Matematyka babilońska - Babylonian mathematics

Zobacz także: babilońskie cyfry klinowe
Babilońska tabliczka z gliny YBC 7289 z adnotacjami. Ukośne wyświetla zbliżenia pierwiastek 2 w czterech sześćdziesiątkowa figurach 1 24 51 10, która jest dobra do około sześciu dziesiętnych cyfry.
1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 = 1.41421296... Tabliczka podaje również przykład, gdzie jeden bok kwadratu to 30, a wynikowa przekątna to 42 25 35 lub 42.4263888...

Matematyka babilońska (znana również jako matematyka asyryjsko-babilońska ) oznacza matematykę rozwiniętą lub praktykowaną przez ludność Mezopotamii , od czasów wczesnych Sumerów do wieków po upadku Babilonu w 539 rpne. Babilońskie teksty matematyczne są obfite i dobrze zredagowane. Pod względem czasu dzielą się na dwie odrębne grupy: jedną z okresu starobabilońskiego (1830-1531 pne), drugą głównie Seleucydów z ostatnich trzech lub czterech wieków pne. Pod względem treści nie ma prawie żadnej różnicy między tymi dwiema grupami tekstów. Matematyka babilońska pozostawała niezmienna pod względem charakteru i treści przez prawie dwa tysiące lat.

W przeciwieństwie do niedostatku źródeł w matematyce egipskiej , wiedza o matematyce babilońskiej pochodzi z około 400 glinianych tabliczek odkopanych od lat pięćdziesiątych XIX wieku. Napisane pismem klinowym tabliczki były pisane na wilgotnej glinie i wypiekane w piecu lub pod wpływem ciepła słonecznego. Większość odzyskanych glinianych tabliczek datuje się na okres od 1800 do 1600 pne i obejmuje takie zagadnienia, jak ułamki , algebra , równania kwadratowe i sześcienne oraz twierdzenie Pitagorasa . Tablica babilońska YBC 7289 podaje przybliżenie z dokładnością do trzech znaczących cyfr sześćdziesiętnych (około sześciu znaczących cyfr dziesiętnych).

Początki matematyki babilońskiej

Matematyka babilońska to szereg numerycznych i bardziej zaawansowanych praktyk matematycznych na starożytnym Bliskim Wschodzie , zapisanych pismem klinowym . Badania historycznie koncentrowały się na okresie starobabilońskim na początku drugiego tysiąclecia pne ze względu na bogactwo dostępnych danych. Odbyła się debata na temat najwcześniejszego pojawienia się matematyki babilońskiej, a historycy sugerują zakres dat między 5 a 3 tysiącleciem p.n.e. Matematyka babilońska była głównie pisana na glinianych tabliczkach pismem klinowym w językach akadyjskim lub sumeryjskim .

„Matematyka babilońska” jest być może terminem nieprzydatnym, ponieważ najwcześniejsze sugerowane pochodzenie datuje się na użycie narzędzi księgowych, takich jak bullae i tokeny , w V tysiącleciu pne.

Cyfry babilońskie

Główny artykuł: babilońskie cyfry klinowe

Babiloński system matematyki był systemem liczbowym sześćdziesiętnym (o podstawie 60) . Z tego czerpiemy współczesne użycie 60 sekund na minutę, 60 minut na godzinę i 360 stopni w kole. Babilończycy byli w stanie dokonać wielkich postępów w matematyce z dwóch powodów. Po pierwsze, liczba 60 jest liczbą o wyższym stopniu złożoną , mającą współczynniki 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (w tym te, które same są złożone), ułatwiając obliczenia z ułamki . Dodatkowo, w przeciwieństwie do Egipcjan i Rzymian, Babilończycy mieli prawdziwy system wartości miejsc , w którym cyfry zapisane w lewej kolumnie reprezentowały większe wartości (podobnie jak w naszym systemie dziesiątkowym 734 = 7×100 + 3×10 + 4× 1).

matematyka sumeryjska

Starożytni Sumerowie z Mezopotamii opracowali złożony system metrologii od 3000 roku p.n.e. Od 2600 rpne Sumerowie pisali tabliczki mnożenia na glinianych tabliczkach i zajmowali się ćwiczeniami geometrycznymi i problemami podziału . Z tego okresu pochodzą również najwcześniejsze ślady cyfr babilońskich.

