aksjomat - Axiom


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Aksjomat lub postulat jest oświadczenie, że przyjmuje się za prawdziwe , aby służyć jako abonenckich lub punkt wyjścia dla dalszego rozumowania i argumentacji. Słowo to pochodzi od greckiego Axioma ( ἀξίωμα ) „to, co jest uważane godny lub dopasowanie” lub "ten, który wyraża się jako oczywiste.

Termin ma subtelne różnice w definicji stosowane w kontekście różnych kierunków studiów. Zgodnie z definicją zawartą w klasycznej filozofii , aksjomatem jest stwierdzenie, że jest tak oczywiste, czy dobrze ustalone, że zostanie zaakceptowany bez kontrowersji lub pytanie. Jak stosuje się we współczesnej logiki , aksjomatem jest przesłanką lub punktem wyjścia dla rozumowania.

Jak stosuje się w matematyce , termin aksjomat jest używany w dwóch powiązanych ale wyczuwalnymi zmysłów: „aksjomatów logicznych” i „non-aksjomatów logicznych” . Logika aksjomaty zwykle stwierdzenia, które są brane prawdziwe w układ logiki, że określenia (na przykład ( a B ) oznacza ) często widoczne w postaci symbolicznej, a aksjomaty nie logicznych (np + b = b + ) są rzeczywiście istotne twierdzenia o elementach domenie określonej teorii matematycznej (jak arytmetyki ). Przy zastosowaniu w tym drugim znaczeniu, „aksjomat”, „postulat” i „założenie” mogą być używane zamiennie. Ogólnie rzecz biorąc, nie-logiczny aksjomat nie jest oczywista prawda, ale raczej formalne wyrażenie logiczne stosowane w odliczeniu zbudować teorię matematyczną. Aksjomatyzacji system wiedzy jest wykazanie, że żądania mogą pochodzić z małych, dobrze rozumianym zbioru zdań (axioms). Są to zazwyczaj wiele sposobów aksjomatyzacji daną domenę matematycznego.

Wszelkie aksjomat jest stwierdzenie, który służy jako punkt wyjścia, od którego inne stwierdzenia są logicznie pochodzi. Czy to ma sens (a jeśli tak, to co to znaczy) za aksjomat być „prawdziwy” jest przedmiotem debaty w filozofii matematyki .

Etymologia

Słowo aksjomat pochodzi od greckiego słowa ἀξίωμα ( Axioma ), a werbalne rzeczownika od czasownika ἀξιόειν ( axioein ), co oznacza „do uznają za godne”, ale także „wymagają”, który z kolei pochodzi od ἄξιος ( Axios ), co oznacza " będąc w równowadze”, a więc«mający (samo) wartość (as)»,«warta»,«właściwe». Wśród starożytnych greckich filozofów aksjomatem było twierdzenie, które mogłyby być postrzegane jako prawdziwe bez konieczności udowodnienia.

Znaczenie korzeniem słowa postulatu jest „zapotrzebowanie”; na przykład, Euklides domaga się zgodzić, że pewne rzeczy można zrobić, np dowolne dwa punkty mogą być połączone linią prostą, itp

Starożytne geometrzy utrzymuje pewne rozróżnienie aksjomatów i postulatów. Komentując książek Euklidesa, Proklos zauważa, że " Geminus stwierdził, że to [4-ga] Postulat nie należy traktować jako postulat, lecz jako aksjomat, ponieważ nie robi, jak pierwszych trzech postulatów dochodzić możliwość jakiejś budowie lecz wyraża istotną właściwość.” Boecjusz tłumaczone jako „postulat” petitio i nazwał aksjomaty notiones gminach , ale w późniejszych rękopisów takie wykorzystanie nie zawsze ściśle zachowane.

