Aksjomat wyboru zależnego - Axiom of dependent choice
W matematyce The zasada wyborów zależnych , oznaczona jest słaba forma pewnik wyboru ( ), która jest nadal wystarczający do wywołania większość analizy rzeczywistej . Został wprowadzony przez Paula Bernaysa w artykule z 1942 roku, który bada, które aksjomaty teorii mnogości są potrzebne do opracowania analizy.
Formalne oświadczenie
Jednorodny binarna relacja na nazywa się cały , gdy dla każdego istnieje jakiś taki, że jest to prawda.
Aksjomat wyboru zależnego można sformułować następująco: Dla każdego niepustego zbioru i każdej relacji binarnej całej sprawie istnieje sekwencji w taki sposób, że
- dla wszystkich
Jeżeli powyższy zbiór jest ograniczony do zbioru wszystkich liczb rzeczywistych , to otrzymany aksjomat jest oznaczony przez
Posługiwać się
Nawet bez takiego aksjomatu, dla każdego można użyć zwykłej indukcji matematycznej do utworzenia pierwszych wyrazów takiego ciągu. Aksjomat wyboru zależnego mówi, że możemy w ten sposób utworzyć cały (przeliczalnie nieskończony) ciąg.
Aksjomat jest fragmentem tego, który jest wymagany do wykazania istnienia ciągu konstruowanego przez pozaskończoną rekurencję o policzalnej długości, jeśli na każdym kroku konieczne jest dokonanie wyboru i jeśli niektórych z tych wyborów nie można dokonać niezależnie od wyborów poprzednich.
Równoważne oświadczenia
Ponad aksjomaty zermelo-fraenkela , jest równoznaczne z twierdzenie baire'a na przestrzeń zupełna.
Jest to również równoważne nad do twierdzenia Löwenheim-Skolem .
jest również równoznaczne ze stwierdzeniem, że każde przycięte drzewo z poziomami ma gałąź ( dowód poniżej ).
Ponadto jest odpowiednikiem osłabionej formy lematu Zorna ; w szczególności jest równoważne stwierdzeniu, że każdy częściowy porządek taki, że każdy dobrze uporządkowany łańcuch jest skończony i ograniczony, musi mieć element maksymalny.
Dowód na to, że każde przycięte drzewo z ω poziomami ma gałąź |
---|
Niech będzie cała relacja binarna na . Strategia jest zdefiniowanie drzewo na sekwencji sąsiednich elementów skończonych, których zaspokojenie Następnie przez oddział jest nieskończona sekwencja którego sąsiednie elementy spełniają najpierw określić , czy dla Ponieważ jest cała, jest przycinana drzewo z poziomów. Zatem ma gałąź So, dla wszystkiego, co implikuje Dlatego, jest prawdziwe.
Niech będzie przycięte drzewo z poziomami. Strategia polega na zdefiniowaniu relacji binarnej na tak, że tworzy sekwencję, gdzie i jest ściśle rosnącą funkcją. Wtedy nieskończona sekwencja jest gałęzią. (Ten dowód musi to udowodnić tylko dla ) Zacznij od zdefiniowania, czy jest początkowym podciągiem, a ponieważ jest przyciętym drzewem z poziomami, jest całością. W związku z tym sugeruje, że istnieje nieskończona sekwencja taka, że Teraz dla niektórych Niech będzie ostatnim elementem Wtedy Dla wszystkich, do których należy sekwencja, ponieważ jest początkowym podciągiem lub jest Dlatego jest gałęzią. |
Związek z innymi aksjomatami
W przeciwieństwie do full , nie wystarcza do udowodnienia ( zakładając ), że istnieje zbiór liczb rzeczywistych niemierzalny lub że istnieje zbiór liczb rzeczywistych bez własności Baire'a lub bez własności zbioru doskonałego . Wynika to z tego, że model Solovay spełnia , a każdy zbiór liczb rzeczywistych w tym modelu jest mierzalny przez Lebesgue'a, ma własność Baire'a i ma własność zbioru doskonałego.
Aksjomat wyboru zależnego implikuje aksjomat wyboru policzalnego i jest ściśle silniejszy.
Uwagi
Bibliografia
- Jech, Tomasz (2003). Teoria mnogości (red. trzecie tysiąclecie). Springer-Verlag . Numer ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965 . Zbl 1007.03002 .