Aksjomat ograniczenia wielkości - Axiom of limitation of size

W teorii mnogości The aksjomat ograniczenia wielkości została zaproponowana przez Johna von Neumanna w jego 1925 aksjomatyce dla zestawów i klas . Formalizuje zasadę ograniczenia wielkości , która pozwala uniknąć paradoksów napotykanych we wcześniejszych sformułowaniach teorii mnogości , uznając, że niektóre klasy są zbyt duże, aby mogły być zbiorami. Von Neumann zdał sobie sprawę, że paradoksy są spowodowane tym, że pozwala się tym wielkim klasom na przynależność do klasy. Klasa, która jest członkiem klasy, jest zestawem; klasa, która nie jest zbiorem, jest klasą właściwą . Każda klasa jest podklasą z V , klasa wszystkich zbiorów. Aksjomat ograniczenia rozmiaru mówi, że klasa jest zbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy jest mniejsza niż V — to znaczy, że nie ma funkcji odwzorowującej ją na V . Zwykle ten aksjomat jest wyrażany w formie równoważnej : Klasa jest właściwą klasą wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja, która odwzorowuje ją na V .

Aksjomat von Neumanna implikuje aksjomaty zastąpienia , separacji , zjednoczenia i globalnego wyboru . Jest to równoważne kombinacji zastępowania, sumy i globalnego wyboru w teorii mnogości von Neumanna-Bernaysa-Gödla (NBG) i teorii mnogości Morse'a-Kelley'a . Późniejsze wykłady teorii klasowych — takie jak te autorstwa Paula Bernaysa , Kurta Gödela i Johna L. Kelleya — wykorzystują aksjomaty zastępowania, unii i wyboru równoważne globalnemu wyborowi, a nie aksjomat von Neumanna. W 1930 Ernst Zermelo zdefiniował modele teorii mnogości spełniające aksjomat ograniczenia wielkości.

Abraham Fraenkel i Azriel Lévy stwierdzili, że aksjomat ograniczenia rozmiaru nie obejmuje całej „doktryny ograniczenia rozmiaru”, ponieważ nie implikuje aksjomatu zbioru potęg . Michael Hallett twierdzi, że ograniczenie wielkości doktryny nie uzasadnia ustaloną moc aksjomat i że „wyraźne założenie von Neumanna [o małości władzy zestawów] wydaje się korzystne Zermelo'S, Fraenkel, a niejasno ukryty Levy implicite założenie małości zestawy mocy."

Formalne oświadczenie

Zwykła wersja aksjomatu ograniczenia wielkości — klasa jest właściwą klasą wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja odwzorowująca ją na V  — jest wyrażona w formalnym języku teorii mnogości jako:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ dla wszystkich C {\ Bigl [} \ l nie \ istnieje D \ po lewej (C \ w D \ po prawej) \ jeśli \ istnieje F {\ Bigl [} i \ \ Forall y {\ bigl (}\exists D(y\in D)\implikuje \exists x[\,x\in C\land (x,y)\in F\,]{\bigr )}\\&\,\land \ ,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implikuje y=z{\bigr ) }\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{wyrównany}}}$

Gödel wprowadził konwencję, że zmienne pisane dużymi literami obejmują wszystkie klasy, a zmienne pisane małymi literami obejmują wszystkie zestawy. Ta konwencja pozwala nam pisać:

Zgodnie z konwencją Gödla aksjomat ograniczenia rozmiaru można zapisać:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ dla wszystkich C {\ Bigl [} \ l nie \ istnieje D \ lewo (C \ w D \ po prawej) \ jeśli \ istnieje F {\ Bigl [} i \ \ dla wszystkich y \ istnieje x{\bigl (}x\in C\land (x,y)\in F{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\, [\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end {wyrównany}}}$

Implikacje aksjomatu

Von Neumann dowiódł, że aksjomat ograniczenia wielkości implikuje aksjomat zastępowania , który można wyrazić jako: Jeśli F jest funkcją, a A jest zbiorem, to F ( A ) jest zbiorem. Świadczy o tym sprzeczność . Niech F będzie funkcją, a A zbiorem. Załóżmy, że F ( A ) jest właściwą klasą. Następnie jest funkcją G mapującą F ( A ) na V . Ponieważ funkcja złożona G  ∘  F odwzorowuje A na V , aksjomat ograniczenia rozmiaru implikuje, że A jest właściwą klasą, co przeczy A będącemu zbiorem. Dlatego F ( A ) jest zbiorem. Ponieważ aksjomat zastępowania implikuje aksjomat separacji , aksjomat ograniczenia wielkości implikuje aksjomat separacji .

Von Neumann dowiódł również, że jego aksjomat implikuje, że V może być uporządkowane . Dowód zaczyna się od udowodnienia przez sprzeczność, że Ord , klasa wszystkich liczb porządkowych , jest klasą właściwą. Załóżmy, że Ord jest zbiorem. Ponieważ jest to zbiór przechodni dobrze uporządkowany przez ∈, jest to liczba porządkowa. Czyli Ord  ∈  Ord , co zaprzecza, że Ord jest uporządkowany przez ∈. Dlatego Ord jest odpowiednią klasą. Tak więc aksjomat von Neumanna implikuje, że istnieje funkcja F odwzorowująca Ord na V . Aby zdefiniować dobre uporządkowanie V , niech G będzie podklasą F składającą się z uporządkowanych par (α,  x ), gdzie α jest najmniejszym β takim, że (β,  x ) ∈  F ; czyli G  = {(α,  x ) ∈  F  : ∀β((β,  x ) ∈  F  ⇒ α ≤ β)}. Funkcja G jest korespondencją jeden do jednego między podzbiorem Ord i V . Dlatego x  <  y, jeśli G ^-1 (x) <  G ^-1 (y) definiuje dobre uporządkowanie V . To uporządkowanie definiuje globalną funkcję wyboru : Niech Inf  ( x ) będzie najmniejszym elementem niepustego zbioru x . Ponieważ Inf  ( x ) ∈  x , ta funkcja wybiera element x dla każdego niepustego zbioru x . Dlatego Inf  ( x ) jest funkcją globalnego wyboru, więc aksjomat von Neumanna implikuje aksjomat globalnego wyboru .

W 1968 Azriel Lévy udowodnił, że aksjomat von Neumanna implikuje aksjomat unii . Po pierwsze, bez użycia aksjomatu unii udowodnił, że każdy zbiór liczb porządkowych ma górną granicę. Następnie użył funkcji odwzorowującej Ord na V, aby udowodnić, że jeśli A jest zbiorem, to ∪  A jest zbiorem.

Aksjomaty zastępowania, globalnego wyboru i sumy (z innymi aksjomatami NBG ) implikują aksjomat ograniczenia wielkości. Dlatego ten aksjomat jest równoważny kombinacji zastępowania, globalnego wyboru i sumy w teorii mnogości NBG lub Morse'a-Kelley'a . Te teorie mnogości jedynie zastąpiły aksjomat zastępowania i formę aksjomatu wyboru aksjomatem ograniczenia wielkości, ponieważ system aksjomatów von Neumanna zawiera aksjomat unii. Dowód Lévy'ego, że ten aksjomat jest zbędny, pojawił się wiele lat później.

Aksjomaty NBG z aksjomatem globalnego wyboru zastąpionym zwykłym aksjomatem wyboru nie implikują aksjomatu ograniczenia wielkości. W 1964 roku William B. Easton użył forsowania do zbudowania modelu NBG z globalnym wyborem zastąpionym aksjomatem wyboru. W modelu Eastona V nie może być uporządkowane liniowo , więc nie może być uporządkowane dobrze. Dlatego aksjomat ograniczenia wielkości zawodzi w tym modelu. Ord jest przykładem właściwej klasy, która nie może być zmapowana na V, ponieważ (jak udowodniono powyżej), jeśli istnieje funkcja mapująca Ord na V , to V może być uporządkowane.

Aksjomaty NBG z aksjomatem zastępowania zastąpionym słabszym aksjomatem separacji nie implikują aksjomatu ograniczenia wielkości. Określić jako -tym nieskończonej początkowej porządkowej , który jest również Cardinal ; numeracja zaczyna się od , więc w 1939 r. Gödel wskazał, że L _{ω ω} , podzbiór konstruowalnego wszechświata , jest modelem ZFC z zastępowaniem zastąpionym przez separację. Aby rozwinąć go do modelu NBG z zastępowaniem zastąpionym przez separację, niech jego klasy będą zbiorami L _{ω ω+1} , które są konstruowalnymi podzbiorami L _{ω ω} . Model ten spełnia aksjomaty istnienia klasy NBG, ponieważ ograniczenie zmiennych zbioru tych aksjomatów do L _{ω ω} daje instancje aksjomatu separacji, który obowiązuje w L. Spełnia on aksjomat globalnego wyboru, ponieważ istnieje funkcja należąca do L _{ω ω+ 1,} który odwzorowuje ω _ω na L _{ω ω} , co oznacza, że ​​L _{ω ω} jest uporządkowane. Aksjomat ograniczenia wielkości zawodzi, ponieważ właściwa klasa {ω _n  :  n  ∈ ω} ma liczność , więc nie może być odwzorowana na L _{ω ω} , który ma liczność . ${\ Displaystyle \ omega _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ alfa}$ ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ omega _ {0} = \ omega.}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$

W liście do Zermelo z 1923 r. von Neumann stwierdził pierwszą wersję swojego aksjomatu: „Klasa jest właściwą klasą wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje relacja jeden do jednego między nią a V . Aksjomat ograniczenia wielkości implikuje aksjomat von Neumanna z 1923 roku. Oznacza to również, że wszystkie właściwe klasy są równoliczne z V .

Modele Zermelo i aksjomat ograniczenia rozmiaru

W 1930 Zermelo opublikował artykuł o modelach teorii mnogości, w którym dowiódł, że niektóre z jego modeli spełniają aksjomat ograniczenia wielkości. Modele te są budowane w ZFC przy użyciu skumulowanej hierarchii V _α , która jest zdefiniowana przez rekurencję nieskończoną :

1. V ₀  =  ∅ .
2. V _{α + 1}  =  V _α  ∪  P ( V _α ). Oznacza to, że unia z V _alfa i jej zestawu zasilającego .
3. Dla granicy β: V _β  = ∪ _{α < β}  V _α . Oznacza to, że V _β jest sumą poprzedniego V _α .

Zermelo pracował z modelami postaci V _{κ ,} gdzie κ jest kardynałem . Klasy modelu są podzbiory z V _k , a model jest ∈-relacja jest średnia ∈-relacja. Zbiorami modelu są klasy X takie, że X ∈ V _κ . Zermelo zidentyfikował kardynałów κ takich, że V _κ spełnia:

Twierdzenie 1. Klasa X jest zbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy | X | < .

Twierdzenie 2. | V _κ | = .

Ponieważ każda klasa jest podzbiorem V _κ , Twierdzenie 2 implikuje, że każda klasa X ma moc  ≤ κ. Połączenie tego z Twierdzeniem 1 dowodzi: każda właściwa klasa ma kardynalność κ. Stąd każda właściwa klasa może być umieszczona w korespondencji jeden-do-jednego z V _κ . Ta korespondencja jest podzbiorem V _κ , a więc jest klasą modelu. Dlatego aksjomat ograniczenia wielkości obowiązuje dla modelu V _κ .

Twierdzenie, że V _κ ma dobre uporządkowanie, można udowodnić bezpośrednio . Ponieważ κ jest liczbą porządkową liczności κ i | V _κ | = κ, istnieje zależność jeden do jednego między κ i V _κ . Ta korespondencja daje dobre uporządkowanie V _κ . Dowód von Neumanna jest pośredni . Wykorzystuje paradoks Burali-Forti, aby udowodnić przez sprzeczność, że klasa wszystkich liczb porządkowych jest właściwą klasą. Stąd aksjomat ograniczenia wielkości implikuje, że istnieje funkcja, która odwzorowuje klasę wszystkich liczb porządkowych na klasę wszystkich zbiorów. Ta funkcja daje dobre uporządkowanie V _κ .

Model V _ω

Aby zademonstrować, że Twierdzenia 1 i 2 obowiązują dla pewnego V _κ , najpierw dowodzimy, że jeśli zbiór należy do V _α, to należy do wszystkich kolejnych V _β , lub równoważnie: V _α  ⊆  V _β dla α ≤ β. Świadczy o tym indukcja pozaskończona na β:

1. β = 0: V ₀  ⊆  V ₀ .
2. Dla β+1: Zgodnie z hipotezą indukcyjną V _α  ⊆  V _β . Stąd V _α  ⊆  V _β  ⊆  V _β  ∪  P ( V _β ) =  V _β+1 .
3. Dla granicy β: Jeśli α < β, to V _α  ⊆ ∪ _{ξ < β}  V _ξ  =  V _β . Jeśli α = β, to V _α  ⊆  V _β .

Zbiory wchodzą do skumulowanej hierarchii poprzez zbiór mocy P ( V _β ) w kroku β+1. Potrzebne będą następujące definicje:

Jeśli x jest ustawione, pozycja ( x ), jest przynajmniej taka, że β porządkowej x  ∈  V _{β + 1} .

Supremum zestawu liczb porządkowych A oznaczona sup A jest co najmniej tak, że β porządkowej α ≤ β wszystkie alfa ∈ A.

Najmniejszy model Zermelo to V _ω . Indukcja matematyczna dowodzi, że V _n jest skończone dla wszystkich n  < ω:

1. | V ₀ | = 0.
2. | V _{n +1} | = | V _n  ∪  P ( V _n )| ≤ | V _n | + 2  ^{| V _n |} , który jest skończony, ponieważ V _n jest skończony przez hipotezę indukcyjną.

Dowód Twierdzenia 1: Zbiór X wchodzi od V _ω do P ( V _n ) dla pewnego n  < ω , więc X  ⊆  V _n . Ponieważ V _n jest skończone, X jest skończone. I odwrotnie : Jeśli klasa X jest skończona, niech N  = sup {rank( x ):  x  ∈  X }. Ponieważ rząd( x ) ≤  N dla wszystkich x  ∈  X , mamy X  ⊆  V _{N +1} , więc X  ∈  V _{N +2}  ⊆  V _ω . Dlatego X  ∈  V _ω .

Dowód Twierdzenia 2: V _ω jest sumą przeliczalnie nieskończenie wielu zbiorów skończonych o rosnącym rozmiarze. Stąd ma kardynalność , która jest równa ω przez przypisanie kardynalne von Neumanna . ${\displaystyle \aleph_{0}}$

Zbiory i klasy V _ω spełniają wszystkie aksjomaty NBG z wyjątkiem aksjomatu nieskończoności .

Modele V _κ gdzie κ jest silnie niedostępnym kardynałem

Do udowodnienia Twierdzeń 1 i 2 dla V _ω wykorzystano dwie własności skończoności :

1. Jeśli λ jest skończoną kardynałem, to 2 ^λ jest skończone.
2. Jeśli A jest zbiorem liczb porządkowych takim, że | | jest skończone, a α jest skończone dla wszystkich α ∈  A , to sup  A jest skończone.

Aby znaleźć modele spełniające aksjomat nieskończoności, zastąp „skończony” przez „< κ”, aby uzyskać własności, które definiują silnie niedostępne kardynały . Kardynał κ jest silnie niedostępny, jeśli κ > ω oraz:

1. Jeśli λ jest kardynałem takim, że λ < κ, to 2 ^λ  < κ.
2. Jeśli A jest zbiorem liczb porządkowych takim, że | | < κ, a α < κ dla wszystkich α ∈  A , wtedy sup  A  < κ.

Właściwości te zapewniają, że κ nie można osiągnąć od dołu. Pierwsza własność mówi, że κ nie może być osiągnięte przez zestawy potęgowe; druga mówi, że κ nie może być osiągnięte przez aksjomat zastępowania. Tak jak aksjomat nieskończoności jest wymagany do uzyskania ω, tak aksjomat jest potrzebny do uzyskania silnie niedostępnych kardynałów. Zermelo postulował istnienie nieograniczonej sekwencji silnie niedostępnych kardynałów.

Jeśli κ jest silnie niedostępnym kardynałem, to indukcja pozaskończona dowodzi | V _a- | < κ dla wszystkich α < κ:

1. α = 0: | V ₀ | = 0.
2. Dla α+1: | V _{α + 1} | = | V _a  ∪  P ( V _α ) | ≤ | V _a- | + 2  ^{| V _a- |}  = 2  ^{| V _a- |}  < . Ostatnia nierówność wykorzystuje hipotezę indukcyjną, a κ jest silnie niedostępny.
3. Dla granicy α: | V _a- | = |∪ _{ξ < α}  V _ξ | ≤ sup {| V _ξ | : ξ < α} < κ. Ostatnia nierówność wykorzystuje hipotezę indukcyjną, a κ jest silnie niedostępny.

Dowód Twierdzenia 1: Zbiór X wchodzi od V _κ do P ( V _α ) dla pewnego α < κ , więc X  ⊆  V _α . Ponieważ | V _a- | < κ, otrzymujemy | X | < . Odwrotnie: Jeśli klasa X ma | X | < κ, niech β = sup {rank( x ):  x  ∈  X }. Ponieważ κ jest mocno niedostępny, | X | < κ i ranga( x ) < κ dla wszystkich x  ∈  X implikują β = sup {rank( x ):  x  ∈  X } < κ. Ponieważ rang( x ) ≤ β dla wszystkich x  ∈  X , mamy X  ⊆  V _β+1 , więc X  ∈  V _β+2  ⊆  V _κ . Dlatego X  ∈  V _κ .

Dowód twierdzenia 2: | V _κ | = |∪ _{α < κ}  V _α | ≤ sup {| V _a- | : α < }. Niech β będzie tym najwyższym. Ponieważ każda liczba porządkowa w supremum jest mniejsza niż κ, mamy β ≤ κ. Załóżmy, że β < κ. Wtedy istnieje kardynalny λ taki, że β < λ < κ; na przykład niech λ = 2 ^|β| . Ponieważ λ ⊆ V _λ i | V _X | jest w supremum, mamy λ ≤ | V _X | ≤ β. To przeczy β < λ. Dlatego | V _κ | = β = .

Zbiory i klasy V _κ spełniają wszystkie aksjomaty NBG.

Ograniczenie doktryny rozmiaru

Doktryna ograniczenia rozmiaru jest zasadą heurystyczną, która służy do uzasadnienia aksjomatów teorii mnogości. Unika zbioru paradoksów teoretycznych poprzez ograniczenie pełnego (sprzecznego) schematu aksjomatu rozumienia:

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots,w_{n}\\istnieje x\,\forall u\,(u\inx\iff \varphi (u,w_{1},\ldots,w_ {n}))}$

do przypadków „które nie dają zestawów 'zbyt większych' niż te, których używają”.

Jeśli „większy” oznacza „większy w rozmiarze kardynalnym”, to większość aksjomatów może być uzasadniona: Aksjomat separacji wytwarza podzbiór x, który nie jest większy niż x . Aksjomat zastępowania tworzy zbiór obrazów f ( x ), który nie jest większy niż x . Aksjomat sumy tworzy sumę, której rozmiar nie jest większy niż rozmiar największego zestawu w unii razy liczba zestawów w unii. Aksjomat wyboru tworzy zbiór wyborów, którego rozmiar nie jest większy niż rozmiar danego zbioru niepustych zbiorów.

Doktryna ograniczenia rozmiaru nie uzasadnia aksjomatu nieskończoności:

${\ Displaystyle \ istnieje r \, [\ pusty zbiór \ w r \, \ ziemia \, \ dla wszystkich x (x \ w r \ implikuje x \ filiżanka \ {x \} \ w r)],}$

który używa zestawu pustego i zestawów uzyskanych z zestawu pustego przez iterację operacji następnika porządkowego . Ponieważ te zbiory są skończone, każdy zbiór spełniający ten aksjomat, taki jak ω, jest znacznie większy niż te zbiory. Fraenkel i Lévy traktują zbiór pusty i nieskończony zbiór liczb naturalnych , których istnienie implikują aksjomaty nieskończoności i separacji, jako punkt wyjścia do generowania zbiorów.

Podejście von Neumanna do ograniczenia rozmiaru wykorzystuje aksjomat ograniczenia rozmiaru. Jak wspomniano w § Implikacje aksjomatu , aksjomat von Neumanna implikuje aksjomaty separacji, zastąpienia, zjednoczenia i wyboru. Podobnie jak Fraenkel i Lévy, von Neumann musiał dodać aksjomat nieskończoności do swojego systemu, ponieważ nie można go udowodnić na podstawie innych jego aksjomatów. Różnice między podejściem von Neumanna do ograniczenia wielkości a podejściem Fraenkla i Lévy'ego to:

• Aksjomat von Neumanna wprowadza ograniczenie wielkości do systemu aksjomatów, umożliwiając udowodnienie większości ustalonych aksjomatów istnienia. Doktryna ograniczenia wielkości uzasadnia aksjomaty przy użyciu nieformalnych argumentów, które są bardziej podatne na spór niż dowód.
• Von Neumann przyjął aksjomat zbioru potęgowego, ponieważ nie można go udowodnić na podstawie jego innych aksjomatów. Fraenkel i Lévy twierdzą, że doktryna ograniczenia wielkości uzasadnia aksjomat zbioru potęgi.

Istnieje spór co do tego, czy doktryna ograniczenia rozmiaru uzasadnia aksjomat zbioru potęg. Michael Hallett przeanalizował argumenty przedstawione przez Fraenkela i Lévy'ego. Niektóre z ich argumentów mierzą rozmiar według kryteriów innych niż rozmiar kardynalny — na przykład Fraenkel wprowadza „kompleksowość” i „możliwość rozbudowy”. Hallett zwraca uwagę na to, co uważa za błędy w ich argumentacji.

Hallett następnie dowodzi, że wyniki w teorii mnogości wydają się sugerować, że nie ma związku między rozmiarem zestawu nieskończonego a rozmiarem jego zestawu potęgowego. Sugerowałoby to, że doktryna ograniczenia rozmiaru nie jest w stanie uzasadnić aksjomatu potęgi zbioru, ponieważ wymaga, aby zbiór potęg x nie był „zbyt dużo większy” niż x . W przypadku, gdy rozmiar mierzy się wielkością kardynalną, Hallett wspomina o pracy Paula Cohena . Począwszy od modelu ZFC i Cohen zbudowany model, w którym liczność zbioru mocy Ohm jest jeśli cofinality od nie jest ω; w przeciwnym razie jego kardynalność to . Ponieważ moc zbioru potęgowego ω nie ma ograniczenia, nie ma związku między kardynalnym rozmiarem ω a kardynalnym rozmiarem P (ω). ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alfa +1}}$

Hallett omawia również przypadek, w którym rozmiar mierzy się „kompleksowością”, co oznacza, że ​​zbiór jest „zbyt duży”, jeśli ma „nieograniczony stopień zrozumienia” lub „nieograniczony zakres”. Wskazuje, że dla zbioru nieskończonego nie możemy być pewni, że mamy wszystkie jego podzbiory bez przechodzenia przez nieograniczony zasięg wszechświata. Cytuje również Johna L. Bella i Moshé Machovera : „...zbiór potęg P ( u ) danego [nieskończonego] zbioru u jest proporcjonalny nie tylko do wielkości u, ale także do 'bogactwa' całego wszechświata ...”. Po dokonaniu tych obserwacji Hallett stwierdza: „Można podejrzewać, że po prostu nie ma związku między rozmiarem (złożonością) nieskończonego a a rozmiarem P ( a ).”

Hallett uważa, że ​​doktryna ograniczenia rozmiaru jest cenna dla uzasadnienia większości aksjomatów teorii mnogości. Jego argumenty wskazują jedynie, że nie może uzasadniać aksjomatów nieskończoności i zbioru potęgowego. Stwierdza on, że „wyraźne założenie von Neumanna [o małości władzy zestawów] wydaje się korzystne na Zermelo, Fraenkel, a niejasno ukryte Levy niejawny założeniu małości władzy zestawów”.

Historia

Von Neumann opracował aksjomat ograniczenia wielkości jako nową metodę identyfikacji zbiorów. ZFC identyfikuje zbiory poprzez swoje aksjomaty budowania zbiorów. Jednakże, jak zauważył Abraham Fraenkel : „Dość arbitralny charakter procesów, które są wybrane w aksjomach Z [ZFC] jako podstawa teorii, jest uzasadniony raczej historycznym rozwojem teorii mnogości niż argumentami logicznymi. "

Historyczny rozwój aksjomatów ZFC rozpoczął się w 1908 roku, kiedy Zermelo wybrał aksjomaty w celu wyeliminowania paradoksów i poparcia swojego dowodu twierdzenia o dobrym uporządkowaniu . W 1922 Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem wskazali, że aksjomaty Zermelo nie mogą dowieść istnienia zbioru { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...} gdzie Z ₀ jest zbiorem liczb naturalnych , a Z _{n +1} jest zbiorem zbiór potęgowy Z _n . Wprowadzili także aksjomat zastępowania, który gwarantuje istnienie tego zbioru. Jednak dodawanie aksjomatów w miarę potrzeby nie gwarantuje istnienia wszystkich rozsądnych zbiorów ani nie wyjaśnia różnicy między zbiorami, które są bezpieczne w użyciu, a zbiorami, które prowadzą do sprzeczności.

W liście do Zermelo z 1923 roku von Neumann nakreślił podejście do teorii zbiorów, które identyfikuje zbiory, które są „zbyt duże” i mogą prowadzić do sprzeczności. Von Neumann zidentyfikował te zbiory za pomocą kryterium: „Zbiór jest 'zbyt duży' wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoważny ze zbiorem wszystkich rzeczy”. Następnie ograniczył, w jaki sposób te zestawy mogą być używane: „... w celu uniknięcia paradoksów te [zbiory], które są 'zbyt duże', uznaje się za niedopuszczalne jako elementy ”. Łącząc to ograniczenie ze swoim kryterium, von Neumann uzyskał swoją pierwszą wersję aksjomatu ograniczenia wielkości, który w języku klas mówi: Klasa jest właściwą klasą wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoliczna z V . W 1925 von Neumann zmodyfikował swój aksjomat, zmieniając „jest równoliczne z V  ” na „można go odwzorować na V  ”, co daje aksjomat ograniczenia rozmiaru. Ta modyfikacja umożliwiła von Neumannowi przedstawienie prostego dowodu aksjomatu zastępowania. Aksjomat von Neumanna identyfikuje zbiory jako klasy, które nie mogą być odwzorowane na V . Von Neumann zdał sobie sprawę, że nawet z tym aksjomatem jego teoria mnogości nie charakteryzuje w pełni zbiorów.

Gödel uznał aksjomat von Neumanna za „bardzo interesujący”:

„W szczególności uważam, że konieczny i wystarczający warunek [von Neumanna], który musi spełniać własność, aby zdefiniować zbiór, jest bardzo interesujący, ponieważ wyjaśnia związek aksjomatycznej teorii mnogości z paradoksami. dotarcie do istoty rzeczy wynika z faktu, że implikuje on aksjomat wyboru, który dawniej był zupełnie oddzielony od innych zasad egzystencjalnych. dla mnie nie tylko bardzo elegancki, ale i bardzo interesujący z logicznego punktu widzenia.Ponadto wierzę, że tylko idąc dalej w tym kierunku, tj. w kierunku przeciwnym do konstruktywizmu , rozwiążą się podstawowe problemy abstrakcyjnej teorii mnogości ”.

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

• Bell, John L.; Machover, Moshé (2007), Kurs logiki matematycznej , Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2844-5.
• Bernays, Paul (1937), "System aksjomatycznej teorii mnogości-część I", The Journal of Symbolic Logic , 2 (1): 65-77, doi : 10.2307/2268862 , JSTOR  2268862.
• Bernays, Paul (1941), "System aksjomatycznej teorii mnogości-część II", The Journal of Symbolic Logic , 6 (1): 1-17, doi : 10.2307/2267281 , JSTOR  2267281.
• Bernays, Paul (1991), Aksjomatyczna teoria mnogości , Dover Publications, ISBN 0-486-66637-9.
• Cohen, Paul (1966), Teoria mnogości i hipoteza kontinuum , WA Benjamin, ISBN 978-0-486-46921-8.
• Easton, William B. (1964), Powers of Regular Cardinals (praca doktorska), Princeton University.
• Ferreirós, José (2007), Labirynt myśli: historia teorii mnogości i jej rola w myśli matematycznej (2. poprawione wyd.), Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Fraenkel, Abraham (1922), "Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre" , Mathematische Annalen , 86 (3-4): 230-237, doi : 10.1007/bf01457986 , S2CID  122212740.
• Fraenkel, Abraham; Bar-Hillel, Jehoszua; Levy, Azriel (1973), Podstawy teorii mnogości (2nd poprawiona ed.), Bazylea, Szwajcaria: Elsevier, ISBN 0-7204-2270-1.
• Gödel, Kurt (1939), „Dowód spójności dla uogólnionej hipotezy kontinuum” (PDF) , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 25 (4): 220-224, doi : 10.1073/pnas.25.4 0,220 , PMC  1077751 , PMID  16588293.
• Gödel, Kurt (1940), Spójność hipotezy kontinuum , Princeton University Press.
• Hallett, Michael (1984), Teoria mnogości kantorów i ograniczenie rozmiaru , Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-853179-6.
• Kanamori, Akihiro (2003), "Stanisław Ulam" (PDF) , w Solomon Feferman i John W. Dawson, Jr. (red.), Kurt Gödel Collected Works, Tom V: Korespondencja HZ , Clarendon Press, s. 280-300 , ISBN 0-19-850075-0.
• Kelley, John L. (1955), Topologia ogólna , Van Nostrand, ISBN 978-0-387-90125-1.
• Kunen, Kenneth (1980), Teoria mnogości: Wprowadzenie do dowodów niepodległości , North-Holland, ISBN 0-444-86839-9.
• Levy, Azriel (1968), "O systemie aksjomatów von Neumanna dla teorii mnogości", American Mathematical Monthly , 75 (7): 762-763, doi : 10.2307/2315201 , JSTOR  2315201.
• Mirimanoff, Dmitry (1917), "Les antinomy de Russell et de Burali-Forti et le Probleme podstawowa teoria zespołów", L'Enseignement Mathématique , 19 : 37-52.
• Moore, Gregory H. (1982), Aksjomat wyboru Zermelo: jego początki, rozwój i wpływ , Springer, ISBN 0-387-90670-3.
• Sierpiński, Wacław; Tarski, Alfred (1930), „Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles” (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 15 :292-300, doi : 10.4064/fm-15-1-292-300 , ISSN  0016-2736.
• Skolem, Thoralf (1922), "Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre", Matematikerkongressen i Helsingfors den 4-7 lipca 1922 , s. 217-232.
  • Tłumaczenie angielskie: van Heijenoort, Jean (1967b), „Some uwagi na temat aksjomatyzowanej teorii mnogości”, From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, s. 290-301, ISBN 978-0-674-32449-7.
• von Neumann, John (1925), „Eine Axiomatisierung der Mengenlehre” , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 154 : 219-240.
  • Tłumaczenie angielskie: van Heijenoort, Jean (1967c), „Aksjomatyzacja teorii mnogości”, From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, s. 393-413, ISBN 978-0-674-32449-7.
• von Neumann, John (1928), "Die Axiomatisierung der Mengenlehre" , Mathematische Zeitschrift , 27 : 669-752, doi : 10.1007/bf01171122 , S2CID  123492324.
• Zermelo, Ernst (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" , Mathematische Annalen , 65 (2): 261-281, doi : 10.1007/bf01449999 , S2CID  120085563.
  • Tłumaczenie angielskie: van Heijenoort, Jean (1967a), „Badania w podstawach teorii mnogości”, From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, s. 199-215, ISBN 978-0-674-32449-7.
• Zermelo, Ernst (1930), „Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre” (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 16 : 29-47, doi : 10.4064/fm-16-1-29-47.
  • Tłumaczenie angielskie: Ewald, William B. (1996), „O liczbach brzegowych i domenach zbiorów: nowe badania w podstawach teorii mnogości”, Od Immanuela Kanta do Davida Hilberta: A Source Book in the Foundations of Mathematics , Oxford University Press , s. 1208-1233, ISBN 978-0-19-853271-2.