Średnia arytmetyczna - Arithmetic mean


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

W matematycznych i statystycznych , do średniej arytmetycznej ( / ˌ ć r ɪ θ m ɛ t ɪ k m ı n / , siła na trzecim sylaby „arytmetyki”), lub po prostu średniej lub średnio gdy kontekst wyraźnie jest suma zbioru liczb podzielona przez liczby numerów w zbiorze. Kolekcja jest często zbiorem wynikach eksperymentu lub badania obserwacyjnego , lub częściej zestaw wyników z badania . Określenie „średnia arytmetyczna” jest korzystne w pewnych kontekstach w matematyce i statystyce, ponieważ pomaga odróżnić go od innych środków , takich jak średnia geometryczna i średnia harmoniczna .

Oprócz matematyki i statystyki, średnia arytmetyczna jest często stosowany w wielu różnych dziedzinach, takich jak ekonomia , antropologii i historii , i jest on stosowany w niemal każdej dziedziny akademickiej do pewnego stopnia. Na przykład, dochód per capita jest średnią arytmetyczną dochody ludności danego kraju.

Podczas gdy średnia arytmetyczna jest często wykorzystywany do zgłaszania centralne tendencje , to nie jest statystyka odpornościowa , co oznacza, że jest on znacznie pod wpływem skrajnych (wartości, które są bardzo dużo większy lub mniejszy niż większość wartości). Warto zauważyć, że dla rozkładów skośnych , takich jak podział dochodów , dla których dochody kilka osób są znacznie większe niż w przypadku większości ludzi, średnia arytmetyczna nie mogą pokrywać się z czyjegoś pojęcia „pośrodku” i solidnych danych statystycznych, takich jak mediana , może być lepszy opis tendencji centralnej.

Definicja

Arytmetyczna (lub myśli lub średnia ), (czytaj bar ), jest średnią z wartości .

Średnia arytmetyczna jest najczęściej stosowany i zrozumiałe miarą tendencji centralnej w zbiorze danych . W statystyce, średni termin odnosi się do każdej z miar tendencji centralnej. Średnia arytmetyczna zbioru zaobserwowanych danych jest zdefiniowana jako równa sumie wartości liczbowych każdego obserwacji podzieloną przez łączną liczbę obserwacji. Symbolicznie, jeśli mamy zestaw danych, składający się z wartości , a następnie średnią arytmetyczną określa się według wzoru:

(Patrz sumowanie dla wyjaśnienia operatora sumy ).

Na przykład, weźmy pod uwagę miesięczne wynagrodzenie w wysokości 10 pracowników firmy: 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2600, 2400. Średnia arytmetyczna jest

Jeśli zestaw danych jest zbiorowości (czyli składa się z każdej możliwej obserwacji, a nie tylko podzbiór z nich), a następnie średnią z tej populacji nazywa się populacja myśli . Jeśli zestaw danych jest próbka statystyczna (podzbiór populacji), nazywamy statystykę wynikającą z tego obliczenia średniej próbki .

właściwości Motywowanie

Średnia arytmetyczna ma kilka właściwości, które czynią go użytecznym, zwłaszcza jako miara tendencji centralnej. Obejmują one:

  • Jeśli numery mają na myśli , a potem . Ponieważ jest odległość od danego numeru do średniej, jednym ze sposobów interpretowania tej właściwości jest jak powiedzenie, że numery na lewo od średniej są równoważone przez liczby na prawo od średniej. Średni jest tylko jeden numer, dla którego pozostałości (odchylenia od szacunków) sumują się do zera.
  • Jeśli jest to wymagane do korzystania z jednego numeru jako „typowy” wartości dla zestawu znanych numerów , a następnie średnią arytmetyczną liczb robi to najlepiej, w sensie minimalizacji sumy kwadratów odchyleń od typowych wartości: suma z . (Wynika stąd, że próbka znaczy to również najlepszy single predyktorem w sensie posiadania najniższy średni pierwiastek kwadratowy błąd ). Jeśli wymagana jest średnia arytmetyczna z populacji liczb, a następnie oszacowanie tego, że jest bezstronna jest średnią arytmetyczną próbki sporządzonej z populacji.

Kontrastować z medianą

Średnia arytmetyczna może być skontrastowane z mediany. Mediana jest określone w taki sposób, że nie więcej niż połowę wartości większej niż, a nie więcej niż połowa jest mniejsza niż mediana. Jeżeli elementy danych zwiększa arytmetycznie , gdy umieszczone w pewnej kolejności, a następnie mediana i średnia arytmetyczna są równe. Na przykład, rozważmy próbki danych . Średnia jest , jak jest mediana. Jednak, gdy weźmiemy pod uwagę, że próbki nie mogą być umieszczone w taki sposób, aby zwiększyć arytmetycznie, jak mediana i średnia arytmetyczna może znacznie się różnić. W tym przypadku średnia arytmetyczna 6,2, a średni wynosi 4. Ogólnie, średnia wartość może znacznie różnić się od większości wartości w próbce i może być większa lub mniejsza, niż większość z nich.