Rozwój historyczny

Wczesne Greków

Logico-dedukcyjne metoda której wnioski (nowa wiedza) wynikają z pomieszczeń (stary wiedzy) poprzez stosowanie argumentów dźwiękowych ( sylogizmy , zasady wnioskowania), został opracowany przez starożytnych Greków, a stała się podstawową zasadą współczesnej matematyki. Tautologie wykluczone, nic nie można wywnioskować, czy nic nie zakłada. Aksjomaty i postulaty są podstawowe założenia danej części dedukcyjnego wiedzy. Są one przyjmowane bez demonstracji. Wszystkie inne twierdzenia ( twierdzenia , jeśli mówimy o matematyce) musi być sprawdzona przy pomocy tych podstawowych założeń. Jednak interpretacja wiedzy matematycznej nie zmieniło od czasów starożytnych do nowoczesnych, a co za tym idzie warunki aksjomat i postulat posiadać nieco inne znaczenie dla obecnego dzień matematyka, niż to miało miejsce do Arystotelesa i Euklidesa .

Starożytni Grecy uznać geometrii jako tylko jeden z wielu nauk i trzymał twierdzenia geometrii na równi z faktami naukowymi. Jako takie, są rozwijane i wykorzystywane metody logiczno-dedukcyjnego jako sposób na uniknięcie błędów i strukturyzacji i przekazywania wiedzy. Arystotelesa analityki posteriori jest ostateczne ekspozycja klasycznego widoku.

Określenie „aksjomat”, w klasycznej terminologii, o których mowa oczywistym założeniu, wspólne dla wielu dziedzin nauki. Dobrym przykładem może być twierdzenie, że

Gdy taka sama ilość pochodzi z równymi, równą ilość wyników.

U podstaw różnych nauk świeckich pewnych dodatkowych hipotez, które zostały przyjęte bez dowodu. Takie hipotezę nazywana postulat . Choć aksjomaty były wspólne dla wielu nauk, postulaty poszczególnych nauki były różne. Ich ważność musiała zostać ustalona poprzez doświadczenia w świecie rzeczywistym. Rzeczywiście, Arystoteles ostrzega, że treść nauki nie może być skutecznie przekazane, jeżeli uczeń ma wątpliwości co do prawdziwości tych postulatów.

Klasyczne podejście jest dobrze zilustrowany przez Euklidesa Elementy , gdzie lista postulatów jest podany (common-sensical fakty geometryczne wyciągnięte z naszego doświadczenia), a następnie na liście „wspólnych pojęć” (bardzo podstawowych i oczywistych twierdzeń).

postulaty
  1. Jest możliwe, aby narysować linię prostą z dowolnym momencie dowolnym innym punkcie.
  2. Jest możliwe, aby przedłużyć odcinek ciągły w obu kierunkach.
  3. Jest możliwe, aby opisać okrąg o dowolnym środku i dowolnym promieniu.
  4. Prawdą jest, że wszystkie kąty są równe między sobą.
  5. ( „ Parallel postulat ”) Prawdą jest, że jeśli linia prosta spada na dwóch prostych dokonać kątów wewnętrznych na tym samym boku mniej niż dwa kąty proste, dwie linie proste, jeśli produkowane w nieskończoność, przecinają się po tej stronie, na której są te kąty mniej niż dwoma kątami prostymi.
wspólne pojęcia
  1. Rzeczy, które są równe tej samej rzeczy są też równe między sobą.
  2. Jeśli równi są dodawane do równych sobie, że całościami są równe.
  3. Jeśli równi z równymi są odejmowane, resztki są równe.
  4. Rzeczy, które pokrywają się ze sobą, są równe między sobą.
  5. Całość jest większa niż część.

nowoczesne osiedle

Lekcja nauczyć matematyki w ciągu ostatnich 150 lat jest to, że jest przydatna do pozbawić znaczenia dala od twierdzeń matematycznych (aksjomaty, postulaty, propozycje , twierdzenia) i definicji. Trzeba przyznać potrzebę prymitywnych wyobrażeń lub pojęć niezdefiniowanych pojęć lub w każdym badaniu. Taka abstrakcja czy formalizacja sprawia, że wiedza matematyczna bardziej ogólnego, zdolny do wielu różnych znaczeń, a więc użyteczne w wielu kontekstach. Alessandro Padoa , Mario Pieri i Giuseppe Peano były pionierami w tym ruchu.

