automorfizmem - Automorphism


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

W matematyce , automorfizmem jest izomorfizmem z matematycznego obiektu do siebie. Jest to w pewnym sensie symetrii przedmiotu i sposobu odwzorowania obiektu do siebie zachowując wszystkie jego struktury. Zbiór wszystkich automorfizmów obiektu tworzy grupę , zwaną grupą automorfizmem . Jest luźno rzecz biorąc, grupa symetrii obiektu.

Definicja

W kontekście streszczenie Algebra matematyczny, przedmiot jest algebraiczna struktury , takie jak grupy , pierścień lub przestrzeń wektorową . Automorfizmem jest po prostu bijective homomorfizm obiektu z samym sobą. (Definicja homomorfizmu zależy od rodzaju algebraicznej struktury, patrz, na przykład, grupa homomorfizmu , pierścień homomorfizmu i operatora liniowego ).

Morfizmem tożsamość ( mapowanie tożsamości ) nazywa się trywialne automorfizmem w niektórych kontekstach. Odpowiednio, inne (nie-tożsamości) automorfizmy nazywane są nieszablonowe automorfizmy .

Dokładna definicja automorfizmem zależy od rodzaju obiektu „matematycznym” mowa i co dokładnie, stanowi „izomorfizm” tego obiektu. Najbardziej ogólnym ustawieniem, w którym te słowa mają znaczenie jest streszczenie gałąź matematyki zwanych kategoria teoria . Oferty z kategorii teorii abstrakcyjnych obiektów i morfizmów między tymi obiektami.

W kategorii Teoretycznie automorfizmem jest endomorfizm (tj morfizmem od obiektu do siebie), który jest również izomorfizmem (w kategorycznej tego słowa znaczeniu).

Jest to definicja bardzo abstrakcyjny, ponieważ w teorii kategorii, morfizmami niekoniecznie są funkcje i obiekty niekoniecznie są zestawy. W większości konkretnych ustawieniach, jednak obiekty będą zestawy z jakiejś dodatkowej konstrukcji i morfizmami będzie funkcje konserwujące tej struktury.

grupa automorfizmem

Jeżeli automorfizmy obiektu X tworzą zbiór (zamiast właściwej klasy ), a następnie tworzą one grupę ramach kompozycji z morfizmów . Grupa ta nazywa się grupę automorfizmem z X .

Zamknięcie
Skład z dwóch automorfizmy jest kolejnym automorfizmem.
Łączność
Jest częścią definicji kategorii, skład morfizmów jest łączne.
Tożsamość
Tożsamość jest morfizmem tożsamości od obiektu do siebie, co jest automorfizmem.
odwrotności
Z definicji każdy izomorfizm ma odwrotną, która jest również izomorfizmem, a ponieważ odwrotna jest również endomorfizm tego samego obiektu to automorfizmem.

Grupa automorfizmem obiektu X w kategorii C oznaczamy Aut C ( X ) lub po prostu Aut ( X ), jeśli kategoria to wynika z kontekstu.

Przykłady

Historia

Jednym z najwcześniejszych automorfizmów grupowych (automorfizmem grupy, a nie po prostu grupa automorfizmów punktów) podawano przez irlandzki matematyk William Rowan Hamilton w 1856 roku, w jego icosian rachunku , gdzie odkrył dwa automorfizmem kolejność, w piśmie:

tak, że jest to nowy piąty pierwiastek z jedynki, połączony z byłym korzenia piątym stosunkami doskonałej wzajemności.

Wewnętrzne i zewnętrzne automorfizmy

W niektórych kategoriach, zwłaszcza grupy , pierścieni i algebrach Lie -jest możliwe oddzielenie Automorfizmy na dwa typy, pod nazwą „wewnętrzny” i „zewnętrzny” automorfizmy.

W przypadku grupy, na wewnętrzne automorfizmy są koniugacji według elementów samej grupy. Dla każdego elementu z grupy G , koniugacja poprzez jest operacją φ w  : GG podany przez φ do ( g ) = aga -1 (lub o -1 ga ; użytkowania waha). Można łatwo sprawdzić, czy koniugacji przez jest automorfizmem grupa. Wewnętrzne automorfizmy utworzeniem normalnego podgrupę AUT ( G ), oznaczonego INN ( G ); nazywa się to lemat goursata .

Pozostałe automorfizmy nazywane są automorfizmy zewnętrzne . Grupa iloraz Aut ( G ) / Inn ( G ) jest zazwyczaj oznaczona out ( G ); nieoczywiste elementy są cosets zawierające zewnętrzne Automorfizmy.

Ta sama definicja posiada w każdym unital pierścienia lub Algebra gdzie oznacza dowolny odwracania elementów . Dla algebr Liego definicja jest nieco inna.

Zobacz też

Referencje

  1. ^ PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Automorfizmy". Matematyczne podstawy inżynierii obliczeniowej (Felix Pahl tłumaczenie red.). Skoczek. p. 376. ISBN  3-540-67995-2 .
  2. ^ Yale Paul B. (maj 1966). „Automorfizmów liczbach zespolonych” (PDF) . Mathematics Magazine . 39 (3): 135-141. doi : 10,2307 / 2689301 . JSTOR  2689301 .
  3. ^ Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebry i Spinors (2nd ed.), Cambridge University Press, s. 22-23, ISBN  0-521-00551-5
  4. ^ Handbook Algebra , 3 , Elsevier , 2003, str. 453
  5. ^ Sir William Rowan Hamilton (1856). „Memorandum poszanowaniem nowego systemu pierwiastek z jedynki” (PDF) . Filozoficzne Magazine . 12 : 446.

Linki zewnętrzne