Istnieją aplikacje tego zjawiska w wielu dziedzinach. Na przykład, od 1980 roku, średni dochód w Stanach Zjednoczonych wzrosła wolniej niż średnia arytmetyczna dochodów.

uogólnienia

Średnia ważona

Średnią ważoną, albo średnią ważoną, jest średnią, w której liczą się niektóre punkty danych w większym stopniu niż inni, że są one podane większą wagę w obliczeniach. Na przykład, średnia arytmetyczna i jest , lub równoważnie . W przeciwieństwie do tego, ważoną średnią, w której pierwszy numer otrzymuje, na przykład, dwa razy tyle wagi jako drugi (może dlatego, że zakłada się, że pojawiają się dwa razy częściej niż w populacji ogólnej, z których pobrano próbki te numery) będzie obliczany jako . Tutaj ciężary, które muszą sumować się do wartości jeden, to i , byłego będąc dwukrotnie drugie. Należy zauważyć, że średnia arytmetyczna (czasami nazywany „nieważona średni” lub „średni równie wa”) można interpretować jako szczególnego przypadku średniej ważonej, w którym wszystkie ciężary są sobie równe (równa w powyższym przykładzie, a równą w sytuacji liczba uśrednione).

Ciągłe rozkłady prawdopodobieństwa

Porównanie dwóch rozkładów normalnych dziennika z równą średniej ale innym skośności , w wyniku różnych median i trybów .

Jeśli liczbowej właściwości i każdej próbki danych z niego, można przyjąć dowolną wartość z ciągłego zakresu, zamiast, na przykład, tylko liczbami całkowitymi, to prawdopodobieństwo pewnej liczby należących do pewnego zakresu możliwych wartości można opisać poprzez zintegrowanie ciągły rozkład prawdopodobieństwa w poprzek tym zakresie, nawet gdy naiwne prawdopodobieństwo dla wielu próbek przyjmujących jedną pewną wartość z nieskończenie wielu jest zero. Analogowa średniej ważonej w tym kontekście, w którym istnieje nieskończona liczba możliwości dokładnej wartości zmiennej w każdym zakresie, nazywana jest średnią rozkładu prawdopodobieństwa . Najbardziej powszechnie spotykane rozkład prawdopodobieństwa nazywa się rozkład normalny ; ma tę właściwość, że wszystkie miary tendencji centralnej, w tym nie tylko średnią, ale także ww mediana i tryb (trzy M), nie są sobie równe. Równość ta nie posiada innych rozkładów prawdopodobieństwa, jak pokazano na rozkład logarytmicznie normalny tutaj.

kąty

Szczególną ostrożność należy zachować przy użyciu danych cykliczne, takie jak fazy lub prostym . Naiwnego biorąc średnią arytmetyczną 1 ° do 359 ° daje w wyniku 180 °. To jest błędne z dwóch powodów:

  • Po pierwsze pomiary kątowe są określone tylko na dodatkowej stałej o 360 ° (lub 2n, przy pomiarach w radianach ). W ten sposób można równie łatwo wywołać te -1 ° i 1 ° lub 361 ° i 719 °, z których każdy daje inną średnią.
  • Po drugie, w tej sytuacji, 0 ° (równoważnie, 360 °) jest geometrycznie lepsze średnia wartość: jest mniejsza dyspersja o to (oba punkty 1 ° od niego oraz 179 ° od 180 ° C, średnia domniemany).

W zastosowaniu ogólnym, takie przeoczenie doprowadzi do średniej wartości sztucznie w kierunku środkowej części zakresu liczbowego. Rozwiązaniem tego problemu jest zastosowanie preparatu optymalizacji ( tzn. , Określa średnią w punkcie centralnym: punkt, w którym jedna z najniższą dyspersji), i ponownego różnicę w postaci modułowej odległości (czyli odległość na okręgu więc modułowa odległość pomiędzy 1 ° a 359 ° wynosi 2 °, a nie 358 ° C).

Symbole i kodowanie

Średnia arytmetyczna jest często oznaczany przez barze, na przykład jak w (czytaj bar ).

Niektóre programy ( procesory tekstu , przeglądarek internetowych ) nie może pojawić się symbol X prawidłowo. Na przykład, symbol X w HTML jest właściwie połączeniem dwóch kodów - baza litera x plus kod na linii powyżej (& # 772: lub ¯).

W niektórych tekstach, takich jak pliki PDF , symbol X może zostać zastąpiona przez centa (¢) symbol ( Unicode & # 162), gdy skopiowany do edytora tekstu, takich jak Microsoft Word .

Zobacz też

Referencje

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne