Aksjomat wyboru - Axiom of choice


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Ilustracja aksjomatu wyboru, każda z S I i X i reprezentowane jako słoik i kolorowym marmurem, odpowiednio
(S I ) jest nieskończona rodzina zestawów indeksowanych przez liczb rzeczywistych R ; to jest, nie jest zbiór S i dla każdej liczby rzeczywistej ı , o małej próbki przedstawionej powyżej. Każdy zestaw zawiera co najmniej jeden, a być nieskończenie wiele, elementy. Aksjomat wyboru pozwala dowolnie wybrać jeden element z każdej serii, tworząc odpowiedni rodzinę elementów ( x ı ) również indeksowe liczb rzeczywistych, a X i wyciągnąć z S ı . W ogóle, zbiory mogą być indeksowane przez dowolny zestaw I , a nie tylko R .

W matematyce , aksjomat wyboru , lub AC , to aksjomat z teorii mnogości równoznaczne z oświadczeniem, że iloczyn kartezjański zbioru niepustych zbiorów jest niepusty . Nieformalnie mówiąc, aksjomat wyboru mówi, że biorąc pod uwagę dowolny zbiór pojemników, każdy zawierający co najmniej jeden obiekt, to jest możliwe, aby dokonać wyboru dokładnie jeden obiekt z każdego pojemnika, nawet jeśli zbiór jest nieskończony . Formalnie, stwierdza, że dla każdego rodzina indeksowana z niepustych ustawia istnieje rodzina indeksowana elementy takie, że dla każdego . Aksjomat wyboru została sformułowana w 1904 roku przez Ernst Zermelo w celu sformalizowania swojego dowodu twierdzenia dobrze zamawiającego .

W wielu przypadkach taki wybór może być wykonane bez odwoływania się do pewnika wyboru; to jest w szczególności w przypadku, gdy liczba zestawów jest skończony, czy reguła wyboru jest dostępna - niektóre wyróżniającą właściwość, że dzieje się trzymać dokładnie jeden element w każdym zestawie. Dobrym przykładem jest zestawy wybrana z liczb naturalnych. Z takich zestawów, można wybierać zawsze najmniejszą liczbę, np {{4,5,6}, {10,12} {1,400,617,8000}} najmniejsze {elementy 4, 10, 1}. W tym przypadku, „wybierz najmniejszą liczbę” to funkcja wyboru . Nawet jeśli nieskończenie wiele zestawów zebrano z liczb naturalnych, to zawsze będzie można wybrać najmniejszy element z każdego zestawu do produkcji zestawu. Oznacza to, że funkcja wyboru stanowi zbiór wybranych elementów. Jednak nie wiadomo, wybór funkcji do gromadzenia wszystkich niepustych podzbiorów liczb rzeczywistych (jeśli istnieje zakaz konstruowalnych Real ). W tym przypadku, aksjomat wyboru musi być wywoływany.

Russell wymyślone analogię: Dla każdego (nawet nieskończonej) poboru pary butów można wybierać lewy buta z każdej pary w celu uzyskania odpowiedniej selekcji; to sprawia, że można bezpośrednio zdefiniować funkcję wyboru. Dla nieskończonego zbioru par skarpet (zakłada się, że ma cechy wyróżniające), nie ma oczywisty sposób, aby funkcja, która wybiera jedną skarpetkę z każdej pary, bez odwoływania się do pewnika wyboru.

Chociaż pierwotnie kontrowersyjne, aksjomat wyboru jest obecnie wykorzystywana bez zastrzeżeń przez większość matematyków, i to jest zawarte w standardowej postaci aksjomatycznej teorii , aksjomaty zermelo-fraenkela z aksjomatu wyboru ( ZFC ). Jeden motywacja dla tego zastosowania jest to, że wiele z ogólnie przyjętymi wyników matematycznych, takich jak Twierdzenie Tichonowa wymagają aksjomat wyboru dla swoich dowodów. Współczesne zestaw teoretycy również studiować aksjomaty, które nie są zgodne z aksjomatu wyboru, takich jak aksjomat determinacji . Aksjomat wyboru jest unikać w niektórych odmian konstrukcyjnych matematyki , choć różne są konstruktywne matematyki w którym aksjomat wyboru jest niejako.

Komunikat

Funkcja wyboru jest funkcją F , zdefiniowana w kolekcji X o niepustych zestawów, takie, że dla każdego zbioru A w X , F ( ) jest elementem . Dzięki tej koncepcji, aksjomat można stwierdzić:

Aksjomat  -  W przypadku każdego zestawu X zestawów niepustych istnieje wybór funkcji F , określonego na X .

Formalnie, może być wyrażona w następujący sposób:

Tak więc zaprzeczeniem aksjomatu wyboru wskazuje, że istnieje zbiór zbiorów niepustych, że nie ma żadnej funkcji wyboru.

Każda funkcja wyboru na zbiorze X o niepustych zbiorów jest elementem iloczyn kartezjański zestawów w X . To nie jest najbardziej ogólna sytuacja iloczyn kartezjański z rodziną zbiorów, gdzie dany zestaw może wystąpić więcej niż jeden raz jako czynnik; Jednakże, można skupić się na elementach takiego produktu, które wybierają tego samego elementu za każdym razem dany zestaw pojawia się jako czynnik, a takie elementy odpowiadają element iloczynu kartezjańskiego wszystkich odrębnych zbiorów w rodzinie. Aksjomat wyboru potwierdza istnienie takich elementów; w związku z tym, co odpowiada:

Biorąc pod uwagę każdy z rodziny niepustych zbiorów, ich iloczyn kartezjański to zbiór niepusty.

Nomenklatura ZF, AC, i ZFC

W tym artykule i innych dyskusji aksjomatu wyboru następujące skróty są wspólne:

  • AC - aksjomatu wyboru.
  • ZF - aksjomaty zermelo-fraenkela pominięciem aksjomatu wyboru.
  • ZFC - aksjomaty zermelo-fraenkela, poszerzona aksjomatu wyboru.

warianty

Istnieje wiele innych równoważnych wypowiedzi aksjomatu wyboru. Są to odpowiednik w tym sensie, że w obecności innych podstawowych aksjomatów teorii mnogości, to implikuje aksjomat wyboru i są regulowane przez nią.

Jedna odmiana unika korzystania z funkcji wyboru przez, w efekcie, zastępując każdą funkcję wyboru z jej zakresu.

Biorąc pod uwagę dowolny zestaw X z parami rozłącznych niż zbiór pusty, istnieje co najmniej jeden zestaw C , który zawiera dokładnie jeden wspólny element z każdym z tych zestawów w X .

Gwarantuje to dla każdej partycji wyznaczonej X istnienie podzbioru C w X , zawierający dokładnie jeden element z każdej strony przegrody.

Innym równoważne aksjomat uważa tylko kolekcje X , które są zasadniczo powersets innych zestawach:

Dla dowolnego zbioru A, zestaw zasilający od A (ze zbioru pustego usunięty) posiada funkcję wyboru.

Autorzy, którzy używają tego sformułowania często mówią o funkcji wyboru na , ale należy pamiętać, że jest to nieco inaczej pojęcie funkcji wyboru. Jej domeną jest PowerSet z A (ze zbioru pustego usunięte), a więc ma sens dla dowolnego zbioru A , natomiast z definicją stosowaną w pozostałej części niniejszego artykułu, domena z funkcją wyboru na zbiór zestawów jest to, że zbieranie i więc ma sens tylko dla zestawów zestawów. Z tym alternatywnym pojęciem funkcji wyboru, aksjomat wyboru można zwięźle określić jako

Każdy zestaw posiada funkcję wyboru.

która jest równoważna

W przypadku każdego zestawu A jest funkcja f , tak że dla każdego podzbioru niepusty B A , F ( B ) mieści się w B .

Negacja aksjomatowi można zatem wyrazić jako:

Istnieje szereg taki sposób, że wszystkie funkcje f (na zestaw bez pustych podgrup A ), to jest B , tak że F ( B ), nie leżą w B .

Ograniczenie do zbiorów skończonych

Oświadczenie aksjomatu wyboru nie precyzuje, czy zbiór niepustych zbiorów jest skończona lub nieskończona, a zatem zakłada, że każdy skończony zbiór z niepustych zbiorów posiada funkcję wyboru. Jednak, że szczególnym przypadkiem jest twierdzeniem z aksjomaty zermelo-fraenkela bez aksjomatu wyboru (ZF); to jest łatwo udowodnione przez indukcji matematycznej . W jeszcze prostszy przypadku zbierania jednym zestawie, funkcja wyboru tylko odpowiada elementu, więc ten przypadek aksjomatu wyboru mówi, że każdy niepusty zbiór ma element; ten posiada trywialnie. Aksjomat wyboru może być postrzegane jako twierdząc uogólnienie tej własności, już oczywiste dla zbiorów skończonych, do dowolnych zbiorów.

