Duże liczby - Large numbers

Liczby, które są znacznie większe niż te zwykle używane w życiu codziennym, na przykład w prostym liczeniu lub w transakcjach pieniężnych, często pojawiają się w dziedzinach takich jak matematyka , kosmologia , kryptografia i mechanika statystyczna . Termin ten zazwyczaj odnosi się do dużych dodatnich liczb całkowitych lub ogólniej do dużych dodatnich liczb rzeczywistych , ale może być również używany w innych kontekstach. Badanie nomenklatury i właściwości dużych liczb jest czasami nazywane googologią.

Czasami ludzie odnoszą się do dużych liczb jako „astronomicznie dużych”; jednak łatwo jest matematycznie zdefiniować liczby, które są znacznie większe, nawet niż te używane w astronomii.

W codziennym świecie

Notacja naukowa została stworzona do obsługi szerokiego zakresu wartości występujących w badaniach naukowych. Na przykład 1,0 × 10 ⁹ , oznacza jeden miliard , jedynka z dziewięcioma zerami: 1 000 000 000, a 1,0 × 10 ^-9 oznacza jedną miliardową, czyli 0,000000 001. Zapisanie 10 ⁹ zamiast dziewięciu zer oszczędza czytelnikom wysiłku i ryzyko liczenia długiej serii zer, aby zobaczyć, jak duża jest ta liczba.

Przykłady dużych liczb opisujących codzienne przedmioty w świecie rzeczywistym obejmują:

• Liczba komórek w ludzkim ciele (szacowana na 3,72 × 10 ¹³ )
• Liczba bitów na dysku twardym komputera (stan na 2021 r., zwykle około 10 ¹³ , 1–2  TB )
• Liczba połączeń neuronalnych w mózgu człowieka (szacowana na 10 ¹⁴ )
• Avogadro stała jest liczba „elementarnych jednostek” (zwykle atomy lub cząsteczki) w jednym mol ; liczba atomów w 12 gramach węgla-12  – około6,022 × 10 ²³ .
• Całkowita liczba par zasad DNA w całej biomasie na Ziemi, jako możliwe przybliżenie globalnej bioróżnorodności , szacowana jest na (5,3±3,6)×10 ³⁷
• Masa Ziemi składa się z około 4x10 ⁵¹ nukleonów
• Szacowana liczba atomów w obserwowalnym wszechświecie (10 ⁸⁰ )
• Dolna granica złożoności drzewa gry w szachy, znana również jako „ liczba Shannona ” (szacowana na około 10 ¹²⁰ )

Astronomiczny

Inne duże liczby, jeśli chodzi o długość i czas, można znaleźć w astronomii i kosmologii . Na przykład obecny model Wielkiego Wybuchu sugeruje, że wszechświat ma 13,8 miliarda lat (4,355 × 10 ¹⁷ sekund) i że obserwowalny wszechświat ma 93 miliardy lat świetlnych średnicy (8,8 × 10 ²⁶ metrów) i zawiera około 5 × 10 ²² gwiazdy, zorganizowane w około 125 miliardów (1,25 × 10 ¹¹ ) galaktyk, zgodnie z obserwacjami Kosmicznego Teleskopu Hubble'a. Według przybliżonych szacunków w obserwowalnym wszechświecie jest około 10 ⁸⁰ atomów .

Według Dona Page’a , fizyka z University of Alberta w Kanadzie, najdłuższy skończony czas, jaki do tej pory został jednoznacznie obliczony przez fizyka, to

${\ Displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10 ^ {10 ^ {1.1}}}}} {\ mbox {lat}}}$

co odpowiada skali szacowanego czasu powtarzania się Poincarégo dla stanu kwantowego hipotetycznego pudełka zawierającego czarną dziurę o szacowanej masie całego wszechświata, obserwowalnej lub nie, przy założeniu pewnego modelu inflacyjnego z inflatonem o masie ^10-6 Masy Plancka . Tym razem zakłada się model statystyczny podlegający powtarzalności Poincarégo. Znacznie uproszczony sposób myślenia o tym czasie jest w modelu, w którym historia wszechświata powtarza się arbitralnie wiele razy ze względu na właściwości mechaniki statystycznej ; jest to skala czasowa, kiedy najpierw będzie nieco podobna (dla rozsądnego wyboru „podobnego”) do swojego obecnego stanu.

Procesy kombinatoryczne szybko generują jeszcze większe liczby. Funkcja silnia , która określa liczbę permutacji na zbiorze stałych obiektów, rośnie bardzo szybko wraz z liczbą obiektów. Wzór Stirlinga daje precyzyjny asymptotyczny wyraz tego tempa wzrostu.

Procesy kombinatoryczne generują bardzo duże liczby w mechanice statystycznej. Liczby te są tak duże, że zwykle używa się do nich jedynie logarytmów .

Liczby Gödla i podobne liczby używane do reprezentowania ciągów bitów w algorytmicznej teorii informacji są bardzo duże, nawet w przypadku zdań matematycznych o rozsądnej długości. Jednak niektóre patologiczne liczby są nawet większe niż liczby Gödla typowych twierdzeń matematycznych.

Logik Harvey Friedman wykonała prace związane z bardzo dużych liczb, takich jak z twierdzeniem drzewa Kruskala- za i twierdzenia Robertson-Seymour .

„Miliardy i miliardy”

Aby pomóc widzom Kosmosu odróżnić „miliony” od „miliardów”, astronom Carl Sagan podkreślił „b”. Sagan nigdy jednak nie powiedział „ miliardy i miliardy ”. Publiczna skojarzenie frazy i Sagana pochodzi ze skeczu Tonight Show . Parodiując afekt Sagana, Johnny Carson zażartował „miliardy i miliardy”. Jednak wyrażenie to stało się teraz zabawną, fikcyjną liczbą – Sagan . Por. , Jednostka Sagana .