Strukturalistycznych matematyki przechodzi dalej i rozwija teorie i axioms (np teorii pola , teorii grup , topologii , przestrzenie wektorowe ) bez jakiejkolwiek konkretnej aplikacji w pamięci. Rozróżnienie pomiędzy „aksjomat” i „postulat” zniknie. Postulaty Euklidesa są motywowane zyskiem mówiąc, że prowadzą one do wielkiego bogactwa faktów geometrycznych. Prawdziwość tych skomplikowanych faktów spoczywa na przyjęciu podstawowych hipotez. Jednakże, wyrzucając piąty postulat Euklidesa otrzymujemy teorie, które mają znaczenie w szerszym kontekście, hiperbolicznej geometrii na przykład. Musimy po prostu być gotowa użyć etykiety takie jak „linii” i „równolegle” z większą elastycznością. Rozwój geometrii hiperbolicznej nauczał matematyków że postulaty powinny być traktowane jako czysto formalne oświadczenia, a nie jako fakty oparte na doświadczeniu.

Kiedy matematycy zatrudnić polowych aksjomaty, intencje są bardziej abstrakcyjne. Propozycje teorii pola nie dotyczą żadnej jeden konkretny wniosek; matematyk obecnie pracuje w zupełnej abstrakcji. Istnieje wiele przykładów dziedzinach; teoria pola daje poprawnej wiedzy o nich wszystkich.

Nie jest prawdą, że aksjomaty teorii pola są „propozycje, które są uważane za prawdziwe bez dowodu”. Raczej aksjomaty pola są zbiorem ograniczeń. Jeśli dana system dodawania i mnożenia spełnia te ograniczenia, a następnie z nich jest w stanie od razu wiedzieć, wiele dodatkowych informacji na temat tego systemu.

Nowoczesne matematyka formalizuje jego podstaw do takiego stopnia, że teorie matematyczne można uznać obiektów matematycznych, a sama matematyka może być traktowane jako gałąź logiki . Frege , Russell , Poincaré , Hilbert i Gödel są jednymi z kluczowych postaci w tym rozwoju.

We współczesnym rozumieniu, zbiór aksjomatów jest dowolny zbiór formalnie określonych twierdzeń, z których inni oficjalnie podane twierdzenia następują poprzez zastosowanie pewnych ściśle określonych zasad. Z tego punktu widzenia, logika staje się po prostu inny system formalny. Zestaw aksjomatów powinny być spójne ; powinny być niemożliwe do uzyskania sprzeczność z aksjomatu. Zestaw aksjomatów powinny być również zakaz zwolnienia; twierdzenie, że można wywnioskować z innych aksjomatów nie muszą być traktowane jako pewnik.

To było na początku nadzieja współczesnych logików, że różne gałęzie matematyki, być może wszystko matematyki, mogą pochodzić z spójny zbiór podstawowych aksjomatów. Wczesny sukces programu formalistycznej była formalizacja Hilberta od geometrii euklidesowej , a związane wykazanie zgodności tych aksjomatów.

W szerszym kontekście, nie była próba oparcia wszystkich matematyki na Cantora teorii mnogości . Tu powstanie paradoksu Russella i podobnych antynomii naiwnej teorii mnogości podniesiony możliwość, że taki system mógłby okazać się niespójne.

Projekt formalista poniósł decydującą porażkę, kiedy w 1931 roku Gödel pokazał, że jest to możliwe, dla każdego dostatecznie dużego zbioru aksjomatów ( aksjomatów Peano jest , na przykład) do skonstruowania oświadczenie, którego prawda jest niezależna od tego zbioru aksjomatów. Jako następstwo , Gödel udowodnił, że spójność teorii jak Peano arytmetyki jest do udowodnienia twierdzenie w ramach tej teorii.