Stosowanie

Aż do końca 19 wieku, aksjomat wyboru był często używany w sposób dorozumiany, mimo że nie zostały jeszcze oficjalnie podane. Na przykład, po stwierdzeniu, że zespół X zawiera tylko nie zbiór pusty, matematyka można powiedzieć „daj F (y) jest jednym z członków s dla wszystkich s w X ”. Ogólnie rzecz biorąc, jest to niemożliwe do udowodnienia, że F istnieje bez aksjomatu wyboru, ale to wydaje się być niezauważone aż Zermelo .

Nie każda sytuacja wymaga aksjomat wyboru. Dla zbiorów skończonych X , aksjomat wyboru wynika z pozostałych aksjomatów teorii mnogości. W tym przypadku jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że jeśli mamy kilka (skończoną ilość) pudełka, każdy zawierający co najmniej jedną pozycję, a następnie możemy wybrać dokładnie jeden element z każdego pola. Wyraźnie możemy to zrobić: Zaczynamy w pierwszym polu, wybrać pozycję; przejdź na drugim polu wybierz pozycję; i tak dalej. Liczba skrzynek jest skończony, więc w końcu nasz wybór procedura dobiegnie końca. Rezultatem jest wyraźny wybór funkcji: funkcja, która zajmuje pierwsze pole do pierwszego elementu wybraliśmy, drugie pole do drugiego elementu wybraliśmy, i tak dalej. (Formalny dowód dla wszystkich zbiorów skończonych by stosować zasadę indukcji matematycznej udowodnić „dla każdej liczby naturalnej k , każda rodzina k zbiorów niepustych posiada funkcję wyboru”). Metoda ta nie może być jednak stosowany w celu pokazania, że każda przeliczalna rodzina niepustych zbiorów posiada funkcję wyboru, jak twierdził, przez aksjomat policzalnych wyboru . Jeśli sposób stosuje się do nieskończonego ( X I  : I ∈ω) z niepustych zestawów, funkcja otrzymuje się w każdej z ograniczonym etapie, ale nie jest etapem, w którym funkcja wyboru dla całej rodziny jest skonstruowany i nie " ograniczenie”funkcja wybór może być skonstruowana w ogóle, w ZF bez aksjomatu wyboru.

Przykłady

Charakter poszczególnych zbiorów niepustych w kolekcji może pozwolić na uniknięcie aksjomat wyboru nawet dla niektórych zbiorów nieskończonych. Na przykład załóżmy, że każdy członek kolekcji X jest niepusty podzbiór liczb naturalnych. Każdy taki podzbiór ma najmniejszy element, tak aby określić naszą funkcję wyboru możemy po prostu powiedzieć, że odwzorowuje każdy zestaw do najmniejszego elementu tego zestawu. To daje nam wyraźny wybór elementu z każdego zestawu, i sprawia, że nie jest konieczne, aby zastosować aksjomat wyboru.

Trudność pojawia się, gdy nie ma naturalny wybór elementów z każdego zestawu. Jeśli nie możemy dokonać jednoznacznych wyborów, skąd wiemy, że nasz zbiór istnieje? Na przykład załóżmy, że X jest zbiorem wszystkich niepustych podzbiorów liczb rzeczywistych . Może najpierw staramy się postępować tak, jakby X były skończone. Jeśli staramy się wybrać element z każdego zestawu, a następnie, ponieważ X jest nieskończony, nasza procedura wyboru nigdy nie dobiegnie końca, a co za tym idzie, nigdy nie będzie w stanie wyprodukować funkcję wybór dla wszystkich X . Następny moglibyśmy spróbować określające najmniejszą elementu z każdego zestawu. Ale niektóre podzbiory liczb rzeczywistych nie mają najmniejszych elementów. Na przykład, otwarty przedział (0,1) nie posiada elementu najmniej: jeśli x jest na (0,1), a więc jest x / 2, i x / 2 zawsze ściśle mniejszy niż x . Więc ta próba nie powiedzie się również.

Dodatkowo należy wziąć pod uwagę, na przykład jednostka koło S , a działanie na S przez grupę G obejmującej wymiernych obrotów. Mianowicie, są to obroty kątami, które są racjonalne wielokrotności  Õ . Tutaj G jest policzalny, a S jest niezliczona. Stąd S rozpada się na wiele uncountably orbity pod  G . Używanie Aksjomat wyboru, mogliśmy wybrać jeden punkt z każdej orbicie, uzyskując niezliczona podzbioru X w S. o tej własności, że wszystkie jego przekłada przez G są rozłączne z  X . Zbiór tych przekłada partycje krąg w policzalnych zbiór rozłącznych zbiorów, które są wszystko parami przystające. Od X nie jest mierzalna dla każdej rotacji niezmienny przeliczalnie dodatków skończonej miary na S , znalezienie algorytmu, aby wybrać punkt na każdej orbicie wymaga aksjomat wyboru. Zobacz non-mierzalnym więcej szczegółów.

