Aksjomat constructibility - Axiom of constructibility

Aksjomat constructibility jest możliwe aksjomat dla teorii mnogości w matematyce, która twierdzi, że każdy zestaw jest constructible . Aksjomat jest zazwyczaj tworzona jako V = L , gdzie V i L oznaczają Neumanna świat i konstruowalnych świat , odpowiednio. Aksjomat, najpierw zbadane przez Kurt Gödel , jest sprzeczna z tezą, że zera ostry istnieje i silniejsze aksjomaty duży kardynalne (patrz wykaz dużych właściwościach kardynalnych ). Uogólnienia tego aksjomatu są badane w wewnętrznej teorii modeli .

implikacje

Aksjomat constructibility implikuje aksjomat wyboru ponad aksjomaty zermelo-fraenkela . Rozstrzyga też wiele naturalnych pytań matematycznych, które są niezależne od aksjomaty zermelo-fraenkela z aksjomatu wyboru (ZFC); na przykład aksjomat constructibility implikuje uogólnionej hipotezy continuum , zaprzeczenie hipotezy Suslin za i istnienie analitycznej (w rzeczywistości ) bez mierzalnego zbioru liczb rzeczywistych, z których wszystkie są niezależne od ZFC. ${\ Displaystyle \ Delta _ {2} ^ {1}}$

Aksjomat constructibility zakłada nieistnienie tych dużych kardynałów z wytrzymałości konsystencja większa lub równa 0 , który obejmuje kilka „małych” stosunkowo duże kardynałów. Tak więc, nie można Cardinal omów ₁ - Erdősa w L . Podczas gdy L nie zawiera początkowe porządkowych tych dużych Cardinals (jeśli występują one w supermodelką w L ), i są one wciąż początkowe porządkowe w L , wyklucza struktur pomocniczych (np ŚRODKI ), które wyposażyć te kardynałów z dużymi właściwości strony świata.

Chociaż aksjomat constructibility ma rozwiązać wiele pytań set-teoretyczny, nie jest zazwyczaj akceptowane jako aksjomat dla teorii mnogości w taki sam sposób jak aksjomatów ZFC. Wśród teoretyków ustawionych w realistycznej ugięte, którzy wierzą, że aksjomat constructibility jest albo prawdziwe, albo fałszywe, większość uważa, że to fałsz. Jest to po części dlatego, że wydaje się niepotrzebnie „restrykcyjne”, gdyż pozwala tylko niektórych podzbiorów danego zbioru, bez wyraźnego powodu, aby sądzić, że są to wszystkie z nich. Po części dlatego, że jest to aksjomat jest sprzeczne wystarczająco silnych dużych aksjomatów kardynalnych . Ten punkt widzenia jest szczególnie związany z Cabal lub „szkoły California” jako Saharon Shelah by ją mieć.

Znaczenie

Głównym znaczenie aksjomatu constructibility jest Kurt Gödel dowód „s względnej spójności z aksjomatu wyboru i uogólnionej hipotezy continuum do Von Neumann-Bernays-Gödla teorii mnogości . (Dowód przenosi się do aksjomaty zermelo-fraenkela , która staje się coraz bardziej powszechne w ostatnich latach).

Mianowicie Gödel udowodnił, że jest stosunkowo spójne, (czyli zestaw teoria byłaby niezgodna jeśli mogłoby się okazać ,) oraz że ${\ Displaystyle V = l}$ ${\ Displaystyle V \ L} Neq$

{\ Displaystyle V = L \ implikuje AC \ GCH gruntów,}

ustanawiając tym samym, że AC i GCH są również stosunkowo spójne.

Dowód Gödla został uzupełniony w latach późniejszych przez Paul Cohen wyniku jest, że zarówno AC i GCH są niezależne , tzn że negacje tych aksjomatów ( i ) są również stosunkowo spójny do ZF teorii mnogości. ${\ Displaystyle \ lnot AC}$ ${\ Displaystyle \ lnot GCH}$