Relacja asymetryczna - Asymmetric relation

Przechodnie  relacje binarne
Symetryczny Antysymetryczny Połączony Uzasadnione Ma połączenia Spełnia się Zwrotny Bezrefleksyjny Asymetryczny Znany również jako: Razem, Semiconnex Antyrefleksyjny Relacja równoważności Tak ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Tak ✗ ✗ Przedsprzedaż (quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Tak ✗ ✗ Częściowe zamówienie ✗ Tak ✗ ✗ ✗ ✗ Tak ✗ ✗ Całkowite zamówienie w przedsprzedaży ✗ ✗ Tak ✗ ✗ ✗ Tak ✗ ✗ Całkowite zamówienie ✗ Tak Tak ✗ ✗ ✗ Tak ✗ ✗ Zamawianie w przedsprzedaży ✗ ✗ Tak Tak ✗ ✗ Tak ✗ ✗ Dobrze-quasi-zamawiający ✗ ✗ ✗ Tak ✗ ✗ Tak ✗ ✗ Dobrze uporządkowany ✗ Tak Tak Tak ✗ ✗ Tak ✗ ✗ Krata ✗ Tak ✗ ✗ Tak Tak Tak ✗ ✗ Połącz-semilattyka ✗ Tak ✗ ✗ Tak ✗ Tak ✗ ✗ Poznaj-semilattykę ✗ Tak ✗ ✗ ✗ Tak Tak ✗ ✗ Ścisłe zamówienie częściowe ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Tak Tak Ścisłe słabe zamówienie ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Tak Tak Ścisłe całkowite zamówienie ✗ ✗ Tak ✗ ✗ ✗ ✗ Tak Tak Symetryczny Antysymetryczny Połączony Uzasadnione Ma połączenia Spełnia się Zwrotny Bezrefleksyjny Asymetryczny Definicje: ${\displaystyle \scriptstyle {{\tekst{dla wszystkich}}\,a,b\,{\tekst{i}}\,S\neq \varnic :}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {aRb\rightarrow bRa}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {aRb \ {\ tekst {i}} \ bRa \ strzałka w prawo a = b}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {a \ neq b \ strzałka w prawo aRb \ {\ tekst {lub}} \ bRa}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ min S \, {\ tekst {istnieje}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {a\vee b\{\tekst{istnieje}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {a\klin b\,{\tekst {istnieje}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {aRa}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {{\tekst {nie}}\,aRa}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow {\ text {nie}} \ bRa}}$
Wszystkie definicje milcząco wymagają, aby jednorodna relacja była przechodnia : „ ” wskazuje, że właściwość kolumny jest wymagana przez definicję terminu wiersza (po lewej stronie). Na przykład definicja relacji równoważności wymaga, aby była ona symetryczna. Wymieniono tutaj dodatkowe właściwości, które może spełniać relacja jednorodna. ${\ Displaystyle R}$${\displaystyle \scriptstyle {{\tekst{dla wszystkich}}\,a,b,c,{\tekst{jeśli}}aRb{\tekst{i}}bRc{\tekst{następnie}}arc}.}$ Tak

W matematyce , asymetryczna relacja jest binarna relacja na zbiorze gdzie za wszystko , jeśli jest związana z czym się nie związane${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle a,b\w X,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a.}$

Formalna definicja

Binarna relacja na to dowolny podzbiór z Given zapisu wtedy i tylko wtedy , co oznacza, że jest skrótem Wyrażenie jest odczytywany jako „ jest związana przez ” Relacja binarny nazywany jest asymetryczny , jeśli dla wszystkich , jeśli jest prawdziwa, to jest fałszywa; to znaczy, jeśli to Można to zapisać w notacji logiki pierwszego rzędu jako ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X \ razy X.}$${\displaystyle a,b\w X,}$${\displaystyle aRb}$${\ Displaystyle (a, b) \ w R}$${\displaystyle aRb}$${\ Displaystyle (a, b) \ w R.}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle R.}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle a,b\w X,}$${\displaystyle aRb}$${\ Displaystyle bra}$${\ Displaystyle (a, b) \ w R}$${\ Displaystyle (b, a) \ nie \ w R.}$

$${\ Displaystyle \ dla wszystkich a, b \ w X: aRb \ implikuje \ lnot (bRa).}$$

Logicznie równoważna definicja brzmi:

dla wszystkich co najmniej jeden z i jest fałszywy ,${\displaystyle a,b\w X,}$${\displaystyle aRb}$${\ Displaystyle bra}$

które w logice pierwszego rzędu można zapisać jako:

$${\ Displaystyle \ dla wszystkich a, b \ w X: \ nie (ARb \ klin bRa).}$$

Przykładem asymetryczne względem jest „ mniej niż ” stosunek pomiędzy liczbami rzeczywistymi : Jeżeli następnie muszą nie mniej niż The „mniejszy niż lub równy”, względem drugiej strony, nie jest asymetryczna, ponieważ cofania przykładowo produkuje i oba są prawda. Asymetria to nie to samo, co „ niesymetryczne ”: relacja mniej niż lub równo jest przykładem relacji, która nie jest ani symetryczna, ani asymetryczna. Pusty związek jest jedynie związek, którym jest ( próżniowo ), zarówno symetryczne i asymetryczne. ${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle \,\leq,}$${\displaystyle x\leq x}$${\displaystyle x\leq x}$

Nieruchomości

• Relacja jest asymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno antysymetryczna, jak i niezwrotna .
• Ograniczenia i odwrotności relacji asymetrycznych są również asymetryczne. Na przykład, ograniczenie z liczb rzeczywistych dla liczb całkowitych wciąż asymetrycznych odwrotne od jest również asymetryczny.${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \,>\,}$${\displaystyle \,<\,}$
• Przechodnia relacja jest asymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest to irreflexive: jeśli i przechodniości daje sprzeczne irreflexivity.${\displaystyle aRb}$${\displaystyle bra,}$${\displaystyle aRa}$
• W konsekwencji relacja jest przechodnia i asymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ścisłym porządkiem częściowym .
• Nie wszystkie relacje asymetryczne są ścisłymi porządkami cząstkowymi. Przykładem asymetrycznej relacji nieprzechodnich, a nawet antyprzechodnich jest relacja nożyczek z papieru skalnego : jeśli bije, to nie bije, a jeśli bije i bije, to nie bije${\ Displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle X;}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Z.}$
• Relacja asymetryczna nie musi mieć własności connex . Na przykład, surowe podzbiór związek jest asymetryczny, i żaden z zestawów i ścisły podzbiór drugiej. Relacja jest connex wtedy i tylko wtedy, gdy jej dopełnienie jest asymetryczne.${\displaystyle \,\subsetneq \,}$${\ Displaystyle \ {1,2 \}}$${\ Displaystyle \ {3,4\}}$

Zobacz też

• Aksjomatyzacja liczb rzeczywistych Tarskiego – częścią tego jest wymóg asymetryczności nad liczbami rzeczywistymi.${\displaystyle \,<\,}$

Bibliografia