Dlatego, że jesteśmy w stanie wybrać najmniejsze elementy z podzbiorów liczb naturalnych jest fakt, że liczby naturalne są dobrze uporządkowane : każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych ma unikalną najmniejszą elementu pod naturalnej kolejności. Ktoś może powiedzieć: „Mimo, że zwykle kolejność liczb rzeczywistych nie działa, może to być możliwe, aby znaleźć inną kolejnością liczb rzeczywistych, które jest dobrze zamawiania. Wtedy nasza funkcja wyboru można wybrać najmniejszy element każdego zestawu pod naszym niezwykłym zamówienia.” Problemem staje się wówczas, że konstruowania oraz zamówień, które okazuje się wymagać aksjomat wyboru dla jej istnienia; każdy zbiór można dobrze zorganizowany wtedy i tylko wtedy aksjomat wyboru trzyma.

Krytyka i akceptacja

Dowód wymagające aksjomat wyboru może ustalić istnienie obiektu bez wyraźnego zdefiniowania przedmiotu w języku teorii mnogości. Na przykład, podczas gdy aksjomat wyboru implikuje, że jest dobrze zamawiania z liczb rzeczywistych, istnieją modele teorii mnogości z aksjomatu wyboru, w którym nie dobrze kolejność liczb rzeczywistych jest definiowalny. Podobnie, chociaż podzbiór liczb rzeczywistych nie jest Lebesgue'a mierzalne można udowodnić istnienie stosując aksjomat wyboru, jest zgodna , że taki zestaw jest definiowalny.

Aksjomat wyboru udowadnia istnienie tych niematerialnych (obiekty, które okazały się istnieć, ale których nie można jednoznacznie skonstruowane), które mogą przeszkadzać w niektórych zasad filozoficznych. Ponieważ nie ma kanoniczny dobrze zamawiania wszystkich zbiorów, to konstrukcja, która opiera się na dobrze zamawiającego nie może dawać wynik kanonicznej, nawet jeśli jest pożądany wynik kanoniczny (jak to często bywa w teorii kategorii ). Zostało to wykorzystane jako argument przeciwko zastosowaniu aksjomatu wyboru.

Kolejnym argumentem przeciwko aksjomatu wyboru jest to, że zakłada istnienie obiektów, które mogą wydawać się sprzeczne z intuicją. Jednym z przykładów jest paradoks Banacha-Tarskiego , który mówi, że jest to możliwe, w celu rozłożenia 3-wymiarowe stałe kuli jednostkowej w skończenie wielu elementów i przy użyciu tylko obroty i tłumaczenia, zmontować elementy w dwóch stałych kulek każdy o tej samej objętości co oryginał , Kawałki w tym rozkładzie, skonstruowanej przy użyciu aksjomat wyboru, są non-mierzalne zestawy .

Pomimo tych pozornie paradoksalnych faktów, większość matematyków przyjąć aksjomat wyboru jako ważnej zasadzie za udowodnienie nowe wyniki w matematyce. Debata jest na tyle interesująca, jednak, że uważa się zauważyć podczas twierdzeniem ZFC (ZF powiększonej AC) jest logicznie równoważne (tylko z aksjomatów ZF) do aksjomatu wyboru, a matematycy spojrzeć na wyniki, które wymagają aksjomat wybór być fałszywy, chociaż tego rodzaju odliczenia jest mniej powszechne niż typu, który wymaga aksjomat wyboru, aby mogło być prawdziwe.

Jest możliwe, aby udowodnić wiele twierdzeń używając ani aksjomat wyboru ani negacji; takie stwierdzenia będą prawdziwe w każdym modelu z ZF, niezależnie od prawdziwości lub fałszywości aksjomatu wyboru w danym modelu. Ograniczenie do ZF czyni żadnych roszczeń, które opiera się na obu aksjomatu wyboru lub jego negacja udowodnienia. Na przykład, paradoks Banacha-Tarskiego jest ani udowodnić, ani disprovable od samego ZF: niemożliwe jest skonstruowanie wymaganego rozkładu kuli jednostkowej w ZF, ale także niemożliwe do udowodnienia nie ma takiego rozkładu. Podobnie, wszystkie oświadczenia wymienione poniżej, które wymagają wyboru lub trochę słabszą wersję ich za dowód w ZF są nie do udowodnienia, ale ponieważ każdy jest udowodnić w ZF plus aksjomat wyboru, są modele z ZF, w którym każde zdanie jest prawdziwe. Oświadczenia takie jak paradoks Banacha-Tarskiego można przeformułować w instrukcji warunkowych, na przykład: „Jeśli posiada AC, a następnie rozkładu paradoks Banacha-Tarskiego istnieje.” Takie stwierdzenia są warunkowe udowodnić w ZF gdy oryginalne wypowiedzi są dowodliwe z ZF i aksjomatu wyboru.

W matematyce konstruktywnej

Jak wspomniano powyżej, w ZFC, aksjomat wyboru jest w stanie zapewnić „ nonconstructive dowody ”, w których istnienie obiektu jest okazały, choć bez wyraźnego przykładem jest skonstruowany. ZFC jest jednak jeszcze sformalizowane w logice klasycznej. Aksjomat wyboru został również dokładnie badane w kontekście konstruktywnych matematyki, gdzie zatrudnionych jest logika nieklasycznych. Status aksjomatu wyboru waha się od różnych odmian konstrukcyjnych matematyki.

W rodzaju teorii Martin-Löf i wyższego rzędu Heytinga arytmetyki , odpowiednie zestawienie aksjomatu wyboru jest (w zależności od podejścia) włączone jako aksjomat lub udowodnić jako twierdzenia. Errett biskup twierdził, że aksjomat wyboru było konstruktywnie do przyjęcia, mówiąc:

Funkcja wyboru istnieje w konstruktywnych matematyki, bo wybór jest implikowane przez samego sensu istnienia.

W konstruktywnej teorii mnogości , jednak twierdzenie DIACONESCU za pokazuje, że aksjomat wyboru implikuje Prawo wyłączonego środka (w odróżnieniu od typu teorii Martin-Löf, gdzie nie robi). Stąd Aksjomat wyboru nie jest ogólnie dostępny w konstruktywnej teorii mnogości. Przyczyną tej różnicy jest to, że aksjomat wyboru typu teoretycznie nie ma ekstensjonalności właściwości aksjomatu wyboru w konstruktywnej teorii mnogości robi.

Niektóre wyniki w konstruktywnej teorii mnogości użyć aksjomat wyboru policzalnych czy zasada wyborów zależnych , które nie pociągają za sobą prawo wyłączonego środka w konstruktywnej teorii mnogości. Chociaż aksjomat wyboru policzalnych w szczególności jest powszechnie stosowany w konstruktywnych matematyki, jego zastosowanie również w wątpliwość.

Niezależność

W 1938 roku Kurt Gödel pokazał, że negacja z aksjomatu wyboru nie jest twierdzeniem o ZF o tworzeniu wewnętrznego modelu (The uniwersum konstruowalne ) spełnia ZFC, a tym samym pokazując, że ZFC jest spójny, jeśli sama ZF jest spójna. W 1963 roku Paul Cohen stosować technikę zmuszając , opracowaną w tym celu, aby pokazać, że: zakładając ZF jest spójny, aksjomat samego wyboru nie jest twierdzeniem o ZF konstruując wiele bardziej skomplikowany model, który spełnia ZF¬C (ZF z negacji AC dodany jako aksjomat) i tym samym pokazując, że ZF¬C jest spójna. Razem wyniki te ustalenia, że aksjomat wyboru jest logicznie niezależne od ZF. Założenie, że ZF jest spójna jest nieszkodliwe, ponieważ dodając kolejny aksjomat do systemu już niespójnego nie może pogorszyć sytuację. Ze względu na niezależność, decyzja czy używać aksjomat wyboru (lub jego zaprzeczenie) w dowodzie nie może być wykonana przez odwołanie się do innych aksjomatów teorii mnogości. Decyzja musi być wykonana z innych powodów.

Jednym z argumentów na rzecz dana przy użyciu aksjomat wyboru jest to, że jest wygodny w użyciu, bo to pozwala udowodnić pewne upraszczające propozycje, które inaczej nie mogłyby zostać udowodnione. Wiele twierdzeń, które są możliwe do udowodnienia za pomocą wyboru są eleganckim charakterze ogólnym: każdy ideał w pierścieniu jest zawarty w maksymalnej ideału , każda przestrzeń liniowa ma bazę , a każdy produkt z zwartych jest zwarta. Bez aksjomatu wyboru, te twierdzenia nie mogą posiadać obiektów matematycznych dużej liczności.

Dowód wyniku niepodległościowego pokazuje również, że szeroka klasa sprawozdania matematycznych, w tym wszystkich wypowiedzi, które mogą być sformułowane w języku Peano arytmetyki , to udowodnić w ZF tylko wtedy, gdy są one możliwe do udowodnienia w ZFC. Oświadczenia w tej klasie zawierać oświadczenie, że P = NP The Hipoteza Riemanna , i wiele innych nierozwiązanych problemów matematycznych. Kiedy próbuje się rozwiązywać problemy w tej klasie, nie ma różnicy, czy ZF lub ZFC jest zatrudniony, jeżeli tylko pytanie jest istnienie dowodu. Jest jednak możliwe, że jest krótszy dowód twierdzenia z ZFC niż z ZF.

Aksjomat wyboru nie jest jedynym znaczącym oświadczenie, które jest niezależne od ZF. Na przykład, uogólniona hipoteza continuum (GCH) jest niezależny nie tylko od ZF, ale również niezależne od ZFC. Jednak ZF Plus GCH oznacza AC, dzięki czemu GCH ściśle silniejszy roszczenie niż AC, chociaż obie są niezależne od ZF.

silniejsze aksjomaty

Aksjomat constructibility i uogólniona hipoteza continuum każda implikuje aksjomat wyboru i tak są ściśle silniejsza od niego. W klasie teorii, takich jak Von Neumann-Bernays-Gödla teorii mnogości i Morse-Kelley teorii mnogości istnieje aksjomat zwany aksjomat wyboru globalnej że jest silniejsza niż aksjomatu wyboru dla zestawów, ponieważ odnosi się także do odpowiednich klas. Aksjomat wyboru globalnej wynika z aksjomatu ograniczenia wielkości .

ekwiwalenty

Istnieją ważne stwierdzenia, że zakładając aksjomaty ZF ale ani AC ani ¬AC, są równoważne z aksjomatu wyboru. Najważniejsza z nich to Lemat Kuratowskiego-Zorna i twierdzenie dobrze zamawiania . W rzeczywistości, Zermelo wprowadza aksjomat wyboru w celu sformalizowania swojego dowodu twierdzenia dobrze zamawiającego.

teoria kategorii

Istnieje kilka wyniki w teorii kategorii , które korzystają aksjomat wyboru dla swojego dowodu. Wyniki te mogą być słabsze niż równoważne lub silniejsze niż aksjomatu wyboru, w zależności od siły fundamentów technicznych. Na przykład, jeśli ktoś definiuje kategorie pod względem zbiorów, czyli jak zestawy przedmiotów i morfizmów (zwykle nazywa się mała kategoria ), a nawet lokalnie małe kategorie, których Hom-obiekty są zbiorami, wówczas nie ma kategoria wszystkich zbiorów , a więc trudno jest preparatem kategoria-teoretyczne zastosowanie do wszystkich zestawów. Z drugiej strony, inne fundamentalne opisy teorii kategorii są znacznie silniejsze, a identyczny kategoria-teoretyczny sprawozdanie z wyboru może być silniejszy niż standardowego preparatu, à la teorii klas, o których mowa powyżej.

Przykłady sprawozdania kategorii-teoretyczne, które wymagają wyboru obejmują:

  • Każda mała kategoria posiada szkielet .
  • Jeśli dwie małe kategorie są słabo równoważne, to są one równoważne .
  • Każdy ciągły funktor na małej uzupełniania kategorii, która spełnia warunek określony odpowiedni roztwór ma lewą adjoint (The Freyd adjoint funktor twierdzenie).

słabsze formy

Istnieje kilka słabszych oświadczenia, które nie są równoważne z aksjomatu wyboru, ale są ściśle powiązane. Jednym z przykładów jest zasada wyborów zależnych (DC). Jeszcze słabsze przykładem jest aksjomat policzalnych wyboru (AC ω lub CC), który stwierdza, że istnieje funkcja wyboru dla każdego zbiór przeliczalny z niepustych zbiorów. Te aksjomaty są wystarczające dla wielu dowodów w elementarnej analizy matematycznej , i są zgodne z pewnymi zasadami, takimi jak mierzalności Lebesgue'a wszystkich zestawów liczb rzeczywistych, które są disprovable z pełnej aksjomatu wyboru.

Inny wybór aksjomatów słabszy niż aksjomat wyboru obejmują twierdzenie o ideale pierwszym i aksjomat uniformizacji . Była to równowartość w ZF z istnienia ultrafiltracji zawierającym każdy dany filtr, potwierdzoną Tarskim 1930.

Wyniki wymagające AC (lub słabsze formy), ale słabszy niż

Jednym z najbardziej interesujących aspektów aksjomatu wyboru jest duża liczba miejsc w matematyce, że pojawi. Oto niektóre wypowiedzi, które wymagają aksjomat wyboru w tym sensie, że nie są one możliwe do udowodnienia z ZF, ale są możliwe do udowodnienia z ZFC (ZF powiększonej AC). Równoważnie, te stwierdzenia są prawdziwe we wszystkich modelach ZFC ale fałszywe w niektórych modelach ZF.

Ewentualnie równoważne implikacje AC

Istnieje kilka ważnych historycznie set-teoretyczny sprawozdanie implikowane przez AC, którego równoważność do AC jest otwarty. Zasada podziału, który został sformułowany przed sama AC, był cytowany przez Zermelo jako uzasadnienie wierząc AC. W 1906 roku Russell oświadczył PP za równoważne, ale czy partycji Zasada implikuje AC jest wciąż najstarsza otwartym problemem w teorii mnogości, a odpowiednikami z innych stwierdzeń są podobnie ciężko stare otwarte problemy. W każdym znanym modelem ZF gdzie wybór zawodzi, oświadczenia te nie zbyt, ale nie wiadomo, czy można je trzymać bez wyboru.

  • teoria mnogości
    • zasada podziału jeśli jest surjection od A do B, to jest dawka od B do A. równoważnie każda partycja P zbiorze S jest mniejszy niż lub równy S wielkości.
    • Converse Schröder-Bernstein twierdzenie : jeśli dwa zestawy mają surjections do siebie, że są równoliczny.
    • Słaba zasada podziału: a rozbicie zbioru S nie może być większa niż ściśle S. Jeśli WPP trzyma, to już sugeruje istnienie innych niż zbiór mierzalny. Każdy z trzech poprzednich wypowiedzi to wynika z poprzedniego, ale nie wiadomo, czy któryś z tych skutków mogą być odwrócone.
    • Nie ma nieskończony ciąg maleje kardynałów. Równoważność została conjectured przez Schoenfliesa w 1905 roku.
  • algebra
    • Hahn osadzania twierdzenie : Każdy uporządkowane grupy abelowa G zamówień osadza podgrupę grupy dodatków ℝ omów obdarzoną leksykograficznej tak, aby mógł Ω jest zestaw Archimedesa klas równoważności Ohm. Ta równoważność została conjectured przez Hahn w 1907 roku.

Mocniejsze formy negacji AC

Teraz rozważyć silniejsze formy negacji AC. Na przykład, jeśli mamy skracać przez BP twierdzenie, że każdy zbiór liczb rzeczywistych ma własność baire'a , następnie BP jest silniejsza niż ¬AC, co potwierdza nieistnienie jakiegokolwiek wyboru funkcji może tylko na jednym zestawie niepustych zbiorów. Zauważ, że wzmocniona negacje może być kompatybilny z osłabionych form AC. Na przykład, ZF + DC + BP jest spójny, jeśli ZF jest.

Jest to również zgodne z ZF + DC, że każdy zbiór liczb rzeczywistych jest Lebesgue'a mierzalne ; Jednak wynik ten konsystencja, z powodu Robert M. Solovay , nie może być udowodnione w samej ZFC, ale wymaga łagodnego duże liczby kardynalne założenia (istnienia liczba nieosiągalna ). Znacznie silniejszy aksjomat determinacji , lub AD, zakłada, że każdy zbiór liczb rzeczywistych jest Lebesgue'a mierzalne, ma własność baire'a i ma doskonałe właściwości zestaw (wszystkie trzy z tych wyników są obalone przez samą AC). ZF + DC + AD jest spójny pod warunkiem, że wystarczająco silny duży kardynał aksjomat jest spójna (istnienie nieskończenie wielu kardynałów Woodin ).

System Quine'a teorii aksjomatycznej, „Nowe Fundamenty” (NF), bierze swoją nazwę od tytułu ( „Nowe podstawy dla Logika matematyczna”) z 1937 roku artykule, który je wprowadzono. W systemie aksjomatyczną NF, aksjomat wyboru może zostać obalone.

