Automorfizm - Automorphism
W matematyce , automorfizmem jest izomorfizmem z matematycznego obiektu do siebie. Jest to w pewnym sensie symetria obiektu i sposób na odwzorowanie obiektu na siebie przy jednoczesnym zachowaniu całej jego struktury. Zestaw wszystkich automorfizmów obiektu tworzy grupę , zwaną grupą automorfizmem . Jest to, mówiąc luźno, grupa symetrii obiektu.
Definicja
W kontekście algebry abstrakcyjnej obiekt matematyczny jest strukturą algebraiczną, taką jak grupa , pierścień lub przestrzeń wektorowa . Automorfizmem jest po prostu bijective homomorfizm obiektu z samym sobą. (Definicja homomorfizmu zależy od rodzaju algebraicznej struktury, patrz, na przykład, grupa homomorfizmu , pierścień homomorfizmu i operatora liniowego ).
Morfizmem tożsamość ( mapowanie tożsamości ) nazywa się trywialne automorfizmem w niektórych kontekstach. Odpowiednio, inne (nietożsamościowe) automorfizmy nazywane są automorfizmami nietrywialnymi .
Dokładna definicja automorfizmu zależy od rodzaju „obiektu matematycznego”, o którym mowa, i od tego, co dokładnie stanowi „izomorfizm” tego obiektu. Najbardziej ogólnym kontekstem, w którym te słowa mają znaczenie, jest abstrakcyjna gałąź matematyki zwana teorią kategorii . Teoria kategorii zajmuje się obiektami abstrakcyjnymi i morfizmami między tymi obiektami.
W teorii kategorii automorfizm jest endomorfizmem (tj. morfizmem od obiektu do samego siebie), który jest również izomorfizmem (w kategorycznym znaczeniu tego słowa, co oznacza, że istnieje prawo- i lewostronny odwrotny endomorfizm).
Jest to bardzo abstrakcyjna definicja, ponieważ w teorii kategorii morfizmy niekoniecznie są funkcjami, a obiekty niekoniecznie są zbiorami. Jednak w większości konkretnych ustawień obiekty będą zbiorami z dodatkową strukturą, a morfizmy będą funkcjami zachowującymi tę strukturę.
Grupa automorfizmu
Jeżeli automorfizmy obiektu X tworzą zbiór (zamiast właściwej klasy ), a następnie tworzą grupę w ramach kompozycji do morfizmów . Grupa ta nazywana jest grupa automorfizmem od X .
- Zamknięcie
- Kolejnym automorfizmem jest złożenie dwóch automorfizmów.
- Łączność
- Częścią definicji kategorii jest to, że kompozycja morfizmów jest asocjacyjna.
- Tożsamość
- Tożsamość to morfizm tożsamości od obiektu do samego siebie, co jest automorfizmem.
- Odwrotne
- Z definicji każdy izomorfizm ma odwrotność, która również jest izomorfizmem, a ponieważ odwrotność jest również endomorfizmem tego samego obiektu, jest to automorfizm.
Grupa automorfizmu obiektu X w kategorii C jest oznaczona jako Aut C ( X ) lub po prostu Aut ( X ), jeśli kategoria jest jasna z kontekstu.
Przykłady
- W teorii mnogości dowolna permutacja elementów zbioru X jest automorfizmem. Grupa automorfizmu X jest również nazywana grupą symetryczną X .
- W elementarnej arytmetyki , zbiór liczb całkowitych , Z , traktowane jako grupa pod Ponadto posiada unikalny nietrywialne automorfizm: negację. Uważany za pierścień ma jednak tylko trywialny automorfizm. Ogólnie rzecz biorąc, negacja jest automorfizmem dowolnej grupy abelowej , ale nie pierścienia czy pola.
- Automorfizm grupowy to izomorfizm grupy z grupy do samej siebie. Nieformalnie jest to permutacja elementów grupy w taki sposób, że struktura pozostaje niezmieniona. Dla każdej grupy G istnieje naturalny homomorfizm grupy G → Aut ( G ), którego obraz jest grupa Inn ( G ) z wewnętrznymi automorfizmy i którego jądro jest centrum z G . Tak więc, jeśli G ma trywialne centrum, może być osadzony we własnej grupie automorfizmu.
- W algebrze liniowej endomorfizmem przestrzeni wektorowej V jest operator liniowy V → V . Automorfizm to odwracalny operator liniowy na V . Gdy przestrzeń wektorowa jest skończenie wymiarowa, grupa automorfizmu V jest taka sama jak ogólna grupa liniowa GL( V ). (Struktura algebraiczna wszystkich endomorfizmów V jest sama w sobie algebrą nad tym samym ciałem podstawowym co V , którego elementy odwracalne składają się dokładnie z GL( V ).)