Uzasadnione jest wierzyć w konsystencji arytmetyki Peano, ponieważ jest realizowane przez system liczb naturalnych , o nieskończonej ale intuicyjnie dostępnego systemu formalnego. Jednak w chwili obecnej nie jest znany sposób wykazania spójności współczesnych aksjomatów Zermelo-Fraenkel dla teorii mnogości. Ponadto, przy użyciu technik zmuszając ( Cohen ) można wykazać, że hipoteza continuum (Cantor) jest niezależne od axioms Zermelo-Fraenkel. Tak więc, nawet to bardzo ogólny zbiór aksjomatów nie mogą być traktowane jako ostatecznego fundamentu matematyki.

Inne nauki

Aksjomaty odgrywają kluczową rolę nie tylko w matematyce, ale również w innych naukach, szczególnie w fizyce teoretycznej . W szczególności, monumentalne dzieło Isaaca Newtona opiera się zasadniczo na Euclid aksjomatów „s, powiększonej o postulat o braku relacji czasoprzestrzeni i fizyki zachodzących w niej w dowolnym momencie.

W 1905 roku, aksjomaty Newtona zostały zastąpione przez te z Albert Einstein „s szczególnej teorii względności , a później przez tych z ogólnej teorii względności .

Inna gazeta Alberta Einsteina i współpracowników (patrz Paradoks EPR ), niemal natychmiast zaprzeczyła Niels Bohr , dotyczyła interpretacji mechaniki kwantowej . Było to w roku 1935. Według Bohra, ta nowa teoria powinna mieć charakter probabilistyczny , natomiast według Einsteina powinno być deterministyczny . Warto zauważyć, że podstawowa teoria kwantowa mechaniczny, czyli zestaw „twierdzeń” uzyskane przez nią, wydawała się być identyczne. Einstein nawet założyć, że byłoby to wystarczające, aby dodać do mechaniki kwantowej „ukrytych zmiennych” do egzekwowania determinizm. Jednak trzydzieści lat później, w 1964 roku, John Bell znaleźć twierdzenie, obejmujących skomplikowane korelacje optycznych (patrz nierówności Bell ), która dała wymiernie różne wyniki przy użyciu aksjomaty Einsteina w porównaniu z wykorzystaniem aksjomatów Bohra. I zajęło około kolejne dwadzieścia lat, aż eksperyment z Alain Aspect dostał wyniki na korzyść aksjomatów Bohra, a nie Einsteina. (Aksjomaty Bohra są po prostu: Teoria powinna być probabilistyczne w sensie interpretacji kopenhaskiej .)

W konsekwencji, nie jest konieczne, aby wyraźnie przytoczyć aksjomaty Einsteina, tym bardziej, że dotyczą one subtelne punkty na „rzeczywistość” i „miejscowości” eksperymentów.

Niezależnie od tego, rola aksjomaty w matematyce iw powyższych nauk jest inna. W matematyce jeden ani „dowodzi”, ani „obala” aksjomat dla zestawu twierdzeń; Chodzi o to po prostu, że w sferze pojęciowej zidentyfikowanego przez aksjomaty, twierdzenia logicznie naśladowania. Natomiast w fizyce porównanie z eksperymentów zawsze ma sens, ponieważ sfałszowany teoria fizyczna wymaga modyfikacji.

logika matematyczna

W dziedzinie logiki matematycznej , wyraźne rozróżnienie pomiędzy dwoma pojęciami: aksjomaty logiczne i nie-logiczne (nieco podobny do starożytnego rozróżnienia między „aksjomatami” i „postulaty” odpowiednio).

Logika aksjomaty

Są pewne wzory w języku formalnym , które są powszechnie ważne , to znaczy, że wzory są spełnione przez każdego przypisania wartości. Zwykle bierze się jako aksjomaty logiczne przynajmniej jakiś minimalny zbiór tautologii, które są wystarczające do udowodnienia wszystkie tautologie w języku; w przypadku logiki kwantyfikatorów są wymagane aksjomaty bardziej logiczne niż to, w celu udowodnienia prawd logicznych , które nie są tautologie w ścisłym tego słowa znaczeniu.