Przykłady

• googol =${\ Displaystyle 10 ^ {100}}$
• centillion = lub , w zależności od systemu nazewnictwa liczb${\ Displaystyle 10 ^ {303}}$${\ Displaystyle 10 ^ {600}}$
• millinillion = lub , w zależności od systemu nazewnictwa liczb${\ Displaystyle 10 ^ {3003}}$${\ Displaystyle 10 ^ {6000}}$
• Największa znana liczba Smitha = (10 ¹⁰³¹ −1) × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10 ²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10 ^{3 913 210}
• Największa znana liczba pierwsza Mersenne = ( stan na 21 grudnia 2018 r. )${\ Displaystyle 2 ^ {82 589 933} -1}$
• googolplex =${\ Displaystyle 10 ^ {\ tekst {googol}} = 10 ^ {10 ^ {100}}}$
• Liczby skośne : pierwsza to w przybliżeniu , druga${\ Displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {34}}}}$${\ Displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {964}}}}$
• Liczba Grahama , większa niż ta, którą można przedstawić nawet za pomocą wież energetycznych ( tetracja ). Można to jednak przedstawić za pomocą notacji Knutha ze strzałką w górę
• Twierdzenie Kruskala o drzewie to ciąg odnoszący się do grafów. TREE(3) jest większe niż liczba Grahama .
• Liczba Rayo to duża liczba nazwana na cześć Agustína Rayo, która uważana jest za największą z wymienionych liczb. Pierwotnie został zdefiniowany w „pojedynku wielkich liczb” na MIT w dniu 26 stycznia 2007 r.

Standaryzowany system pisania

Znormalizowany sposób pisania bardzo dużych liczb umożliwia ich łatwe sortowanie w kolejności rosnącej i można się zorientować, o ile większa jest liczba od innej.

W celu porównania liczb w notacji naukowej, powiedzmy 5 x 10 ⁴ i 2 x 10 ⁵ , porównaj wykładniki pierwszy, w tym przypadku 5> 4, więc 2 x 10 ⁵ > 5 × 10 ⁴ . Jeśli wykładnikami są równe mantysą (lub współczynnik) powinny być porównane, a tym samym 5 x 10 ⁴ > 2 x 10 ⁴ , ponieważ na 5> 2.

Tetracja o podstawie 10 daje sekwencję , wieże potęgi liczb 10, gdzie oznacza moc funkcjonalną funkcji (funkcja wyrażona również sufiksem „-plex” jak w googolplex, patrz rodzina Googol ). ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow n = 10 \ do n \ do 2 = (10 \ uparrow) ^ {n} 1}$${\ Displaystyle (10 \ uparrow) ^ {n}}$${\ Displaystyle f (n) = 10 ^ {n}}$

Są to bardzo okrągłe liczby, z których każda reprezentuje rząd wielkości w uogólnionym sensie. Prostym sposobem na określenie, jak duża jest liczba, jest określenie, pomiędzy którymi dwoma liczbami w tym ciągu się ona znajduje.

Dokładniej, liczby pomiędzy mogą być wyrażone w postaci , tj. z wieżą potęgową dziesiątek i liczbą u góry, prawdopodobnie w notacji naukowej, np. liczba pomiędzy i (zauważ, że if ). (Zobacz także rozszerzenie tetracji do rzeczywistych wysokości .) ${\ Displaystyle (10 \ uparrow) ^ {n} a}$${\ Displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10 ^ {10 ^ {4.829}}}}} = (10 \ uparrow) ^ {5} 4.829}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 5}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 6}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow n <(10 \ uparrow) ^ {n} a<10 \ uparrow \ uparrow (n + 1)}$${\displaystyle 1<a<10}$

Tak więc googolplex jest ${\ Displaystyle 10 ^ {10 ^ {100}} = (10 \ uparrow) ^ {2} 100 = (10 \ uparrow) ^ {3} 2}$

Inny przykład:

${\ Displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = {\ zacząć {macierz} \ podpaski {2_ {} ^ {2 ^ {{} ^ {\, ^ {. \ ^ {. \, ^ {2} }}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65,536{\mbox{ kopii }}2\end{macierzy}}\około (10\uparrow )^{65,531}(6\razy 10^{19,728 })\ok (10\uparrow )^{65,533}4,3}$(pomiędzy a )${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 65 533}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 65 534}$

Tak więc „rząd wielkości” liczby (na większą skalę niż zwykle zakładana) można scharakteryzować liczbą razy ( n ) trzeba przyjąć , aby otrzymać liczbę od 1 do 10. Tak więc liczba jest między i . Jak wyjaśniono, dokładniejszy opis liczby określa również wartość tej liczby od 1 do 10 lub poprzedniej liczby (logarytmując jeden raz mniej) od 10 do 10 ¹⁰ lub następnej od 0 do 1. ${\displaystyle log_{10}}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow n}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow (n + 1)}$

Zauważ, że

${\ Displaystyle 10 ^ {(10 \ uparrow) ^ {n} x} = (10 \ uparrow) ^ {n} 10 ^ {x}}$

To znaczy , jeśli liczba x jest zbyt duża dla reprezentacji , możemy zwiększyć o jeden wieżę potęgi, zastępując x log ₁₀ x , lub znaleźć x z reprezentacji niższej wieży log ₁₀ całej liczby. Jeśli wieża zasilająca zawierałaby jedną lub więcej liczb różnych od 10, te dwa podejścia prowadziłyby do różnych wyników, co odpowiada faktowi, że przedłużenie wieży energetycznej o 10 na dole nie jest tym samym, co przedłużenie jej o 10 na dole. wierzchołek (ale oczywiście podobne uwagi mają zastosowanie, jeśli cała wieża mocy składa się z kopii o tej samej liczbie, różnej od 10). ${\ Displaystyle (10 \ uparrow) ^ {n} x}$