Matematyka starobabilońska (2000-1600 pne)

Większość glinianych tabliczek opisujących matematykę babilońską należy do starobabilońskich , dlatego matematyka Mezopotamii jest powszechnie znana jako matematyka babilońska. Niektóre gliniane tabliczki zawierają matematyczne listy i tabele, inne zawierają problemy i wypracowane rozwiązania.

Tabliczka gliniana, matematyczna, geometryczno-algebraiczna, podobna do twierdzenia Pitagorasa. Z Tell al-Dhabba'i, Irak. 2003-1595 p.n.e. Muzeum Iraku
Tabliczka gliniana, matematyczna, geometryczno-algebraiczna, podobna do geometrii euklidesowej. Z Tell Harmal z Iraku. 2003-1595 p.n.e. Muzeum Iraku

Arytmetyka

Babilończycy używali wstępnie obliczonych tabel, aby pomóc w arytmetyce . Na przykład dwie tablice znalezione w Senkerah nad Eufratem w 1854 r., pochodzące z 2000 r. p.n.e., podają wykazy kwadratów liczb do 59 i sześcianów liczb do 32. Babilończycy używali wykazów kwadratów wraz ze wzorami:

uprościć mnożenie.

Babilończycy nie mieli algorytmu długiego dzielenia . Zamiast tego oparli swoją metodę na fakcie, że:

wraz z tabelą wzajemności . Liczby, których jedynymi czynnikami pierwszymi są 2, 3 lub 5 (znane jako 5- liczby gładkie lub regularne ) mają skończone odwrotności w notacji sześćdziesiętnej i znaleziono tabele z obszernymi listami tych odwrotności.

Odwrotności takie jak 1/7, 1/11, 1/13 itd. nie mają skończonych reprezentacji w notacji sześćdziesiętnej. Aby obliczyć 1/13 lub podzielić liczbę przez 13 Babilończycy użyliby przybliżenia takiego jak:

Algebra

Zobacz także: pierwiastek kwadratowy z 2 § Historia

Babilończyk glinianej YBC 7289 (c. 1800/00 BC) daje przybliżenie √ 2 w czterech sześćdziesiątkowa figur 1; 24,51,10, która z dokładnością do około sześciu dziesiętnych cyfr i jest najbardziej zbliżone do trzech miejscem sześćdziesiętna reprezentacja √ 2 :

Oprócz obliczeń arytmetycznych matematycy babilońscy opracowali również algebraiczne metody rozwiązywania równań . Po raz kolejny zostały one oparte na wcześniej obliczonych tabelach.

Do rozwiązania równania kwadratowego Babilończycy zasadniczo używali standardowego wzoru kwadratowego . Rozważali równania kwadratowe postaci:

gdzie b i c niekoniecznie były liczbami całkowitymi, ale c zawsze było dodatnie. Wiedzieli, że rozwiązaniem tej postaci równania jest:

i skutecznie znaleźli pierwiastki kwadratowe za pomocą dzielenia i uśredniania. Zawsze używali pozytywnego korzenia, ponieważ miało to sens przy rozwiązywaniu „prawdziwych” problemów. Problemy tego typu polegały na znalezieniu wymiarów prostokąta ze względu na jego powierzchnię i wielkość, o jaką długość przekracza szerokość.

Tabele wartości n 3  +  n 2 posłużyły do ​​rozwiązania niektórych równań sześciennych . Rozważmy na przykład równanie:

Po pomnożeniu przez równanie o 2 i podzielenie przez b 3 otrzymujemy:

Zastąpienie y = ax / b daje:

co można teraz rozwiązać, przeglądając tabelę n 3  +  n 2, aby znaleźć wartość najbliższą prawej stronie. Babilończycy dokonali tego bez notacji algebraicznej, wykazując niezwykłą głębię zrozumienia. Nie mieli jednak metody rozwiązywania ogólnego równania sześciennego.

Wzrost

Babilończycy modelowali wzrost wykładniczy, wzrost ograniczony (poprzez formę funkcji sigmoidalnych ) i podwojenie czasu , ten ostatni w kontekście oprocentowania kredytów.

Tabletki gliniane od ok. 2000 pne zawiera ćwiczenie „Przy stopie procentowej 1/60 miesięcznie (bez kapitalizacji), oblicz czas podwojenia”. Daje to roczną stopę procentową 12/60 = 20%, a zatem czas podwojenia 100% wzrostu/20% wzrostu rocznie = 5 lat.

Plimpton 322

Główny artykuł: Plimpton 322

Plimpton 322 tabletka zawiera listę „ Pitagorasa trójek ”, czyli liczby całkowite takie, że . Trójki są zbyt liczne i zbyt duże, aby można je było uzyskać brutalną siłą.

Wiele napisano na ten temat, w tym spekulacje (być może anachroniczne), czy tabliczka mogła służyć jako wczesna tablica trygonometryczna. Należy zachować ostrożność, aby spojrzeć na tabliczkę w sposób znany lub dostępny dla skrybów w tamtym czasie.

[...] pytanie "jak obliczono tablicę?" nie musi mieć takiej samej odpowiedzi jak na pytanie "jakie problemy stawia tablet?" Na pierwszą odpowiedź najbardziej zadowalająco odpowiadają pary wzajemności, jak po raz pierwszy sugerowano pół wieku temu, a na drugie jakiś rodzaj problemów z trójkątem prostokątnym.

(E. Robson, „Ani Sherlock Holmes, ani Babilon: ponowna ocena Plimpton 322”, Historia Math. 28 (3), s. 202).

Geometria

Babilończycy znali wspólne zasady mierzenia objętości i obszarów. Mierzyli obwód koła jako trzykrotność średnicy, a powierzchnię jako jedną dwunastą kwadratu obwodu, co byłoby poprawne, gdyby π oszacowano jako 3. Zdawali sobie sprawę, że jest to przybliżenie, a jeden ze starobabilońskich matematycznych tabliczka wydobyta w pobliżu Suzy w 1936 r. (datowana na okres między XIX a XVII wiekiem pne) daje lepsze przybliżenie π jako 25/8 = 3,125, około 0,5 procent poniżej dokładnej wartości. Objętość walca brano jako iloczyn podstawy i wysokości, natomiast objętość ściętego stożka lub ostrosłupa kwadratowego była błędnie przyjmowana jako iloczyn wysokości i połowy sumy podstaw. Twierdzenie Pitagorasa była znana również Babilończyków.

„Mila babilońska” była miarą odległości równą około 11,3 km (czyli około siedmiu mil współczesnych). Ten pomiar odległości został ostatecznie przekształcony w „milę czasową” używaną do pomiaru podróży Słońca, a zatem reprezentującej czas.

Starożytni Babilończycy od wielu stuleci znali twierdzenia dotyczące stosunków boków podobnych trójkątów, ale brakowało im pojęcia miary kąta i dlatego zamiast tego badali boki trójkątów.

Na babilońskich astronomów przechowywane szczegółowe rejestry wschodów i zachodów gwiazdek , Ruch planet oraz Słońca i Księżyca zaćmienia , z których wszystkie wymagane znajomość kątowych odległościach mierzonych na sferze niebieskiej .

Wykorzystali również formę analizy Fouriera do obliczenia efemeryd (tablic pozycji astronomicznych), które zostały odkryte w latach pięćdziesiątych przez Otto Neugebauera . Do wykonywania obliczeń ruchów ciał niebieskich Babilończycy używali podstawowej arytmetyki i układu współrzędnych opartego na ekliptyce , części nieba, przez którą podróżuje Słońce i planety.

Tablice przechowywane w British Museum dostarczają dowodów na to, że Babilończycy posunęli się nawet do posiadania koncepcji obiektów w abstrakcyjnej, matematycznej przestrzeni. Tablice datowane są na okres między 350 a 50 rokiem p.n.e., ujawniając, że Babilończycy rozumieli i stosowali geometrię nawet wcześniej niż wcześniej sądzono. Babilończycy zastosowali metodę szacowania obszaru pod krzywą, rysując pod spodem trapez , technikę, która wcześniej uważana była za wywodzącą się z XIV-wiecznej Europy. Ta metoda szacowania pozwoliła im na przykład znaleźć odległość, jaką Jowisz przebył w określonym czasie.