Przykłady

Rachunek zdań

W rachunku zdań jest wspólne podjęcie aksjomaty jako logiczny wszystkie formuły z następujących form, w miarę , i mogą być dowolne wzory języka i gdzie zawarte prymitywne spójniki są tylko „ ” do negacji tego bezpośrednio po zdaniu i „ ” dla WPŁYW od poprzedzającej konsekwencji propozycje:

Każdy z tych wzorców jest schemat aksjomatu , reguła do generowania nieskończoną ilość aksjomatów. Na przykład, jeśli , i są zmienne propositional , wtedy i to zarówno przypadki aksjomatyce schemacie 1, a tym samym są aksjomaty. Można wykazać, że tylko te z trzech schematów aksjomat i modus ponens można udowodnić wszystkich tautologii rachunku zdań. Może być również pokazały, że żadna para z tych schematów są wystarczające do udowodnienia wszystkie tautologie z modus ponens .

Inne schematy Axiom obejmujących takie same lub różne zestawy pierwotnych zdaniotwórczych może alternatywnie być skonstruowana.

Te schematy Axiom są również wykorzystywane w rachunku kwantyfikatorów , ale potrzebne są dodatkowe aksjomaty logiczne zawierać kwantyfikator w rachunku.

logika pierwszego rzędu

Aksjomat równości. Niech będzie język pierwszego rzędu . Dla każdej z tych zmiennych , wzór

jest powszechnie obowiązującej.

Oznacza to, że dla każdej zmiennej symbol wzór można uważać za pewnik. Również w tym przypadku, bo to nie wpaść niejasności i niekończąca się seria „prymitywnych pojęć” albo precyzyjnego pojęcia, co rozumiemy przez (albo, jeśli o to chodzi, „być równy”) musi być ugruntowaną pierwszy, lub czysto formalny i składniowej wykorzystanie symbolu musi być egzekwowane tylko traktując ją jako ciąg i tylko ciąg symboli, logiki matematycznej i rzeczywiście to zrobić.

Innym, bardziej interesującym przykładem schemat aksjomatu , jest tym, co daje nam to, co jest znane jako uniwersalnego instancji :

Schemat aksjomatu Universal instancji. Biorąc pod uwagę formułę w języku pierwszego rzędu , zmienna i wyrażenia , które jest substytucyjne dla w , formuła

jest powszechnie obowiązującej.

Gdzie symbol oznacza wzoru z terminem zastępczym . (Patrz Zmiana zmiennych ). W warunkach nieformalnych, ten przykład pozwala nam stwierdzić, że jeśli wiemy, że pewna własność zachodzi dla każdego i że stoi dla konkretnego obiektu w naszej strukturze, to powinniśmy być w stanie zastrzeżenia . Znowu jesteśmy twierdząc, że formuła jest poprawna , to musimy być w stanie dać „dowód” tego faktu, a właściwie mówiąc, metaproof . Faktycznie, te przykłady są metatheorems naszej teorii logiki matematycznej, ponieważ mamy do czynienia z samym pojęciem dowodu samego. Oprócz tego, możemy również mieć egzystencjalnej generalizacji :

Schemat aksjomatu dla egzystencjalnej generalizacji. Biorąc pod uwagę formułę w języku pierwszego rzędu , zmienna i wyrażenia , które jest substytucyjne w formuła

jest powszechnie obowiązującej.

aksjomaty non-logiczne

Aksjomaty non-logiczne są wzory, które odgrywają rolę założeń teoretycznych specyficzne. Wnioskowania o dwóch różnych konstrukcji, na przykład liczby naturalne i całkowite , może obejmować te same axioms logicznych; nie-logiczne aksjomaty dążyć do uchwycenia tego, co jest szczególnego w danej strukturze (lub zestaw struktur, takich jak grupy ). Zatem zakaz aksjomaty logiczne, w odróżnieniu od aksjomatów logicznych, nie są tautologie . Inna nazwa dla non-logicznej aksjomatu jest postulat .