- Automorfizm pola to bijektywny homomorfizm pierścienia od pola do siebie. W przypadku liczb wymiernych ( Q ) i liczb rzeczywistych ( R ) nie ma nietrywialnych automorfizmów pól. Niektóre podciała R mają nietrywialne automorfizmy pól, które jednak nie rozciągają się na całe R (ponieważ nie mogą zachować własności liczby mającej pierwiastek kwadratowy w R ). W przypadku liczb zespolonych , C , istnieje unikalna nietrywialna automorfizmem który wysyła R do R : złożonej koniugacji , ale istnieje nieskończenie ( uncountably ) wiele „dzikich” automorfizmy (zakładając, że aksjomat wyboru ). Automorfizmy pola są ważne dla teorii rozszerzeń pola , w szczególności rozszerzeń Galois . W przypadku rozszerzenia Galois L / K podgrupy wszystkich automorfizmów L mocujących K punktowo nazywana jest grupą Galois rozszerzenia.
- Grupa automorfizmów kwaternionów ( H ) jako pierścienia to automorfizmy wewnętrzne, zgodnie z twierdzeniem Skolema-Noethera : odwzorowania postaci a ↦ bab −1 . Ta grupa jest izomorficzna z SO(3) , grupą obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.
- Grupa automorfizmu oktonionów ( O ) to wyjątkowa grupa Liego G 2 .
- W teorii wykres automorfizmem wykresu jest permutacją węzłów zabezpieczający je krawędzie i nie-krawędzie. W szczególności, jeśli dwa węzły są połączone krawędzią, to ich obrazy podlegają permutacji.
- W geometrii automorfizm można nazwać ruchem przestrzeni. Stosowana jest również specjalistyczna terminologia:
- W geometrii metrycznej automorfizm jest autoizometrią . Grupa automorfizmu jest również nazywana grupą izometryczną .
- W kategorii powierzchni Riemanna automorfizm to mapa biholomorficzna (zwana również mapą konforemną ), od powierzchni do samej siebie. Na przykład automorfizmy sfery Riemanna to transformacje Möbiusa .
- Automorfizm rozmaitości różniczkowej M jest dyfeomorfizmem od M do siebie samego. Grupa automorfizmu jest czasami oznaczana jako Diff( M ).
- W topologii morfizmy między przestrzeniami topologicznymi nazywane są mapami ciągłymi , a automorfizm przestrzeni topologicznej to homeomorfizm przestrzeni do siebie lub autohomeomorfizm (patrz grupa homeomorfizmów ). W tym przykładzie nie wystarczy, aby morfizm był bijektywny, aby był izomorfizmem.
Historia
Jeden z najwcześniejszych automorfizmów grupowych (automorfizm grupy, a nie tylko grupy automorfizmów punktów) został podany przez irlandzkiego matematyka Williama Rowana Hamiltona w 1856 r. w swoim rachunku ikozjańskim , w którym odkrył automorfizm drugiego rzędu, pisząc:
tak, że jest to nowy piąty pierwiastek z jedynki, połączony z byłym korzenia piątym stosunkami doskonałej wzajemności.
Automorfizmy wewnętrzne i zewnętrzne
W niektórych kategoriach — zwłaszcza grup , pierścieni i algebr Liego — możliwe jest rozdzielenie automorfizmów na dwa typy, zwane automorfizmami „wewnętrznymi” i „zewnętrznymi”.
W przypadku grup automorfizmami wewnętrznymi są koniugacje elementów samej grupy. Dla każdego elementu a grupy G , koniugacja poprzez jest operacją φ w : G → G podaje φ ( g ) = aga -1 (lub -1 ga ; wykorzystanie różna). Można łatwo sprawdzić, czy koniugacja przez a jest automorfizmem grupowym. Wewnętrzne automorfizmy tworzą normalną podgrupę Aut( G ), oznaczoną przez Inn( G ); to się nazywa lemat Goursata .
Inne automorfizmy nazywane są automorfizmami zewnętrznymi . Grupa ilorazowa Aut( G ) / Inn( G ) jest zwykle oznaczana przez Out( G ); nietrywialne elementy to cosets, które zawierają zewnętrzne automorfizmy.
Ta sama definicja obowiązuje w każdym pierścieniu jednostkowym lub algebrze, gdzie a jest dowolnym elementem odwracalnym . W przypadku algebr Liego definicja jest nieco inna.
Zobacz też
- Antyautomorfizm
- Automorfizm (w łamigłówkach Sudoku)
- Charakterystyczna podgrupa
- Pierścień endomorfizmu
- Automorfizm Frobeniusa
- Morfizm
- Automorfizm rzędów (w teorii rzędów ).
- Automorfizm zachowujący relację
- Ułamkowa transformata Fouriera
Bibliografia
- ^ PJ Pahl, R Damrath (2001). „§7.5.5 Automorfizmy” . Matematyczne podstawy inżynierii obliczeniowej (Felix Pahl przekład red.). Skoczek. str. 376. Numer ISBN 3-540-67995-2.
- ^ Yale, Paul B. (maj 1966). „Automorfizmy liczb zespolonych” (PDF) . Magazyn Matematyka . 39 (3): 135–141. doi : 10.2307/2689301 . JSTOR 2689301 .
- ^ Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2nd ed.), Cambridge University Press, s. 22-23, ISBN 0-521-00551-5
- ^ Podręcznik algebry , 3 , Elsevier , 2003, s. 453
- ^ Sir William Rowan Hamilton (1856). „Memorandum respektujące nowy system korzeni jedności” (PDF) . Magazyn Filozoficzny . 12 : 446.