Aksjomat wyboru zależnego - Axiom of dependent choice

W matematyce The zasada wyborów zależnych , oznaczona jest słaba forma pewnik wyboru ( ), która jest nadal wystarczający do wywołania większość analizy rzeczywistej . Został wprowadzony przez Paula Bernaysa w artykule z 1942 roku, który bada, które aksjomaty teorii mnogości są potrzebne do opracowania analizy.

Formalne oświadczenie

Jednorodny binarna relacja na nazywa się cały , gdy dla każdego istnieje jakiś taki, że jest to prawda.

Aksjomat wyboru zależnego można sformułować następująco: Dla każdego niepustego zbioru i każdej relacji binarnej całej sprawie istnieje sekwencji w taki sposób, że

dla wszystkich

Jeżeli powyższy zbiór jest ograniczony do zbioru wszystkich liczb rzeczywistych , to otrzymany aksjomat jest oznaczony przez

Posługiwać się

Nawet bez takiego aksjomatu, dla każdego można użyć zwykłej indukcji matematycznej do utworzenia pierwszych wyrazów takiego ciągu. Aksjomat wyboru zależnego mówi, że możemy w ten sposób utworzyć cały (przeliczalnie nieskończony) ciąg.

Aksjomat jest fragmentem tego, który jest wymagany do wykazania istnienia ciągu konstruowanego przez pozaskończoną rekurencję o policzalnej długości, jeśli na każdym kroku konieczne jest dokonanie wyboru i jeśli niektórych z tych wyborów nie można dokonać niezależnie od wyborów poprzednich.

Równoważne oświadczenia

Ponad aksjomaty zermelo-fraenkela , jest równoznaczne z twierdzenie baire'a na przestrzeń zupełna.

Jest to również równoważne nad do twierdzenia Löwenheim-Skolem .

jest również równoznaczne ze stwierdzeniem, że każde przycięte drzewo z poziomami ma gałąź ( dowód poniżej ).

Ponadto jest odpowiednikiem osłabionej formy lematu Zorna ; w szczególności jest równoważne stwierdzeniu, że każdy częściowy porządek taki, że każdy dobrze uporządkowany łańcuch jest skończony i ograniczony, musi mieć element maksymalny.

Związek z innymi aksjomatami

W przeciwieństwie do full , nie wystarcza do udowodnienia ( zakładając ), że istnieje zbiór liczb rzeczywistych niemierzalny lub że istnieje zbiór liczb rzeczywistych bez własności Baire'a lub bez własności zbioru doskonałego . Wynika to z tego, że model Solovay spełnia , a każdy zbiór liczb rzeczywistych w tym modelu jest mierzalny przez Lebesgue'a, ma własność Baire'a i ma własność zbioru doskonałego.

Aksjomat wyboru zależnego implikuje aksjomat wyboru policzalnego i jest ściśle silniejszy.

Uwagi

Bibliografia