Aksjomat globalnego wyboru - Axiom of global choice

W matematyce , zwłaszcza w teorii klasy The aksjomat globalnego wyboru jest mocniejszy wariant aksjomatu wyboru , które stosuje się do odpowiednich klas w zestawach jak również zestawy zestawy. Nieformalnie stwierdza, że ​​można jednocześnie wybrać element z każdego niepustego zbioru.

Komunikat

Aksjomat wyboru globalnego stwierdza, że ​​istnieje funkcja wyboru globalnego τ, czyli funkcja taka, że ​​dla każdego niepustego zbioru z , τ ( z ) jest elementem z .

Aksjomat wyboru globalnego nie może być sformułowany bezpośrednio w języku ZFC ( teoria mnogości Zermelo –Fraenkla z aksjomatem wyboru), gdyż funkcja wyboru τ jest klasą właściwą iw ZFC nie można kwantyfikować ponad klasami. Można to stwierdzić dodając nowy symbol funkcji τ do języka ZFC, z właściwością, że τ jest funkcją wyboru globalnego. Jest to konserwatywne rozszerzenie ZFC: każde udowodnione stwierdzenie tej rozszerzonej teorii, które można sformułować w języku ZFC, jest już możliwe do udowodnienia w ZFC ( Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , s. 72). Alternatywnie, Gödel wykazał, że biorąc pod uwagę aksjomat konstruowalności, można zapisać jawną (choć nieco skomplikowaną) funkcję wyboru τ w języku ZFC, więc w pewnym sensie aksjomat konstruowalności implikuje globalny wybór (w rzeczywistości (ZFC udowadnia, że) w języku rozszerzonym o jednoargumentowy symbol funkcji τ, aksjomat konstruowalności implikuje, że jeśli τ jest określane jako funkcja jawnie definiowalna, to τ jest funkcją wyboru globalnego. I wtedy wybór globalny zachodzi moralnie, ze świadkiem τ ).

W języku teorii mnogości von Neumanna-Bernaysa-Gödla (NBG) i teorii mnogości Morse-Kelleya można bezpośrednio sformułować aksjomat wyboru globalnego ( Fraenkel, Bar-Hillel i Levy 1973 , s. 133) i jest on równoważny z różne inne oświadczenia:

W teorii mnogości von Neumanna – Bernaysa – Gödla wybór globalny nie dodaje żadnych konsekwencji dotyczących zbiorów (nie klas właściwych) poza tym, co można było wywnioskować ze zwykłego aksjomatu wyboru.

Globalny wybór jest konsekwencją aksjomatu ograniczenia rozmiaru .

Bibliografia

  • Fraenkel, Abraham A .; Bar-Hillel, Yehoshua ; Levy, Azriel (1973), Podstawy teorii mnogości , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 67 (wyd. Drugie poprawione), Amsterdam-London: North-Holland Publishing Co., ISBN   978-0720422702 , MR   0345816
  • Jech, Thomas , 2003. Teoria mnogości: trzecie wydanie milenijne, poprawione i rozszerzone . Skoczek. ISBN   3-540-44085-2 .
  • John L. Kelley ; Ogólna topologia ; ISBN   0-387-90125-6 .Linki zewnętrzne