Wpływ

Od czasu ponownego odkrycia cywilizacji babilońskiej stało się jasne, że matematycy i astronomowie greccy i hellenistyczni , aw szczególności Hipparch , zapożyczyli wiele od Babilończyków .

Franz Xaver Kugler zademonstrował w swojej książce Die Babylonische Mondrechnung („ Babilońskie obliczenia księżycowe ”, Freiburg im Breisgau, 1900), co następuje: Ptolemeusz stwierdził w swoim Almagest IV.2, że Hipparch poprawił wartości dla okresów Księżyca znane mu z „ jeszcze bardziej starożytni astronomowie”, porównując obserwacje zaćmień dokonane wcześniej przez „Chaldejczyków” i przez niego samego. Kugler odkrył jednak, że okresy, które Ptolemeusz przypisuje Hipparchowi, były już używane w babilońskich efemerydach , a konkretnie w zbiorze tekstów obecnie nazywanych „Systemem B” (czasami przypisywanym Kidinnu ). Najwyraźniej Hipparch tylko potwierdził słuszność okresów, których nauczył się od Chaldejczyków dzięki swoim nowszym obserwacjom.

Jest jasne, że Hipparch (a po nim Ptolemeusz) miał w zasadzie kompletną listę obserwacji zaćmień obejmujących wiele stuleci. Najprawdopodobniej zostały one skompilowane z tabliczek „dziennikowych”: są to gliniane tabliczki zawierające wszystkie istotne obserwacje, które Chaldejczycy rutynowo robili. Zachowane przykłady datowane są na okres od 652 rpne do 130 ne, ale prawdopodobnie zapisy sięgają czasów panowania babilońskiego króla Nabonassara : Ptolemeusz rozpoczyna swoją chronologię od pierwszego dnia egipskiego kalendarza pierwszego roku Nabonasara, tj. 26 lutego 747 pne.

Ten surowiec sam w sobie musiał być trudny w użyciu i bez wątpienia sami Chaldejczycy sporządzili wyciągi np. ze wszystkich zaobserwowanych zaćmień ( znaleziono kilka tabliczek z listą wszystkich zaćmień w okresie obejmującym saros ). To pozwoliło im rozpoznać okresowe powtarzanie się wydarzeń. Między innymi w Systemie B (por. Almagest IV.2):

  • 223 miesiące synodyczne = 239 zwrotów w anomalii ( miesiąc anomalistyczny ) = 242 zwroty w szerokości geograficznej ( miesiąc drakoniczny ). Jest to teraz znane jako okres saros , który jest przydatny do przewidywania zaćmień .
  • 251 (synodycznych) miesięcy = 269 zwrotów w anomalii
  • 5458 (synodycznych) miesięcy = 5923 powrotów na szerokości geograficznej
  • 1 miesiąc synodyczny = 29;31,50,08,20 dni (szesnastkowy; 29,53059413... dni w postaci dziesiętnej = 29 dni 12 godzin 44 min 3⅓ s, czas rzeczywisty PS to 2,9 s, więc 0,43 sekundy wyłączone)

Babilończycy wyrażali wszystkie okresy w miesiącach synodycznych , prawdopodobnie dlatego, że posługiwali się kalendarzem księżycowo-słonecznym . Różne związki ze zjawiskami rocznymi prowadziły do ​​różnych wartości długości roku.

Podobnie znane były różne relacje między okresami planet . Relacje, które Ptolemeusz przypisuje Hipparchowi w Almagest IX.3, zostały już wykorzystane w przepowiedniach znalezionych na babilońskich tabliczkach glinianych.

Cała ta wiedza została przekazana Grekom prawdopodobnie wkrótce po podboju przez Aleksandra Wielkiego (331 pne). Według późnego filozofa klasycznego Symplicjusza (początek VI wne) Aleksander zlecił przetłumaczenie historycznych zapisów astronomicznych pod nadzorem swego kronikarza Kalistenesa z Olyntusa , który przesłał je swemu wujowi Arystotelesowi . Chociaż Simplicius jest bardzo późnym źródłem, jego relacja może być wiarygodna. Spędził trochę czasu na wygnaniu na dworze Sasanidów (perskim) i mógł mieć dostęp do źródeł zagubionych na Zachodzie. Uderzające jest to, że wspomina o tytule tèresis (gr. straż), co jest dziwną nazwą dla dzieła historycznego, ale jest adekwatnym tłumaczeniem babilońskiego tytułu MassArt oznaczającego pilnowanie, ale też obserwowanie. W każdym razie uczeń Arystotelesa Kallippus z Cyzikosa wprowadził swój 76-letni cykl, który poprawił się w stosunku do 19-letniego cyklu Metonic , mniej więcej w tym czasie. Miał pierwszy rok swojego pierwszego cyklu na przesilenie letnie 28 czerwca 330 pne ( data kalendarza juliańskiego ), ale później wydaje się, że naliczył miesiące księżycowe od pierwszego miesiąca po decydującej bitwie Aleksandra pod Gaugamelą jesienią 331 pne. Tak więc Kallippus mógł uzyskać swoje dane ze źródeł babilońskich, a jego kalendarz mógł być oczekiwany przez Kidinnu. Wiadomo również, że babiloński kapłan znany jako Berossus napisał około 281 rpne księgę po grecku o (raczej mitologicznej) historii Babilonii, Babiloniakę , dla nowego władcy Antiocha I ; mówi się, że później założył szkołę astrologii na greckiej wyspie Kos . Innym kandydatem do nauczania Greków o astronomii / astrologii babilońskiej byli Sudini, którzy byli na dworze Attalosa I Sotera pod koniec III wieku p.n.e.

W każdym razie tłumaczenie zapisów astronomicznych wymagało głębokiej znajomości pisma klinowego , języka i procedur, więc wydaje się prawdopodobne, że zrobili to jacyś niezidentyfikowani Chaldejczycy. Teraz Babilończycy datowali swoje obserwacje w kalendarzu księżycowo-słonecznym, w którym miesiące i lata mają różną długość (odpowiednio 29 lub 30 dni; odpowiednio 12 lub 13 miesięcy). W tym czasie nie używali zwykłego kalendarza (na przykład opartego na cyklu Metonic, jak to zrobili później), ale rozpoczęli nowy miesiąc w oparciu o obserwacje Księżyca w nowiu . To sprawiało, że obliczanie odstępów czasu między zdarzeniami było bardzo żmudne.

To, co mógł zrobić Hipparch, to przekształcenie tych zapisów w kalendarz egipski , który używa stałego roku, zawsze 365 dni (składającego się z 12 miesięcy po 30 dni i 5 dodatkowych dni), co znacznie ułatwia obliczanie przedziałów czasowych. Ptolemeusz datował wszystkie obserwacje w tym kalendarzu. Pisze również, że „Wszystko, co zrobił (=Hipparch) to sporządzenie kompilacji obserwacji planetarnych ułożonych w bardziej użyteczny sposób” ( Almagest IX.2). Pliniusz stwierdza ( Naturalis Historia II.IX(53)) o przepowiedniach zaćmienia: „Po ich czasach (= Tales ) bieg obu gwiazd (=Słońca i Księżyca) przez 600 lat był prorokowany przez Hipparcha, …”. Wydaje się to sugerować, że Hipparch przewidział zaćmienia na okres 600 lat, ale biorąc pod uwagę ogromną ilość wymaganych obliczeń, jest to bardzo mało prawdopodobne. Hipparch raczej sporządziłby listę wszystkich zaćmień od czasów Nabonassera do jego własnego.

Inne ślady praktyki babilońskiej w pracy Hipparcha to:

  • Pierwsze znane greckie zastosowanie podziału koła w 360 stopniach po 60 minutach łuku .
  • pierwsze konsekwentne użycie systemu liczb sześćdziesiętnych .
  • użycie jednostki pechus („łokieć”) około 2° lub 2½°.
  • zastosowanie krótkiego okresu 248 dni = 9 anomalistycznych miesięcy.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia