Aksjomat determinacji - Axiom of determinacy

W matematyce , aksjomat determinacji (w skrócie AD ) jest możliwe aksjomat dla teorii mnogości wprowadzony przez Jana Mycielskiego i Hugo Steinhaus w 1962. To odnosi się do pewnych dwuosobowych topologicznych gier o długości Ohm . AD stwierdza, że ​​każda gra określonego typu jest określona ; to znaczy, że jeden z dwóch graczy ma zwycięską strategię .

Motywowali AD przez jej interesujące konsekwencje i zasugerowali, że AD może być prawdziwe w najmniejszym modelu naturalnym L(R) teorii mnogości, który akceptuje tylko słabą formę aksjomatu wyboru (AC), ale zawiera wszystkie rzeczywiste i wszystkie porządkowe numery . Pewne konsekwencje AD wynikały z twierdzeń udowodnionych wcześniej przez Stefana Banacha i Stanisława Mazura oraz Mortona Davisa . Mycielski i Stanisław Świerczkowski wnieśli kolejny: AD implikuje, że wszystkie zbiory liczb rzeczywistych są mierzalne według Lebesgue'a . Później Donald A. Martin i inni wykazali ważniejsze konsekwencje, zwłaszcza w opisowej teorii mnogości . W 1988 roku John R. Steel i W. Hugh Woodin zakończyli długą linię badań. Zakładając istnienie pewnych niepoliczalnych liczb kardynalnych analogicznych do , udowodnili pierwotne przypuszczenie Mycielskiego i Steinhausa, że ​​AD jest prawdziwe w L(R). ${\displaystyle \aleph_{0}}$

Rodzaje gier, które są określone

Aksjomat determinacji odnosi się do gier z poniższego formularza określonego: Rozważmy pewien podzbiór A z tego przestrzeń baire'a Ohm ^Ohm wszystkich nieskończonych ciągów z liczb naturalnych . Dwóch graczy I i II wybiera na przemian liczby naturalne

n ₀ , n ₁ , n ₂ , n ₃ , ...

Po nieskończenie wielu ruchach generowana jest sekwencja . Gracz I wygrywa grę wtedy i tylko wtedy, gdy wygenerowana sekwencja jest elementem A . Aksjomat determinacji to stwierdzenie, że wszystkie takie gry są zdeterminowane. ${\ Displaystyle (n_ {i}) _ {i \ w \ omega}}$

Nie wszystkie gry wymagają aksjomatu determinacji, aby udowodnić, że są zdeterminowane. Jeżeli zbiorem A jest clopen , gra jest zasadniczo grą skończoną i dlatego jest zdeterminowana. Podobnie, jeśli A jest zamkniętym setem , gra jest rozstrzygnięta. W 1975 roku Donald A. Martin wykazał, że decydujące są gry, w których wygrywającym setem jest set Borel . Z istnienia dostatecznie dużych kardynałów wynika, że ​​wszystkie gry ze zwycięskim zestawem są określane jako zestaw rzutowy (patrz Wyznaczanie rzutowe ), a AD zachodzi w L(R) .

Aksjomat determinacji oznacza, że dla każdej podprzestrzeni X z liczb rzeczywistych , Banach-Mazur gra BM ( X ) określa się (i dlatego, że każdy zbiór liczb rzeczywistych ma własność baire'a ).

Niezgodność aksjomatu determinacji z aksjomatem wyboru

Zbiór S1 wszystkich strategii pierwszego gracza w grze G ma taką samą kardynalność jak kontinuum . To samo dotyczy zestawu S2 wszystkich strategii drugiego gracza. Zauważmy, że liczność zbioru SG wszystkich ciągów możliwych w G jest również kontinuum. Niech A będzie podzbiorem SG wszystkich sekwencji, które powodują, że pierwszy gracz wygrywa. Za pomocą aksjomatu wyboru możemy dobrze uporządkować kontinuum; co więcej, możemy to zrobić w taki sposób, aby jakakolwiek właściwa początkowa porcja nie miała liczności kontinuum. Tworzymy kontrprzykład przez nieskończoną indukcję na zbiorze strategii w ramach tego dobrze uporządkowanego:

Zaczynamy od zbioru A undefined. Niech T będzie „czasem”, którego oś ma kontinuum długości. Musimy wziąć pod uwagę wszystkie strategie {s1(T)} pierwszego gracza i wszystkie strategie {s2(T)} drugiego gracza, aby upewnić się, że dla każdej strategii istnieje strategia drugiego gracza, który z nią wygrywa. Dla każdej strategii rozważanego gracza wygenerujemy sekwencję, która zapewni drugiemu graczowi wygraną. Niech t będzie czasem, którego oś ma długość ℵ ₀ i który jest używany podczas każdej sekwencji gry.

1. Rozważ obecną strategię {s1(T)} pierwszego gracza.
2. Przejdź przez całą grę, generując (wraz ze strategią pierwszego gracza s1(T)) ciąg {a(1), b(2), a(3), b(4),...,a(t) , b(t+1),...}.
3. Zdecyduj, że ta sekwencja nie należy do A, tj. utracona s1(T).
4. Rozważ strategię {s2(T)} drugiego gracza.
5. Przejdź przez całą następną grę, generując (wraz ze strategią drugiego gracza s2(T)) ciąg {c(1), d(2), c(3), d(4),...,c(t ), d(t+1),...}, upewniając się, że ten ciąg jest różny od {a(1),b(2),a(3),b(4),...,a(t ), b(t+1),...}.
6. Zdecyduj, że ta sekwencja należy do A, czyli s2(T) utracone.
7. Powtarzaj z kolejnymi strategiami, jeśli takie istnieją, upewniając się, że sekwencje już rozważane nie zostaną ponownie wygenerowane. (Zaczynamy od zbioru wszystkich sekwencji i za każdym razem, gdy generujemy sekwencję i odrzucamy strategię, rzutujemy wygenerowaną sekwencję na ruchy pierwszego gracza i na ruchy drugiego gracza, a następnie usuwamy dwie wynikowe sekwencje z naszego zestawu sekwencji.)
8. Dla wszystkich ciągów, które nie pojawiły się w powyższych rozważaniach, arbitralnie zdecyduj, czy należą one do A, czy do dopełnienia A.

Po wykonaniu tej czynności mamy grę G . Jeśli dasz mi strategię s1, wtedy rozważaliśmy tę strategię w pewnym momencie T = T(s1). W czasie T zdecydowaliśmy, że wynik s1 będzie stratą s1. Stąd ta strategia zawodzi. Ale dotyczy to arbitralnej strategii; stąd aksjomat determinacji i aksjomat wyboru są nie do pogodzenia.

Logika nieskończoności i aksjomat determinacji

Pod koniec XX wieku zaproponowano wiele różnych wersji logiki nieskończoności . Jednym z podanych powodów wiary w aksjomat determinacji jest to, że można go zapisać w następujący sposób (w wersji logiki nieskończonej):

${\ Displaystyle \ forall G \ subseteq Seq (S):}$

${\displaystyle \forall a\w s:\istnieje a'\w s:\forall b\w s:\istnieje b'\w s:\forall c\w s:\istnieje c'\w s... :(a,a',b,b',c,c'...)\w G}$ LUB

${\displaystyle \istnieje a\w s:\forall a'\w s:\istnieje b\w s:\forall b'\w s:\istnieje c\w s:\forall c'\w s... :(a,a',b,b',c,c'...)\notin G}$

Uwaga: Seq( S ) jest zbiorem wszystkich -ciągów S . Zdania tutaj są nieskończenie długie z przeliczalną nieskończoną listą kwantyfikatorów, w których pojawiają się elipsy. ${\ Displaystyle \ omega}$

Wielcy kardynałowie i aksjomat determinacji

Spójność aksjomatu determinacji jest ściśle związana z kwestią spójności wielkich aksjomatów kardynalnych . Według twierdzenia Woodina , zgodność teorii mnogości Zermelo-Fraenkla bez wyboru (ZF) wraz z aksjomatem determinacji jest równoważna zgodności teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z wyborem (ZFC) wraz z istnieniem nieskończenie wielu kardynałów Woodina . Ponieważ kardynałowie Woodin są silnie niedostępni , jeśli AD jest konsekwentne, to jest też nieskończoność niedostępnych kardynałów.

Co więcej, jeśli do hipotezy nieskończonego zbioru kardynałów Woodina dodać istnienie mierzalnego kardynała większego od nich wszystkich, wyłania się bardzo silna teoria mierzalnych zbiorów liczb rzeczywistych Lebesgue'a , ponieważ można wówczas dowieść, że aksjomat determinacji jest prawda w L(R) , a zatem każdy zbiór liczb rzeczywistych w L(R) jest określony.

Zobacz też

• Aksjomat determinacji rzeczywistej (AD _R )
• Twierdzenie o wyznaczeniu borelowskim
• Martin środek
• Gra topologiczna

Bibliografia

• Mycielski, Jan ; Steinhaus, Hugo (1962). „Aksjomat matematyczny sprzeczny z aksjomatem wyboru”. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques . 10 : 1–3. ISSN  0001-4117 . MR  0140430 .
• Mycielski, Jan ; Świerczkowski, Stanisław (1964). „O mierzalności Lebesgue'a i aksjomie oznaczalności” . Fundusz. Matematyka . 54 : 67-71. doi : 10.4064/fm-54-1-67-71 .
• Woodin, W. Hugh (1988). „Superkompaktowi kardynałowie, zbiory realne i słabo jednorodne drzewa” . Materiały Narodowej Akademii Nauk Stanów Zjednoczonych Ameryki . 85 (18): 6587–6591. doi : 10.1073/pnas.85.18.6587 . PMC  282022 . PMID  16593979 .
• Martin, Donald A. ; Stal, John R. (styczeń 1989). „Dowód determinacji projekcyjnej” . Dziennik Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 2 (1): 71–125. doi : 10.2307/1990913 . JSTOR  1990913 .
• Jech, Tomasz (2002). Teoria mnogości, wydanie trzecie tysiąclecie (poprawione i rozszerzone) . Skoczek. Numer ISBN 978-3-540-44085-7.
• Kanamori, Akihiro (2008). Wyższy Nieskończony (wyd. 2). Springer Media o nauce i biznesie. Numer ISBN 978-3-540-88866-6.
• Moschovakis, Yiannis N. (2009). Opisowa teoria mnogości (PDF) (2nd ed.). Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 978-0-8218-4813-5. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2014-11-12.CS1 maint: bot: nieznany status oryginalnego adresu URL ( link )

Dalsza lektura

• Philipp Rohde, O rozszerzeniach aksjomatu determinacji , praca dyplomowa, Wydział Matematyki, Uniwersytet w Bonn, Niemcy, 2001
• Telgársky, RJ Topologiczne gry: W 50. rocznicę gry Banach-Mazur , Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), s. 227-276. (3,19 MB)
• „Wielcy kardynałowie i determinacja” w Stanford Encyclopedia of Philosophy