Sprawozdanie zgodne z negacji AC

Istnieją modele aksjomaty zermelo-fraenkela w którym aksjomat wyboru jest fałszywa. będziemy skracać „aksjomaty zermelo-fraenkela plus zaprzeczenie aksjomatu wyboru” przez ZF¬C. W przypadku niektórych modeli ZF¬C, możliwe jest do udowodnienia negację niektórych standardowych faktów. Należy pamiętać, że każdy model ZF¬C jest również model ZF, więc dla każdego z poniższych stwierdzeń, istnieje model ZF, w którym to stwierdzenie jest prawdziwe. Dla każdego z poniższych stwierdzeń, istnieje jakiś model ZF¬C gdzie jest prawdziwe:

  • W niektórych modelach, jest zestaw, który może być podzielony na surowo więcej klas równoważności niż oryginalny zestaw zawiera elementy, a funkcją, której domeną jest ściśle mniejszy niż jego zakresu. W rzeczywistości, to jest w przypadku wszystkich znanych modeli.
  • Jest to funkcja F z liczb rzeczywistych na liczbach rzeczywistych tak, że F nie jest ciągła w , a f jest kolejno ciągły w , to jest dla każdej sekwencji { x n } konwergencję LIM n f ( x n ) = f (a).
  • W niektórych modelach istnieje nieskończony zbiór liczb rzeczywistych bez przeliczalnie nieskończony podzbiór.
  • W niektórych modelach, liczby rzeczywiste są przeliczalne unia zbiór przeliczalny.
  • W niektórych modelach istnieje pole bez algebraicznych zamknięcia.
  • We wszystkich modelach ZF¬C jest przestrzeń wektor bez podstawy.
  • W niektórych modelach, w której znajduje się przestrzeń wektor z dwóch baz różnych cardinalities.
  • W niektórych modelach istnieje wolna pełna Boole'a na przeliczalnie wielu generatorów.
  • W niektórych modelach jest to zestaw, który nie może być liniowo uporządkowane .

O dowody, zobacz Jech (2008) .

Aksjomat wyboru w teorii typów

W teorii typów , inny rodzaj rachunku jest znany jako pewnika wyboru. Ta forma zaczyna się w dwa typy, Ď i τ i stosunku R pomiędzy obiektami typu Ď i obiektów typu τ. Aksjomat wyboru, że jeśli dla każdego x typu σ istnieje Y typu τ takie, że R ( x , y ), a następnie jest funkcja F z przedmiotów rodzaju Ď obiektów typu τ takie, że R ( x , f ( x )) odnosi się do wszystkich x typu Ď:

W przeciwieństwie do teorii zbiorów, Aksjomat wyboru teorii typu jest zwykle przedstawiane jako schemat aksjomatyce , w którym R zmienia się w stosunku do wszystkich lub wzorów w stosunku do wszystkich receptur określonej postaci logicznej.

cytaty

Aksjomat wyboru jest oczywiście prawda, zasada dobrego uporządkowania oczywiście fałszywe, a kto może powiedzieć o Zorna lematu ?

To jest żart: chociaż trzy są matematycznie równoważne wielu matematyków znaleźć aksjomat wyboru być intuicyjny, zasada dobrze zamawiania być sprzeczne z intuicją, a Lemat Kuratowskiego-Zorna być zbyt skomplikowane dla każdej intuicji.

Aksjomatu wyboru należy wybrać zestaw z nieskończonej liczby par skarpetek, ale nie nieskończoną liczbę par butów.

Obserwacja jest to, że można zdefiniować funkcję, aby wybrać spośród nieskończonej liczby par butów, stwierdzając na przykład, aby wybrać lewy but. Bez aksjomatu wyboru, nie można twierdzić, że taka funkcja istnieje dla par skarpetek, ponieważ lewy i prawy skarpety są (prawdopodobnie) nie do odróżnienia.

Tarski próbowała publikować swoje twierdzenie [równoważność między AC i „każdy nieskończony zbiór ma taką samą liczność jako A  ×  A ”, patrz wyżej] w Comptes Rendus , ale Fréchet i Lebesgue'a chciał go przedstawić. Fréchet napisał, że implikacja pomiędzy dwoma znanymi [true] tez nie jest nowy wynik, a Lebesgue'a napisał, że implikacja dwóch fałszywych twierdzeń nie ma zainteresowania.

Matematyk polski-American Jan Mycielski dotyczy tę anegdotę w 2006 roku artykuł w zawiadomieniach o AMS.

Aksjomat dostaje swoją nazwę nie dlatego matematycy wolę je do innych aksjomatów.

Ten cytat pochodzi ze słynnej aprilis artykule w rekonstrukcje komputerowe kolumnie Scientific American , kwiecień 1989 r.

Uwagi

Referencje

Przetłumaczony na: Jean van Heijenoort 2002. Od Frege do Gödel: źródło książkę w Mathematical Logic, 1879-1931 . Nowa edycja. Harvard University Press . ISBN  0-674-32449-8
  • 1904. „Dowód, że każdy zbiór można dobrze zorganizowany” 139-41.
  • 1908. „Badania u podstaw teorii mnogości ja”, 199-215.

Linki zewnętrzne