Jeśli wysokość wieży jest duża, różne reprezentacje dużych liczb można zastosować do samej wysokości. Jeśli wysokość podana jest tylko w przybliżeniu, podanie wartości u góry nie ma sensu, możemy więc skorzystać z notacji z podwójną strzałką, np . . Jeśli wartość po podwójnej strzałce jest bardzo dużą liczbą, powyższe można rekursywnie zastosować do tej wartości. ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow (7,21 \ razy 10 ^ {8})}$

Przykłady:

${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 10 ^ {\, \! 10 ^ {10 ^ {3.81 \ razy 10 ^ {17}}}}}$(pomiędzy a )${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 2}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3}$

${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 10 \ uparrow \ uparrow (10 \ uparrow) ^ {497} (9,73 \ razy 10 ^ {32}) = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {2} (10 \ uparrow) ^ {497}(9,73\razy 10^{32})}$(pomiędzy a )${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 5}$

Podobnie jak powyżej, jeśli wykładnik nie jest dokładnie podany, to podanie wartości po prawej stronie nie ma sensu i zamiast korzystać z notacji potęgowej z , możemy dodać 1 do wykładnika , czyli np . . ${\displaystyle (10\uparrow)}$${\displaystyle (10\uparrow)}$${\ Displaystyle (10\ uparrow \ uparrow )}$${\ Displaystyle (10 \ uparrow \ uparrow ) ^ {3} (2,8 \ razy 10 ^ {12})}$

Jeśli wykładnik jest duży, różne reprezentacje dużych liczb można zastosować do samego wykładnika. Jeśli ten wykładnik nie jest dokładnie podany, to znowu, podanie wartości po prawej stronie nie ma sensu i zamiast używać notacji potęgowej z , możemy użyć operatora potrójnej strzałki, np . . ${\ Displaystyle (10\ uparrow \ uparrow )}$${\ Displaystyle (10\ uparrow \ uparrow )}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow (7,3 \ razy 10 ^ {6})}$

Jeśli prawy argument operatora potrójnej strzałki jest duży, dotyczy go powyższe, więc mamy np. (pomiędzy i ). Można to zrobić rekurencyjnie, więc możemy mieć moc operatora potrójnej strzałki. ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {2} (10 \ uparrow) ^ {497} (9,73 \ razy 10 ^ {32})}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 5}$

Możemy postępować z operatorami o większej liczbie strzałek, napisanymi . ${\ Displaystyle \ uparrow ^ {n}}$

Porównaj tę notację z operatorem hiper i notacją strzałkową Conwaya :

${\ Displaystyle a \ uparrow ^ {n} b}$= ( a → b → n ) = hiper( a ,  n  + 2,  b )

Zaletą pierwszej z nich jest to, że gdy rozpatrujemy ją jako funkcję b , mamy do czynienia z naturalnym zapisem potęg tej funkcji (tak jak przy zapisywaniu strzałek n ): . Na przykład: ${\ Displaystyle (a \ uparrow ^ {n}) ^ {k} b}$

${\ Displaystyle (10\ uparrow ^ {2}) ^ {3}b}$= (10 → ( 10 → ( 10 → b → 2) → 2) → 2)

i tylko w szczególnych przypadkach notacja długiego łańcucha zagnieżdżonego jest redukowana; dla b = 1 otrzymujemy:

${\ Displaystyle 10 \ uparrow ^ {3}3 = (10 \ uparrow ^ {2}) ^ {3}1}$ = ( 10 → 3 → 3 )

Ponieważ b może być również bardzo duże, na ogół zapisujemy liczbę z ciągiem potęg o malejącej wartości n (z dokładnie podanymi wykładnikami całkowitymi ) z liczbą na końcu w zwykłym zapisie naukowym. Za każdym razem, gdy a jest zbyt duże, aby można je było podać dokładnie, wartość of jest zwiększana o 1 i wszystko na prawo od jest przepisywane. ${\ Displaystyle (10 \ uparrow ^ {n}) ^ {k_ {n}}}$${\ Displaystyle {k_ {n}}}$${\ Displaystyle {k_ {n}}}$${\ Displaystyle {k_ {n + 1}}}$${\ Displaystyle ({n + 1}) ^ {k_ {n + 1}}}$

Dla przybliżonego opisu liczb odstępstwa od malejącego rzędu wartości n nie są potrzebne. Na przykład , i . W ten sposób otrzymujemy nieco sprzeczny z intuicją wynik, że liczba x może być tak duża, że ​​w pewnym sensie x i 10 ^x są „prawie równe” (arytmetyka dużych liczb patrz także poniżej). ${\ Displaystyle 10 \ uparrow (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {5} a = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {6} a}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow (10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3) = 10 \ uparrow \ uparrow (10 \ uparrow \ uparrow 10 + 1) \ około 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3}$

Jeśli indeks górny strzałki skierowanej w górę jest duży, różne reprezentacje dużych liczb można zastosować do samego tego indeksu górnego. Jeśli ten indeks górny nie jest dokładnie podany, nie ma sensu podnosić operatora do określonej potęgi ani dostosowywać wartości, na którą działa. Możemy po prostu użyć standardowej wartości po prawej stronie, powiedzmy 10, a wyrażenie sprowadzi się do przybliżonego n . W przypadku takich liczb zaleta korzystania z notacji strzałki skierowanej w górę już nie ma zastosowania i możemy również użyć notacji łańcuchowej. ${\ Displaystyle 10 \ uparrow ^ {n} 10 = (10 \ do 10 \ do n)}$

Powyższe można zastosować rekursywnie dla tego n , więc otrzymujemy notację w indeksie górnym pierwszej strzałki itp., lub mamy zagnieżdżoną notację łańcuchową, np.: ${\ Displaystyle \ uparrow ^ {n}}$

(10 → 10 → (10 → 10 → )) =${\ Displaystyle 3 \ razy 10 ^ {5}}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow ^ {10 \ uparrow ^ {3 \ razy 10 ^ {5}} 10} 10}$

Jeśli liczba poziomów staje się zbyt duża, aby była wygodna, stosuje się notację, w której ta liczba poziomów jest zapisywana jako liczba (jak użycie indeksu górnego strzałki zamiast pisania wielu strzałek). Wprowadzając funkcję = (10 → 10 → n ), te poziomy stają się potęgami funkcjonalnymi f , co pozwala nam na zapisanie liczby w postaci, w której m jest podane dokładnie, a n jest liczbą całkowitą, która może lub nie może być podana dokładnie (na przykład : ). Jeśli n jest duże, możemy użyć dowolnego z powyższych do wyrażenia go. Przycisków "okrągłej" tych numerów to te formy f ^m (1) = (10 → 10 → m → 2). Na przykład,${\ Displaystyle f (n) = 10 \ uparrow ^ {n} 10}$${\ Displaystyle f ^ {m} (n)}$${\ Displaystyle f ^ {2} (3 \ razy 10 ^ {5})}$${\ Displaystyle (10 \ do 10 \ do 3 \ do 2) = 10 \ uparrow ^ {10 \ uparrow ^ {10 ^ {10}} 10} 10}$

Porównaj definicję liczby Grahama: używa liczb 3 zamiast 10 i ma 64 poziomy strzałek oraz liczbę 4 na górze; tak , ale także . ${\ Displaystyle G <3 \ rightarrow 3 \ rightarrow 65 \ rightarrow 2 < (10 \ do 10 \ do 65 \ do 2) = f ^ {65} (1)}$${\ Displaystyle G < f ^ {64} (4) < f ^ {65} (1)}$

Jeśli m in jest zbyt duże, aby podać dokładnie, możemy użyć ustalonego n , np. n = 1, i zastosować powyższe rekurencyjnie do m , tj. liczba poziomów strzałek skierowanych w górę jest sama reprezentowana w notacji strzałki skierowanej w górę z indeksem górnym, itd. Używając notacji mocy funkcjonalnej f daje to wiele poziomów f . Wprowadzając funkcję poziomy te stają się potęgami funkcjonalnymi g , co pozwala nam na zapisanie liczby w postaci, w której m jest podane dokładnie, a n jest liczbą całkowitą, która może lub nie może być podana dokładnie. Mamy (10 ^ 10 → m → 3) = g ^m (1). Jeśli n jest duże, możemy użyć dowolnego z powyższych do jego wyrażenia. Podobnie możemy wprowadzić funkcję h itd. Jeśli potrzebujemy wielu takich funkcji, możemy je lepiej ponumerować zamiast używać za każdym razem nowej litery, np. jako indeksu dolnego, czyli otrzymujemy liczby w postaci, w której k i m są podane dokładnie i n jest liczbą całkowitą, która może być podana dokładnie lub nie. Używając k =1 dla f powyżej, k =2 dla g , itd., mamy (10→10→ n → k ) = . Jeśli n jest duże, możemy użyć dowolnego z powyższych do jego wyrażenia. W ten sposób otrzymujemy zagnieżdżenie form, w których k maleje, a jako argument wewnętrzny ciąg potęg o malejącej wartości n (gdzie wszystkie te liczby są dokładnie liczbami całkowitymi) z na końcu liczbą w zwykłym zapisie naukowym. ${\ Displaystyle f ^ {m} (n)}$${\ Displaystyle g (n) = f ^ {n} (1)}$${\ Displaystyle g ^ {m} (n)}$${\ Displaystyle f_ {k} ^ {m} (n)}$${\ Displaystyle f_ {k} (n) = f_ {k-1} ^ {n} (1)}$${\ Displaystyle {f_ {k}} ^ {m_ {k}}}$${\ Displaystyle (10 \ uparrow ^ {n}) ^ {p_ {n}}}$

Gdy k jest zbyt duże, aby można je było dokładnie podać, odnośną liczbę można wyrazić jako =(10→10→10→ n ) z przybliżonym n . Zauważ, że proces przechodzenia z ciągu =(10→ n ) do ciągu =(10→10→ n ) jest bardzo podobny do przechodzenia z tego ostatniego do ciągu =(10→10→10→ n ): ogólny proces dodawania elementu 10 do łańcucha w notacji łańcucha; ten proces można powtórzyć (patrz także poprzedni rozdział). Numerując kolejne wersje tej funkcji liczbę można opisać za pomocą funkcji , zagnieżdżonych w porządku leksykograficznym z q najbardziej znaczącą liczbą, ale z malejącym porządkiem dla q i dla k ; jako argument wewnętrzny mamy ciąg potęg o malejących wartościach n (gdzie wszystkie te liczby są dokładnie liczbami całkowitymi) z liczbą na końcu w zwykłym zapisie naukowym. ${\ Displaystyle {f_ {n}} (10)}$${\ Displaystyle 10 ^ {n}}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow ^ {n} 10}$${\ Displaystyle {f_ {n}} (10)}$${\ Displaystyle {f_ {qk}} ^ {m_ {qk}}}$${\ Displaystyle (10 \ uparrow ^ {n}) ^ {p_ {n}}}$

W przypadku liczby zbyt dużej do zapisania w notacji Conway'a ze strzałką łańcuchową możemy opisać jej wielkość długością tego łańcucha, na przykład używając tylko elementów 10 w łańcuchu; innymi słowy, określamy jego pozycję w sekwencji 10, 10→10, 10→10→10, .. Jeśli nawet pozycja w sekwencji jest dużą liczbą, możemy w tym celu ponownie zastosować te same techniki.

Przykłady

Liczby wyrażalne w notacji dziesiętnej:

• 2 ² = 4
• 2 ^{2 2} = 2 ↑↑ 3 = 16
• 3 ³ = 27
• 4 ⁴ = 256
• 5 ⁵ = 3125
• 6 ⁶ = 46 656
• ${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}}}$ = 2 ↑↑ 4 = 2 3 = 65 536
• 7 ⁷ = 823 543
• 10 ⁶ = 1 000 000 = 1 milion
• 8 ⁸ = 16 777 216
• 9 ⁹ = 387 420 489
• 10 ⁹ = 1 000 000 000 = 1 miliard
• 10 ¹⁰ = ¹⁰ 000 000 000
• 10 ¹² = 1 000 000 000 000 = 1 bilion
• 3 ^{3 3} = 3 ↑↑ 3 = 7 625 597 484 987 ≈ 7,63 × 10 ¹²
• 10 ¹⁵ = 1 000 000 000 000 000 = 1 milion miliardów = 1 biliard

Liczby wyrażalne w notacji naukowej:

• Przybliżona liczba atomów w obserwowalnym wszechświecie = 10 ⁸⁰ = 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
• googol = 10 ¹⁰⁰ = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
• 4 ^{4 4} = 4 ↑↑ 3 = 2 ⁵¹² ≈ 1,34 × 10 ¹⁵⁴ ≈ (10 ↑) ² 2,2
• Przybliżona liczba tomów Plancka składających się na objętość obserwowalnego wszechświata = 8,5 × 10 ¹⁸⁴
• 5 ^{5 5} = 5 ↑↑ 3 = 5 ³¹²⁵ ≈ 1,91 × 10 ²¹⁸⁴ ≈ (10 ↑) ² 3,3
• ${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}}} = 2 \ uparrow \ uparrow 5 = 2 ^ {65 536} \ około 2,0 \ razy 10 ^ {19,728} \ około (10 \ uparrow) ^{2}4.3}$
• 6 ^{6 6} = 6 ↑↑ 3 ≈ 2,66 × 10 36 ³⁰⁵ ≈ (10 ) ² 4,6
• 7 ^{7 7} = 7 ↑↑ 3 ≈ 3,76 × 10 ^{695 974} ≈ (10 ↑) ² 5,8
• 8 ^{8 8} = 8 ↑↑ 3 ≈ 6,01 × 10 15 ^{151 335} ≈ (10 ) ² 7,2
• ${\ Displaystyle M_ {77 232 917} \ około 4,67 \ razy 10 ^ {23 249 424} \ około 10 ^ {10 ^ {7,37}} = (10 \ uparrow) ^ {2} \ 7,37}$, 50. i od stycznia 2018 r. największa znana premiera Mersenne .
• 9 ^{9 9} = 9 ↑↑ 3 ≈ 4,28 × 10 ^{369 693 099} ≈ (10 ↑) ² 8,6
• 10 ^{10 10} =10 ↑↑ 3 = 10 10 ^{000 000 000} = (10 ↑) ³ 1
• ${\ Displaystyle 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}} = 3 \ uparrow \ uparrow 4 \ około 1,26 \ razy 10 ^ {3,638,334,640,024} \ około (10 \ uparrow) ^ {3}1,10}$

Liczby wyrażalne w notacji (10 ↑) ⁿ k :

• googolplex = ${\ Displaystyle 10 ^ {10 ^ {100}} = (10 \ uparrow) ^ {3}2}$
• ${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}}}} = 2 \ uparrow \ uparrow 6 = 2 ^ {2 ^ {65 536}} \ około 2 ^ {(10 \ uparrow )^{2}4.3}\około 10^{(10\uparrow )^{2}4.3}=(10\uparrow )^{3}4.3}$
• ${\ Displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10}}} = 10 \ uparrow \ uparrow 4 = (10 \ uparrow) ^ {4} 1}$
• ${\ Displaystyle 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}}} = 3 \ uparrow \ uparrow 5 \ około 3 ^ {10 ^ {3,6 \ razy 10 ^ {12}}} \ około (10 \ strzałka w górę )^{4}1.10}$
• ${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}}}}} = 2 \ uparrow \ uparrow 7 \ około (10 \ uparrow) ^ {4}4,3}$
• 10 5 = (10 ) ⁵ 1
• 3 ↑↑ 6 ≈ (10 ) ⁵ 1,10
• 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ) ⁵ 4,3
• 10 6 = (10 ) ⁶ 1
• 10 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ) ¹⁰ 1
• 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65 536 ≈ (10 ↑) ^{65 533} 4,3 jest pomiędzy 10 ↑↑ 65 533 a 10 ↑↑ 65 534

Większe liczby:

• 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ≈ 10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² jest pomiędzy (10 ↑↑) ² 2 a (10 ↑↑) ² 3
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {3}1}$ = ( 10 → 3 → 3 )
• ${\ Displaystyle (10 \ uparrow \ uparrow ) ^ {2} 11}$
• ${\ Displaystyle (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {2} 10 ^ {\, \! 10 ^ {10 ^ {3.81 \ razy 10 ^ {17}}}}}$
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {4}1}$ = ( 10 → 4 → 3 )
• ${\ Displaystyle (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {2} (10 \ uparrow) ^ {497} (9,73 \ razy 10 ^ {32})}$
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 5 = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {5} 1}$ = ( 10 → 5 → 3 )
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 6 = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {6} 1}$ = ( 10 → 6 → 3 )
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 7 = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {7} 1}$ = ( 10 → 7 → 3 )
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 8 = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {8} 1}$ = ( 10 → 8 → 3 )
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 9 = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {9} 1}$ = ( 10 → 9 → 3 )
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 2 = 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 10 = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {10} 1}$ = ( 10 → 2 → 4 ) = ( 10 → 10 → 3 )
• Pierwszy termin w definicji liczby Grahama, g ₁ = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ) jest pomiędzy (10 ) ² 2 a (10 ) ² 3 (Patrz liczba Grahama#Magnitude )
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = (10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow) ^ {3}1}$ = (10 → 3 → 4)
• ${\ Displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4}$ = ( 4 → 4 → 4 ) ${\ Displaystyle \ około (10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow) ^ {2} (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {3}154}$
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = (10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow) ^ {4} 1}$ = ( 10 → 4 → 4 )
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 5 = (10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow) ^ {5} 1}$ = ( 10 → 5 → 4 )
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 6 = (10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow) ^ {6} 1}$ = ( 10 → 6 → 4 )
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 7 = (10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow) ^ {7} 1 =}$ = ( 10 → 7 → 4 )
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 8 = (10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow) ^ {8} 1 =}$ = ( 10 → 8 → 4 )
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 9 = (10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow) ^ {9} 1 =}$ = ( 10 → 9 → 4 )
• ${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 2 = 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 10 = (10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow) ^ {10} 1}$ = (10 → 2 → 5) = (10 → 10 → 4)
• (2 → 3 → 2 → 2) = (2 → 3 → 8)
• (3 → 2 → 2 → 2) = (3 → 2 → 9) = (3 → 3 → 8)
• (10 → 10 → 10) = (10 → 2 → 11)
• (10 → 2 → 2 → 2) = (10 → 2 → 100)
• (10 → 10 → 2 → 2) = (10 → 2 → ) =${\ Displaystyle 10 ^ {10}}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow ^ {10 ^ {10}} 10}$
• Drugi termin w definicji liczby Grahama, g ₂ = 3 ↑ ^{g ₁} 3 > 10 ↑ ^{g ₁ – 1} 10.
• (10 → 10 → 3 → 2) = (10 → 10 → (10 → 10 → )) =${\ Displaystyle 10 ^ {10}}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow ^ {10 \ uparrow ^ {10 ^ {10}} 10} 10}$
• g ₃ = (3 → 3 → g ₂ ) > (10 → 10 → g ₂ – 1) > (10 → 10 → 3 → 2)
• g ₄ = (3 → 3 → g ₃ ) > (10 → 10 → g ₃ – 1) > (10 → 10 → 4 → 2)
• ...
• g ₉ = (3 → 3 → g ₈ ) jest pomiędzy (10 → 10 → 9 → 2) a (10 → 10 → 10 → 2)
• (10 → 10 → 10 → 2)
• g ₁₀ = (3 → 3 → g ₉ ) jest pomiędzy (10 → 10 → 10 → 2) a (10 → 10 → 11 → 2)
• ...
• g ₆₃ = (3 → 3 → g ₆₂ ) jest pomiędzy (10 → 10 → 63 → 2) a (10 → 10 → 64 → 2)
• (10 → 10 → 64 → 2)
• liczba Grahama, g ₆₄
• (10 → 10 → 65 → 2)
• (10 → 10 → 10 → 3 )
• (10 → 10 → 10 → 4)
• (10 → 10 → 10 → 10)
• (10 → 10 → 10 → 10 → 10)
• (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10)
• (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10) gdzie są ( 10 → 10 → 10 ) „10”

Inne zapisy

Kilka notacji dla bardzo dużych liczb:

• Notacja strzałkowa Knutha / hiperoperatory / funkcja Ackermanna , w tym tetracja
• Notacja ze strzałką w łańcuchu Conwaya
• notacja Steinhausa-Mosera ; oprócz metody konstruowania dużych liczb wiąże się to również z zapisem graficznym z wielokątami . Notacje alternatywne, takie jak bardziej konwencjonalna notacja funkcji, mogą być również używane z tymi samymi funkcjami.
• Szybko rosnąca hierarchia
• System matrycy Bashicu

Notacje te są zasadniczo funkcjami zmiennych całkowitych, które rosną bardzo szybko wraz z tymi liczbami całkowitymi. Coraz szybciej zwiększające się funkcje można łatwo skonstruować rekurencyjnie, stosując te funkcje z dużymi liczbami całkowitymi jako argumentem.

Funkcja z asymptotą pionową nie pomaga w zdefiniowaniu bardzo dużej liczby, chociaż funkcja rośnie bardzo szybko: trzeba zdefiniować argument bardzo zbliżony do asymptoty, tj. użyć bardzo małej liczby, i skonstruować go, który jest równoważny konstruowaniu bardzo duża liczba, np. odwrotność.

Porównanie wartości bazowych

Poniższy ilustruje wpływ podstawy innej niż 10, podstawa 100. Ilustruje również reprezentacje liczb i arytmetyki.

${\ Displaystyle 100 ^ {12} = 10 ^ {24}}$, przy podstawie 10 wykładnik jest podwojony.

${\ Displaystyle 100 ^ {100 ^ {12}} = 10 ^ {2 * 10 ^ {24}}}$jw.

${\ Displaystyle 100 ^ {100 ^ {100 ^ {12}}} \ około 10 ^ {10 ^ {2 * 10 ^ {24} + 0,30103}}}$, najwyższy wykładnik jest niewiele więcej niż podwojony (wzrost o log ₁₀ 2).

• ${\ Displaystyle 100 \ uparrow \ uparrow 2 = 10 ^ {200}}$
• ${\ Displaystyle 100 \ uparrow \ uparrow 3 = 10 ^ {2 \ razy 10 ^ {200}}}$
• ${\ Displaystyle 100 \ uparrow \ uparrow 4 = (10 \ uparrow) ^ {2} (2 \ razy 10 ^ {200} + 0,3) = (10 \ uparrow) ^ {2} (2 \ razy 10 ^ {200} )=(10\uparrow )^{3}200.3=(10\uparrow )^{4}2.3}$
• ${\ Displaystyle 100 \ uparrow \ uparrow n = (10 \ uparrow) ^ {n-2} (2 \ razy 10 ^ {200}) = (10 \ uparrow) ^ {n-1} 200,3 = (10 \ uparrow) ^{n}2,3<10\uparrow \uparrow (n+1)}$(więc jeśli n jest duże, wydaje się słuszne stwierdzenie, że jest "w przybliżeniu równe" )${\ Displaystyle 100 \ uparrow \ uparrow n}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow n}$
• ${\ Displaystyle 100 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 2 = (10 \ uparrow) ^ {98} (2 \ razy 10 ^ {200}) = (10 \ uparrow) ^ {100} 2,3}$
• ${\ Displaystyle 100 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 10 \ uparrow \ uparrow (10 \ uparrow ) ^ {98} (2 \ razy 10 ^ {200}) = 10 \ uparrow \ uparrow (10 \ uparrow ) ^ {100 }2.3}$
• ${\ Displaystyle 100 \ uparrow \ uparrow \ uparrow n = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {n-2} (10 \ uparrow) ^ {98} (2 \ razy 10 ^ {200}) = (10 \ uparrow \ uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{100}2.3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$(porównaj ; więc jeśli n jest duże, wydaje się sprawiedliwe stwierdzenie, że jest "w przybliżeniu równe" )${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow n = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {n-2} (10 \ uparrow) ^ {10} 1 <10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow (n + 1)}$${\ Displaystyle 100 \ uparrow \ uparrow \ uparrow n}$${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow n}$
• ${\ Displaystyle 100 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 2 = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {98} (10 \ uparrow) ^ {100} 2,3}$(porównaj )${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 2 = (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {8} (10 \ uparrow) ^ {10} 1}$
• ${\ Displaystyle 100 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {98} (10 \ uparrow) ^ {100} 2,3}$(porównaj )${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {8} (10 \ uparrow) ^ {10} 1}$
• ${\ Displaystyle 100 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow n = (10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow) ^ {n-2} (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {98} (10 \ uparrow) ^ {100} 2,3 }$(porównaj ; jeśli n jest duże, to jest "w przybliżeniu" równe)${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow n = (10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow) ^ {n-2} (10 \ uparrow \ uparrow) ^ {8} (10 \ uparrow) ^ {10} 1 }$

Precyzja

Dla liczby , jedna jednostka zmiany w n zmienia wynik o czynnik 10. W liczbie takiej jak , z wynikiem prawidłowego zaokrąglenia przy użyciu cyfr znaczących 6.2, prawdziwa wartość wykładnika może być o 50 mniejsza lub o 50 większa. Stąd wynik może być czynnikiem zbyt dużym lub zbyt małym. Wydaje się to bardzo słabą dokładnością, ale dla tak dużej liczby może być uznane za sprawiedliwe (duży błąd w dużej liczbie może być „stosunkowo mały”, a zatem akceptowalny). ${\ Displaystyle 10 ^ {n}}$${\ Displaystyle 10 ^ {\, \! 6.2 \ razy 10 ^ {3}}}$${\ Displaystyle 10 ^ {50}}$

W przypadku bardzo dużych liczb

W przypadku aproksymacji bardzo dużej liczby błąd względny może być duży, ale nadal może istnieć sens, w którym chcemy traktować liczby jako „zbliżone do wielkości”. Rozważmy na przykład

${\ Displaystyle 10 ^ {10}}$ oraz ${\ Displaystyle 10 ^ {9}}$

Błąd względny to

${\ Displaystyle 1- {\ Frac {10 ^ {9}} {10 ^ {10}}} = 1 - {\ Frac {1} {10}} = 90 \$

duży błąd względny. Możemy jednak również wziąć pod uwagę błąd względny w logarytmach; w tym przypadku logarytmy (o podstawie 10) wynoszą 10 i 9, więc względny błąd w logarytmach wynosi tylko 10%.

Chodzi o to, że funkcje wykładnicze znacznie powiększają błędy względne – jeśli a i b mają mały błąd względny,

${\ Displaystyle 10 ^ {a}}$ oraz ${\ Displaystyle 10 ^ {b}}$

błąd względny jest większy i

${\ Displaystyle 10 ^ {10 ^ {a}}}$ oraz ${\ Displaystyle 10 ^ {10 ^ {b}}}$

będzie miał jeszcze większy błąd względny. Powstaje zatem pytanie: na jakim poziomie iterowanych logarytmów chcemy porównywać dwie liczby? Jest sens, w którym możemy chcieć rozważyć

${\ Displaystyle 10 ^ {10 ^ {10}}}$ oraz ${\ Displaystyle 10 ^ {10 ^ {9}}}$

być „bliskim wielkości”. Błąd względny między tymi dwiema liczbami jest duży, a błąd względny między ich logarytmami jest nadal duży; jednak względny błąd w ich logarytmach z drugiej iteracji jest niewielki:

${\ Displaystyle \ log _ {10} (\ log _ {10} (10 ^ {10 ^ {10}}})) = 10}$ oraz ${\ Displaystyle \ log _ {10} (\ log _ {10} (10 ^ {10 ^ {9}}})) = 9}$

Takie porównania iterowanych logarytmów są powszechne, np. w analitycznej teorii liczb .

Klasy

Jednym z rozwiązań problemu porównywania dużych liczb jest zdefiniowanie klas liczb, takich jak system opracowany przez Roberta Munafo, który opiera się na różnych „poziomach” percepcji przeciętnego człowieka. Klasa 0 – liczby od zera do sześciu – jest zdefiniowana tak, aby zawierała liczby, które można łatwo poddawać , czyli liczby, które pojawiają się bardzo często w życiu codziennym i są niemal natychmiast porównywalne. Klasa 1 – liczby od 6 do 1 000 000=10⁶ – jest zdefiniowana tak, aby zawierała liczby, których wyrażenia dziesiętne można łatwo podmienić, to znaczy liczby, które można łatwo porównać nie według liczności , ale „na pierwszy rzut oka” rozwinięcie dziesiętne.

Każda klasa po nich jest zdefiniowana w kategoriach iteracji tej potęgi o podstawie 10, aby symulować efekt innej „iteracji” ludzkiej nierozróżnialności. Na przykład klasa 5 jest zdefiniowana jako obejmująca liczby od 10 ^{10 10 10 6} do 10 ^{10 10 10 10 6} , które są liczbami, w których X staje się dla człowieka nie do odróżnienia od X ² (wzięcie iterowanych logarytmów takiego X daje najpierw nierozróżnialność między log( X ) i 2log( X ), po drugie między log(log( X )) i 1+log(log( X )), a na końcu bardzo długie rozwinięcie dziesiętne, którego długość nie może być podmieniona).

Przybliżona arytmetyka

Istnieje kilka ogólnych zasad dotyczących zwykłych operacji arytmetycznych wykonywanych na bardzo dużych liczbach:

• Suma i iloczyn dwóch bardzo dużych liczb są „w przybliżeniu” równe większej.
• ${\ Displaystyle (10 ^ {a}) ^ {\, \! 10 ^ {b}} = 10 ^ {a10 ^ {b}} = 10 ^ {10 ^ {b + \ log _ {10} a}}}$

Stąd:

• Bardzo duża liczba podniesiona do bardzo dużej potęgi jest „w przybliżeniu” równa większej z następujących dwóch wartości: pierwszej wartości i 10 do potęgi drugiej. Na przykład dla bardzo dużego n mamy (patrz np . obliczanie mega ) i także . Zatem , patrz tabela .${\ Displaystyle n ^ {n} \ około 10 ^ {n}}$${\ Displaystyle 2 ^ {n} \ około 10 ^ {n}}$${\ Displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow 65536 \ około 10 \ uparrow \ uparrow 65533}$

Systematyczne tworzenie coraz szybciej narastających sekwencji

Mając ściśle rosnącą sekwencję/funkcję liczb całkowitych ( n ≥1) możemy wytworzyć sekwencję szybciej rosnącą (gdzie indeks górny n oznacza n- ^tą potęgę funkcjonalną ). Można to powtarzać dowolną liczbę razy, pozwalając , aby każda sekwencja rosła znacznie szybciej niż poprzednia. Wtedy moglibyśmy zdefiniować , które rośnie znacznie szybciej niż jakiekolwiek inne dla skończonej k (tu ω jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową , reprezentującą granicę wszystkich skończonych liczb k). Stanowi to podstawę szybko rosnącej hierarchii funkcji, w której indeks dolny indeksowania jest rozszerzany na coraz większe liczby porządkowe. ${\displaystyle f_{0}(n)}$${\ Displaystyle f_ {1} (n) = f_ {0} ^ {n} (n)}$ ${\ Displaystyle f_ {k} (n) = f_ {k-1} ^ {n} (n)}$${\ Displaystyle f_ {\ omega} (n) = f_ {n} (n)}$${\displaystyle f_{k}}$

Na przykład zaczynając od f ₀ ( n ) = n + 1:

• f ₁ ( n ) = f ₀ ⁿ ( n ) = n + n = 2 n
• f ₂ ( n ) = f ₁ ⁿ ( n ) = 2 ⁿ n > (2 ↑) n dla n ≥ 2 (przy użyciu notacji Knutha ze strzałką w górę )
• f ₃ ( n ) = f ₂ ⁿ ( n ) > (2 ↑) ⁿ n ≥ 2 ↑ ² n dla n ≥ 2
• f _{k +1} ( n ) > 2 ↑ ^k n dla n ≥ 2, k < ω
• f _ω ( n ) = f _n ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 2 ↑ ^{n − 2} ( n + 3) − 3 = A ( n , n ) dla n ≥ 2, gdzie A jest funkcją Ackermanna ( z czego f _ω jest wersją jednoargumentową)
• f _ω+1 (64) > f _ω ⁶⁴ (6) > liczba Grahama (= g ₆₄ w ciągu określonym przez g ₀ = 4, g _{k +1} = 3 ↑ ^{g _k} 3)
  • Wynika to z odnotowania f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 3 ↑ ^{n – 2} 3 + 2, stąd f _ω ( g _k + 2) > g _{k +1} + 2
• f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n = (2 → n → n -1) = (2 → n → n -1 → 1) (przy użyciu notacji strzałkowej Conway'a )
• f _ω+1 ( n ) = f _ω ⁿ ( n ) > (2 → n → n -1 → 2) (ponieważ jeśli g _k ( n ) = X → n → k to X → n → k +1 = g _k ⁿ (1))
• f _{ω+ k} ( n ) > (2 → n → n -1 → k +1) > ( n → n → k )
• f _ω2 ( n ) = f _{ω + n} ( n ) > ( n → n → n ) = ( n → n → n → 1)
• f _{ω2+ k} ( n ) > ( n → n → n → k )
• f _ω3 ( n ) > ( n → n → n → n )
• f _{ω k} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Łańcuch k +1 n' s)
• f _{ω ²} ( n ) = f _{ω n} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Łańcuch n +1 n' s)

W niektórych nieobliczalnych sekwencjach

Funkcja zajętego bobra Σ jest przykładem funkcji, która rośnie szybciej niż jakakolwiek funkcja obliczalna . Jego wartość, nawet przy stosunkowo niewielkim nakładzie, jest ogromna. Wartości Σ( n ) dla n = 1, 2, 3, 4 wynoszą 1, 4, 6, 13 (sekwencja A028444 w OEIS ). Σ(5) nie jest znane, ale na pewno ≥ 4098. Σ(6) wynosi co najmniej 3,5×10 ¹⁸²⁶⁷ .

Liczby nieskończone

Chociaż wszystkie omówione powyżej liczby są bardzo duże, wszystkie są nadal zdecydowanie skończone . Niektóre działy matematyki definiują liczby nieskończone i nieskończone . Na przykład, Aleph null jest liczność z nieskończonego zbioru z liczb naturalnych , a alef-jeden to kolejna największa liczba kardynalna. to kardynalność realiów . Twierdzenie znane jako hipoteza kontinuum . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph_{1}}$

Zobacz też

Bibliografia