Niemal każda nowoczesna teoria matematyczna rozpoczyna się od danego zbioru aksjomatów nielogicznych i sądzono, że w zasadzie każda teoria może być axiomatized w ten sposób i sformalizowane w dół do gołego języku formuł logicznych.

Aksjomaty non-logiczne są często po prostu dalej aksjomatów w matematycznej dyskursu . To nie znaczy, że jest on twierdził, że są one prawdziwe w pewnym sensie absolutnym. Na przykład, w niektórych grupach, operacja grupa jest przemienne , a to można twierdzić z wprowadzeniem dodatkowego aksjomatu, ale bez tego aksjomatu możemy zrobić całkiem dobrze rozwijających się (bardziej ogólnie) teorii grup, i możemy nawet podejmować negacja jako aksjomat do badania grup non-przemienne.

Tak więc, aksjomat jest elementarną podstawą do formalnego systemu logicznego , który wraz z reguł wnioskowania zdefiniowania systemu dedukcyjnego .

Przykłady

W tej sekcji przedstawiono przykłady teorii matematycznych, które są opracowane wyłącznie z zestawu axioms nie logicznych (axioms odtąd). Rygorystyczne traktowanie każdy z tych tematów zaczyna się od opisu tych aksjomatów.

Podstawowe teorie, takie jak arytmetyka , analizy rzeczywistej i kompleksowej analizy są często wprowadzono zakaz aksjomatycznie, ale jawnie lub niejawnie jest generalnie założenie, że aksjomaty wykorzystywane są aksjomaty aksjomaty zermelo-fraenkela z wyboru, w skrócie ZFC, czy niektóre bardzo podobny system aksjomatycznej teorii jak Von Neumann-Bernays-Gödla teorii mnogości , a konserwatywne rozszerzenie z ZFC. Czasami nieco silniejsze teorie takie jak Morse-Kelley teorii mnogości i teorii mnogości z silnie liczba nieosiągalna umożliwiającego korzystanie z uniwersum Grothendieck są używane, ale w rzeczywistości większość matematyków w rzeczywistości może okazać się wszystko, czego potrzebują w systemach słabszych niż ZFC, takich jak drugi- zamówić arytmetyki .

Badanie topologii matematyki rozciąga się po zadanej topologii , algebraicznej topologii , topologii różnicowego oraz wszystkie związane z nimi akcesoriów, takich jak teorii homologii , teoretycznie homotopii . Rozwój algebry abstrakcyjnej przyniosła ze sobą teorię grupy , pierścienie , pola i teorii Galois .

Lista ta może zostać rozszerzona na większość dziedzin matematyki, w tym teorii miary , teorii ergodycznej , prawdopodobieństwa , teorii reprezentacji i geometrii różniczkowej .

Arytmetyka

Te aksjomaty Peano są najczęściej używane dzana z pierwszego rzędu arytmetyki . Są zbiorem aksjomatów wystarczająco silne, aby udowodnić wiele ważnych faktów na temat teorii liczb i pozwolili Gödel ustanowić swój słynny drugie twierdzenie niekompletność .

Mamy język gdzie jest stały symbol i jest jednoskładnikowa funkcja oraz następujące aksjomaty:

  1. dla każdego wzoru z jedną zmienną za darmo.

Standardowa konstrukcja jest gdzie jest zbiorem liczb naturalnych, to funkcja następcą i jest naturalnie interpretować jako liczbę 0.

geometria euklidesowa

Prawdopodobnie najstarszy i najbardziej znany, lista aksjomaty są 4 + 1 postulaty Euklidesa o geometrii płaskiej . Aksjomaty są określane jako „4 + 1”, ponieważ prawie dwa tysiąclecia piąta (równoległe) postulat ( „do punktu poza linią jest dokładnie równoległy”) został podejrzewa się pochodzących od cztery. Ostatecznie, piąty postulat Stwierdzono, że niezależnie od cztery. Rzeczywiście, można przypuszczać, że dokładnie jeden równolegle przez punkt poza linia istnieje, albo że istnieje nieskończenie wiele. Ten wybór daje nam dwie alternatywne formy geometrii, w którym wewnętrzne kąty o trójkącie sumują się do dokładnie 180 stopni lub mniej, odpowiednio, i są znane jako euklidesowej i hiperbolicznych geometrii. Jeżeli jeden usuwa również drugi postulat ( „linia może być przedłużony czas”), to geometria eliptyczny powstaje, gdy nie ma równoległymi miejscu poza linią, w którym kąty wewnętrzne trójkąta dodanie do więcej niż 180 stopni ,

prawdziwe analiza

Cele badania są w domenie liczb rzeczywistych . Liczby rzeczywiste są wyjątkowo wybrał (do izomorfizmie ) o właściwościach dziedzinie Dedekind complete uporządkowanego , co oznacza, że każdy zbiór niepusty liczb rzeczywistych z górnej granicy ma co najmniej górną granicę. Jednakże, wyrażając te właściwości jako aksjomatów wymaga użycia logiki drugiego rzędu . Te twierdzenia Löwenheim-Skolem powiedzieć nam, że jeśli ograniczymy się do logiki pierwszego rzędu , każdy system aksjomatów liczb rzeczywistych przyznaje inne modele, w tym obu modeli, które są mniejsze od liczb rzeczywistych i modeli, które są większe. Niektóre z nich są badane w niestandardowym analizy .

Rola w logice matematycznej

Dedukcyjne systemy i kompletność

Dedukcyjne System składa się ze zbioru aksjomatów logicznych, zestaw aksjomatów non-logicznych, oraz zestaw z reguł wnioskowania . Pożądaną właściwością systemu dedukcyjnego jest to, że być kompletna . System jest uważane za kompletne, jeżeli dla wszystkich formuł ,

czyli za każdym stwierdzeniem, że jest to logiczną konsekwencją od tam rzeczywiście istnieje odliczenia tego oświadczenia . To jest czasami wyrażana jako „wszystko, co jest prawdziwe to udowodnić”, ale należy rozumieć, że „prawda” oznacza tutaj „made prawda przez zbiór aksjomatów”, a nie, na przykład, „prawda w zamierzonej interpretacji”. Kompletność twierdzenie Gödla ustanawia kompletność pewnej powszechnie stosowanego rodzaju systemu dedukcyjnego.

Zauważ, że „kompletność” ma inne znaczenie, niż ma to miejsce w ramach pierwszego twierdzenia niezupełności Gödla , w którym stwierdza, że nie rekurencyjny , spójny zestaw non-logicznych aksjomatów w teorii arytmetyki jest kompletny , w tym sensie, że będzie zawsze istnieje arytmetyczną oświadczenie takie, że ani nie można udowodnić z danego zbioru aksjomatów.

Istnieje zatem, z jednej strony, pojęcie kompletności systemu dedukcyjnego , a z drugiej strony, że o kompletności zbioru aksjomatów non-logicznych . Twierdzenie kompletność i twierdzenie niekompletność, pomimo ich nazw, nie wykluczają się wzajemnie.

Dalsza dyskusja

Wczesne matematycy traktować geometrię aksjomatyczną jako model przestrzeni fizycznej , i oczywiście nie może być tylko jeden taki model. Pomysł, że alternatywne systemy matematyczne mogą występować bardzo niepokojące matematyków do 19 wieku i twórców systemów takich jak algebry Boole'a wykonane opracowania wysiłki w celu uzyskania ich od tradycyjnych arytmetycznych. Galois pokazał tuż przed swoją przedwczesną śmiercią, że wysiłki te były w dużej mierze zmarnowany. Ostatecznie, abstrakcyjne podobieństwa między systemami algebraicznych były postrzegane jako ważniejsze niż dane i nowoczesny algebra urodził. W nowoczesnych widzenia aksjomatów może być dowolny zestaw wzorów, o ile nie są one znane jako niespójne.

Zobacz też

Referencje

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne