wierzchołków lokalizacjach Gaussa w 19 wieku.

Obszary określane za pomocą rachunku

Rozwój rachunku całkowego w późnym 17 wieku pod warunkiem, narzędzia, które mogą być następnie wykorzystane do obliczenia bardziej skomplikowane obszary, takie jak na obszarze o elipsy i powierzchniach o różnych zakrzywionych obiektów trójwymiarowych.

wzory palących

wzory wielokąt

Dla nie-samo-przecinające ( proste ) wielokąta, na współrzędne kartezjańskie ( i = 0, 1, ..., n -1) w których n wierzchołki są znane, obszar jest wyrażona wzorem mierniczego :

gdzie podczas i = N -1, a następnie i + 1 jest wyrażana jako moduł n , a więc odnosi się do 0 ° C.

prostokąty

Prostokąta o długości i szerokości, oznaczone
Powierzchnia tego prostokąta jest  LW .

Najbardziej podstawowy obszar wzoru jest wzór na pole powierzchni prostokąta . Biorąc pod uwagę, prostokąta o długości L i szerokości W , wzór na powierzchni jest:

= Lw  (prostokąt).

Oznacza to, że obszar prostokąta jest długość pomnożona przez szerokość. W szczególnym przypadku, gdy L = wagowych w przypadku kwadratu, obszar kwadratu o długości boku S oblicza się według wzoru:

= S 2  (kwadrat).

Wzór na powierzchni prostokąta wynika bezpośrednio z podstawowych właściwości powierzchni, a czasami jest traktowane jako określenia czy pewnik . Z drugiej strony, jeśli geometria jest rozwijany przed arytmetyki , formuła ta może być używana do określenia mnożenie z liczb rzeczywistych .

Diagram pokazujący jak równoległobok może być ponownie umieszczony w kształcie prostokąta
Równe dane miejsca.

Rozwarstwienia, równoległoboki i trójkąty

Większość inne proste wzory na powierzchni wynika z metody preparowania . Wiąże kształt cięcia na kawałki, których obszarach należy zsumować do obszaru pierwotnego kształtu.

Na przykład, każdy równoległoboku można podzielić na trapezoidu i trójkąta prostokątnego , jak pokazano na rysunku po lewej stronie. Trójkąt przesuwa się na drugą stronę, trapezu, a następnie otrzymany postać jest prostokątem. Wynika stąd, że powierzchnia równoległoboku jest taka sama jak powierzchnia prostokąta:

= BH  (równoległowodowym).
Równoległoboku podzielone na dwie równe trójkąty
Dwie równe trójkąty.

Jednak sam równoległobok może również być cięte wzdłuż przekątnej na dwie przystające trójkąty, jak pokazano na figurze z prawej strony. Wynika z tego, że obszar każdego trójkąta to połowa powierzchni równoległoboku:

 (trójkąt).

Podobne argumenty mogą być wykorzystywane w celu znalezienia formuły powierzchnia dla trapezu , jak również bardziej skomplikowane wielokątów .

Obszar zakrzywionych kształtach

kręgi

Okręgu podzielone na wiele sektorów może być ponownie umieszczony w przybliżeniu tworzą równoległobok
Koło może być podzielona na sektory , które przemieszczają się ponownie, aby utworzyć w przybliżeniu równoległobok .

Wzór na pole powierzchni koła (bardziej właściwie nazywany obszarze ograniczonym okręgiem lub pole powierzchni dysku ) opiera się na podobnym sposobem. Biorąc okręgu o promieniu r , to jest możliwe, aby podzielić okrąg na sektorach , jak pokazano na rysunku po prawej stronie. Każdy sektor jest w przybliżeniu w kształcie trójkąta, a sektory mogą zostać zmienione w celu utworzenia przybliżoną równoległoboku. Wysokość tego równoległoboku jest R , a szerokość jest równa połowie obwodu koła lub gatunku R . W ten sposób, całkowita powierzchnia koła jest π R 2 :

= Π R 2  (kółko).

Chociaż aorty stosowane w tym wzorze jest tylko w przybliżeniu, błąd staje się mniejsze, ponieważ koło dzieli się na coraz większą liczbę sektorów. Granica obszarów o przybliżonej równoległoboków dokładnie π R 2 , która to powierzchnia koła.

Ten argument jest rzeczywiście prosta aplikacja z ideami rachunku . W czasach starożytnych, metoda wyczerpywania został wykorzystany w podobny sposób, aby znaleźć obszar okręgu, a metoda ta jest obecnie uznawana jako prekursor rachunku całkowego . Stosując nowoczesne metody, obszar okręgu można obliczyć za pomocą całki :

elipsy

Wzór na obszarze ograniczonym przez elipsy ma związek o wzorze kołowym; do elipsy pół głównych i pół drobnych osi X i Y, formuła jest:

Powierzchnia

Niebieski kuli w cylindrze o tej samej wysokości i promieniu
Archimedesa wykazały, że pole powierzchni kuli jest dokładnie cztery razy obszar płaskiego dysku o takim samym promieniu, a objętością zamkniętą przez sferę dokładnie 2/3 objętości cylindra o tej samej wysokości i promieniu.

Najbardziej podstawowe formuły powierzchni można otrzymać przez cięcie powierzchni i spłaszczania ich na zewnątrz. Przykładowo, gdy powierzchnia z boku cylindra (lub pryzmat ) jest cięty wzdłużnie, powierzchnia może być spłaszczone do prostokąta. Podobnie, jeśli cięcie jest wykonywane wzdłuż boku stożka powierzchnia boczna może być spłaszczone do wycinka koła i otrzymaną obszar obliczane.

Wzór na powierzchni w sferze jest trudniejsze do uzyskania: ponieważ kula ma niezerową krzywizny Gaussa , to nie może być spłaszczona. Wzór na powierzchni kuli został po raz pierwszy otrzymany przez Archimedesa w swojej pracy na kuli i cylindra . Wzór jest następujący:

= 4 πr 2  (sfery),

gdzie R jest promieniem kuli. Podobnie jak w przypadku wzoru na pole koła, każde wyprowadzenie tego wzoru natury wykorzystuje metody podobne do rachunku .

wzory ogólne

Obszary figur 2-wymiarowych

  • Trójkąt : (gdzie B oznacza dowolny z boku, a H jest odległością od linii, w którym B leży na drugim wierzchołku trójkąta). Wzór ten może być stosowany, jeśli wysokość H jest znany. Jeżeli długość trzech stron są znane, a następnie wzór Heron można stosować: gdzie , b , c są boki trójkąta i wynosi połowę jej obwodzie. Jeżeli kąt a jego dwa boki zawarte są dane, jest obszar , w którym C jest podany kąt a i b są zawarte jego boków. Trójkąt jest wykreślone w płaszczyźnie współrzędnych, matryca może być stosowany i jest uproszczone do wartości bezwzględnej . Wzór ten jest również znany jako wzoru sznurowadło i jest w prosty sposób rozwiązać na powierzchni trójkąta współrzędnych podstawiając 3 punkty (X 1 , Y 1 ) , (x 2 , Y 2 ) , i (x 3 , y 3 ) . Formuła sznurowadło mogą być również wykorzystywane w celu znalezienia obszarów innych wielokątów, gdy znane są ich wierzchołki. Innym podejściem do trójkąta współrzędnych jest użycie rachunek aby znaleźć obszar.
  • Wielokąt prosty zbudowany na siatce o równej zdystansowany punktów (czyli wskazuje z całkowitą współrzędnych), tak, że wszystkie wierzchołki wielokąta są punkty siatki: gdzie i oznacza liczbę punktów siatki wewnątrz wielokąta, a b oznacza liczbę punktów granicznych , Wynik ten jest znany jako Wzór Picka .

Obszar w rachunku

Diagram przedstawiający obszar pomiędzy daną krzywą a na osi odciętych
Integracja może być traktowany jako mierząc powierzchnię pod krzywą, zdefiniowany przez f ( x ) pomiędzy dwoma punktami (tutaj i
b ).
Diagram przedstawiający obszar pomiędzy dwoma funkcjami
Obszar pomiędzy dwa wykresy może być oceniona przez obliczenie różnicy pomiędzy całek dwóch funkcji
  • Obszar pomiędzy dodatnim wartościami krzywej i osią poziomą, mierzoną między dwie wartości a i b (b określa się jako większą z dwóch wartości) na osi poziomej, podany jest w integralny z do b funkcji, która przedstawia krzywą:
gdzie jest krzywa z większą wartość y.
  • Teren ogrodzony przez parametrycznej krzywej z punktami końcowymi jest przyznana przez całek liniowych :

(patrz Twierdzenie Greena ) lub z -component od

Ograniczonym obszar pomiędzy dwoma funkcja kwadratowa

Aby znaleźć ograniczony obszar pomiędzy dwoma funkcja kwadratowa , odejmujemy od siebie napisać różnicę jako

gdzie f ( x ) jest kwadratowy górnej granicy i g ( x ) jest kwadratowa dolna granica. Określić wyróżnik z F ( x ) - g ( x ) w postaci

Upraszczając integralną wzoru pomiędzy wykresami dwóch funkcji (jak podano w sekcji powyżej) i za pomocą wzoru VIETA za możemy uzyskać

Powyższe pozostaje ważna, gdy jedna z funkcji ograniczających jest liniowa, a nie kwadratowe.

Powierzchnia figur 3-wymiarowych

  • Stożek : gdzie R jest promieniem okrągłej podstawy i h jest wysokością. To może być również zapisane, jak i gdzie R jest promieniem, a L oznacza wysokość pochylenie stożka. Jest to obszar, podczas gdy podstawa znajduje się boczna powierzchnia stożka.
  • kostka : gdzie a jest długością krawędzi.
  • Cylinder : gdzie R jest promieniem podstawy i h jest wysokością. 2 R mogą być również zapisane jako d , gdzie d jest średnicą.
  • Pryzmat : Ph + 2B, gdzie B jest obszar z podstawy, P jest obwodem podstawy i h jest wysokością pryzmatu.
  • piramidy : gdzie B jest obszar podstawy, P jest obwodem podstawy, a L jest długością skosu.
  • prostopadłościan : gdzie to długość, W szerokość, a H jest wysokością.

Ogólny wzór na powierzchni

Ogólny wzór na powierzchni wykresu zależności różniczkowej sposób ciągły , gdzie i jest regionem w płaszczyźnie xy z gładką granicy:

Jeszcze bardziej ogólnie wzór na powierzchni wykresem parametrycznego powierzchni w postaci wektora , gdzie jest stale różniczkowalną funkcją wektora jest:

Lista formuł

Dodatkowe wspólne wzory na powierzchni:
Kształt Formuła zmienne
Regularny trójkąt ( trójkąt równoboczny ) ma długość jednego boku trójkąta.
Trójkąt jest równa połowie obwodu, , i to długość każdego boku.
Trójkąt i są dowolne dwa boki, a jest kątem pomiędzy nimi.
Trójkąt a to z podstawy i wysokość (mierzoną prostopadle do podstawy), odpowiednio.
Trójkąt równoramienny jest długością jednego z dwóch boków równą a jest długością innego boku.
Romb / Kite i są długościami dwóch przekątnych rombu lub latawca.
Równoległobok ma długość podstawy i ma wysokość prostopadłe.
trapez i są równoległe boki i odległość (wysokość) pomiędzy podobieństw.
regularny sześciokąt ma długość jednego boku sześciokąta.
regularny ośmiokąt ma długość jednego boku ośmiokąta.
wielokąt foremny jest długością boku, jest liczba boków.
wielokąt foremny obwód i jest to liczba stron.
wielokąt foremny jest promieniem okręgu ograniczonych, jest promieniem wpisanego koła, a jest to liczba boków.
wielokąt foremny jest liczbą stron, jest długością boku, jest apotema lub promieniem koła wpisanego w wielokąt i jest obwód wielokąta.
okrąg jest promieniem i średnicy .
wycinka koła i mają promień i kąt (w radianach ), odpowiednio i ma długość obwodu.
Elipsa i są semi-major i semi-drobne osie, odpowiednio.
Łączna powierzchnia z cylindrem i są odpowiednio promień i wysokość.
Boczna powierzchnia cylindra i są odpowiednio promień i wysokość.
Powierzchnia całkowita powierzchnia kuli i są odpowiednio oddalone i średnicy.
Łączna powierzchnia z piramidy Jest to obszar podstawy, znajdują się na obwodzie podstawy i jest tworząca stożka.
Łączna powierzchnia z ostrosłupa ściętego Jest to obszar podstawy, znajdują się na obwodzie podstawy i jest tworząca stożka.
Plac do przekształcenia obszaru kołowego Jest to obszar placu w jednostkach kwadratowych.
Okólnik do kwadratu konwersję kierunkowy Jest to obszar okręgu w jednostkach okrągłych.

Powyższe obliczenia pokazują, jak znaleźć obszary wielu typowych kształtach .

Obszary nieregularnych wielokątów można obliczyć za pomocą „ formułę rzeczoznawcy ”.

Relacja z obszaru Perimeter

Nierówność izoperymetryczna wskazuje, że do zamkniętej krzywej o długości L (tak, że otacza obszar ma obwód L ) oraz do obszaru A w regionie, że zamyka,

i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy krzywa jest okrąg . W ten sposób koło ma największą powierzchnię każdej zamkniętej figury o danym obwodzie.

W drugiej skrajności, postać o podanej granicznej L może mieć dowolnie małym obszarze, jak pokazano przez rombu , które są „przechylania” dowolnie daleko, tak aby jego dwóch kątów są dowolnie w pobliżu 0 ° C, a pozostałe dwa są dowolnie blisko do 180 ° C.

Na okręgu, stosunek powierzchni do obwodu (termin na obwodzie koła) wynosi połowę promienia r . Można to zauważyć ze wzoru obszar πr 2 i wzór 2 obwód πr .

Obszar o wielokąta foremnego to połowa jego czasy granicznej apotema (gdzie apotema to odległość od środka do najbliższego punktu na każdej stronie).

fraktale

Podwojenie długościach boków wielokąta mnoży jego powierzchni przez cztery, który wynosi dwa (stosunek nowa starego długości boku) podniesionej do potęgi dwóch (wymiar przestrzeni wielokąta zamieszkuje). Jeśli jednak jednowymiarowe długości z fraktali sporządzone w dwóch wymiarach, są wszystkie podwójne zawartość przestrzenna fraktalnych wag przez potęgi dwójki, który niekoniecznie jest liczbą całkowitą. Moc ta jest nazywana wymiar fraktalny od fraktala.

Dwusieczna palących

Istnieją nieskończoną wierszy przepoławiać obszar trójkąta. Trzy z nich są mediany trójkąta (które łączą punkty przecięcia boków z przeciwległymi wierzchołkami) i są one zbieżne w tego trójkąta ciężkości ; Rzeczywiście, są one jedynymi Dwusieczna miejsca, które przechodzą przez środek ciężkości. Każdy wiersz poprzez trójkąta, który dzieli zarówno obszar trójkąta i jego obwód w połowie przechodzi incenter trójkąta (w środku jego incircle ). Są to zarówno jeden, dwa lub trzy z nich na dowolnym trójkącie.

Każdy wiersz przez środkowego równoległoboku przecina obszar.

Wszystkie Dwusieczna miejsca w okręgu lub elipsy innym przejść przez centrum miasta, a wszystkie akordy przez centrum przepoławiać okolicę. W przypadku koła są średnice okręgu.

Optymalizacja

Biorąc kontur drutu powierzchni najmniejszego obszaru rozpinającego ( „wypełnienie”) jest to minimalna powierzchnia . Znane przykłady obejmują baniek mydlanych .

Kwestia obszaru napełniania z riemannowskiej kręgu pozostaje otwarta.

Koło posiada największą powierzchnię każdej dwuwymiarowego obiektu posiadającego ten sam obwód.

Cykliczny wielokąt (jeden wpisany okrąg) ma największą powierzchnię dowolnego wielokąta z danej liczby stron tych samych długościach.

Wersja na nierówność izoperymetryczna dla trójkątów stanowi, że trójkąt o największej powierzchni spośród wszystkich osób z danego obwodu jest równoboczny .

Trójkąt z największych powierzchni wszystkich tych, wpisana w danym okręgu jest równoboczny; i trójkąt najmniejszej powierzchni wszystkich tych ograniczony wokół danego okręgu jest równoboczny.

Stosunek obszaru incircle do powierzchni trójkąta równobocznego, jest większa niż jakiegokolwiek trójkąt nierównoboczny.

Stosunek powierzchni do kwadratu obwodzie równobocznego trójkąta, jest większy niż dla każdego innego trójkąta.

Zobacz też

Referencje

Linki zewnętrzne