Przestrzeń Baire'a (teoria mnogości) - Baire space (set theory)

W teorii mnogości , przestrzeń baire'a jest zestaw wszystkich nieskończonych ciągów z liczb naturalnych z pewnej topologii . Przestrzeń ta jest powszechnie używana w opisowej teorii mnogości do tego stopnia, że ​​jej elementy są często nazywane „rzeczywistymi”. Jest oznaczany N N , Ohm Ohm, symbol lub też Ohm Ohm , nie należy mylić z policzalnych porządkowej otrzymanej porządkowej potęgowania .

Przestrzeń Baire'a określa się jako iloczyn z przeliczalnie nieskończenie wiele kopii zbioru liczb naturalnych, a jej topologię produktu (gdzie każda kopia zbioru liczb naturalnych podano w dyskretnych topologii ). Przestrzeń Baire'a jest często reprezentowana za pomocą drzewa skończonych ciągów liczb naturalnych.

Przestrzeń Baire'a można skontrastować z przestrzenią Cantora , zbiorem nieskończonych ciągów cyfr binarnych .

Topologia i drzewa

Topologia produkt używany do określenia przestrzeń baire'a może być opisany bardziej konkretnie w odniesieniu do drzew. Te podstawowe zbiory otwarte topologii produktu są cylindryczne zestawy , o określonych jako:

Jeżeli wybrany jest dowolny skończony zbiór współrzędnych liczb naturalnych I={ i } i dla każdego i wybrana jest konkretna wartość liczby naturalnej v i , to zbiór wszystkich nieskończonych ciągów liczb naturalnych, które mają wartość v i na pozycji i, jest podstawowy zestaw otwarty. Każdy otwarty zestaw jest policzalnym połączeniem zbioru tych elementów.

Używając bardziej formalnej notacji, można zdefiniować poszczególne cylindry jako

dla stałej lokalizacji n i liczby całkowitej v . Cylindry są wtedy generatorami dla zestawów cylindrów: zestawy cylindrów składają się wtedy ze wszystkich przecięć skończonej liczby cylindrów. Oznacza to, że mając dowolny skończony zbiór współrzędnych liczb naturalnych i odpowiadające im wartości liczb naturalnych dla każdego , bierze się pod uwagę przecięcie walców

To przecięcie nazywa się zestawem cylindrów , a zestaw wszystkich takich zestawów cylindrów stanowi podstawę topologii produktu . Każdy otwarty zestaw jest policzalnym połączeniem takich zestawów cylindrów.

Przechodząc do innej bazy dla tej samej topologii, można uzyskać alternatywną charakterystykę zbiorów otwartych:

Jeżeli wybrano ciąg liczb naturalnych { w i  : i < n }, to zbiór wszystkich nieskończonych ciągów liczb naturalnych, które mają wartość w i na pozycji i dla wszystkich i < n jest zbiorem podstawowym otwartym. Każdy otwarty zestaw jest policzalnym połączeniem zbioru tych elementów.

Zatem podstawowym zbiorem otwartym w przestrzeni Baire'a jest zbiór wszystkich nieskończonych ciągów liczb naturalnych rozciągających się na wspólny skończony początkowy odcinek τ . Prowadzi to do przedstawienia przestrzeni Baire'a jako zbioru wszystkich nieskończonych ścieżek przechodzących przez pełne drzewo ω skończonych ciągów liczb naturalnych uporządkowanych przez rozszerzenie. Każdy skończony segment początkowy jest węzłem drzewa ciągów skończonych. Każdy otwarty zbiór jest określony przez (prawdopodobnie nieskończoną) sumę węzłów tego drzewa. Punkt w przestrzeni Baire'a znajduje się w zbiorze otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy jego ścieżka przechodzi przez jeden z węzłów w unii determinującej.

Przedstawienie przestrzeni Baire'a jako ścieżek przez drzewo daje również charakterystykę zbiorów zamkniętych. Każdy punkt w przestrzeni Baire'a przechodzi przez ciąg węzłów ω . Zestawy zamknięte są dopełnieniem zestawów otwartych. Każdy zamknięty zbiór składa się ze wszystkich sekwencji Baire'a, które nie przechodzą przez żaden węzeł, który definiuje jego komplementarny zbiór otwarty. Dla dowolnego zamkniętego podzbioru C przestrzeni Baire'a istnieje poddrzewo T o ω < takie, że dowolny punkt x znajduje się w C wtedy i tylko wtedy, gdy x jest ścieżką przez T : poddrzewo T składa się ze wszystkich początkowych segmentów elementów C . Odwrotnie, zbiór ścieżek przechodzących przez dowolne poddrzewo ω jest zbiorem domkniętym.

Produkty kartezjańskie mają również alternatywną topologię, topologię pudełkową . Ta topologia jest znacznie dokładniejsza niż topologia produktu, ponieważ nie ogranicza zestawu wskaźników do skończonego. Konwencjonalnie przestrzeń Baire'a nie odnosi się do tej topologii; odnosi się tylko do topologii produktu.

Nieruchomości

Przestrzeń Baire ma następujące właściwości:

  1. Jest to idealna polska przestrzeń , co oznacza, że ​​jest to całkowicie metryzowalna druga policzalna przestrzeń bez punktów odosobnionych . Jako taka ma taką samą kardynalność jak linia rzeczywista i jest przestrzenią Baire'a w topologicznym znaczeniu tego słowa.
  2. Jest zerowymiarowy i całkowicie oderwany .
  3. Nie jest lokalnie zwarty .
  4. Jest uniwersalna dla polskich przestrzeni w tym sensie, że można ją w sposób ciągły mapować na dowolną niepustą polską przestrzeń. Co więcej, każda polska przestrzeń ma gęstą podprzestrzeń G δ homeomorficzną do podprzestrzeni G δ przestrzeni Baire'a.
  5. Przestrzeń Baire'a jest homeomorficzna dla produktu dowolnej skończonej lub policzalnej liczby jej kopii.
  6. Jest to grupa automorfizmu nieskończenie nasyconego modelu jakiejś kompletnej teorii .

Stosunek do linii rzeczywistej

Przestrzeń Baire'a jest homeomorficzna w stosunku do zbioru liczb niewymiernych, gdy otrzymuje się topologię podprzestrzenną odziedziczoną z linii rzeczywistej. Homeomorfizm między przestrzenią Baire'a a irracjonalnymi może być skonstruowany przy użyciu ułamków łańcuchowych . Oznacza to, że mając ciąg , możemy przypisać odpowiednią liczbę niewymierną większą niż 1

Używając , otrzymujemy inny homeomorfizm od do niewymiernych w przedziale otwartej jednostki i możemy zrobić to samo dla ujemnych niewymiernych. Widzimy, że irracjonalne są topologiczną sumą czterech przestrzeni homeomorficznych dla przestrzeni Baire'a, a zatem również homeomorficznych dla przestrzeni Baire'a.

Z punktu widzenia opisowej teorii mnogości fakt, że linia rzeczywista jest połączona, powoduje trudności techniczne. Z tego powodu częściej bada się przestrzeń Baire'a. Ponieważ każda polska przestrzeń jest ciągłym obrazem przestrzeni Baire'a, często można udowodnić wyniki dotyczące dowolnych polskich przestrzeni, pokazując, że te własności obowiązują dla przestrzeni Baire'a i są zachowane przez funkcje ciągłe .

Ohm Ohm jest również niezależny, ale moll zainteresowania analizy rzeczywistych , gdzie jest uważany jako przestrzeni jednorodnej . Jednorodne struktury ω ω i Ir (irracjonalne) są jednak różne: ω ω jest zupełne w swojej zwykłej metryce, podczas gdy Ir nie jest (chociaż te przestrzenie są homeomorficzne).

Operator zmiany

Operatora przesunięcia na przestrzeń baire'a kiedy odwzorowywany do odstępu jednostkowego z liczb rzeczywistych , staje się operator Gaussa-Kuzmin-Wirsing . Oznacza to, że przy danej sekwencji operator przesunięcia T zwraca . Podobnie, biorąc pod uwagę ułamek łańcuchowy , zwraca się mapa Gaussa . Odpowiednim operatorem dla funkcji od przestrzeni Baire'a do płaszczyzny zespolonej jest operator Gaussa-Kuzmina-Wirsinga ; jest to operator transferu mapy Gaussa. Oznacza to, że rozważa się mapy od przestrzeni Baire'a do płaszczyzny zespolonej . Ta przestrzeń map dziedziczy topologię z topologii produktu w przestrzeni Baire'a; na przykład można rozważyć funkcje o jednostajnej zbieżności . Mapa przesunięcia, działająca na tę przestrzeń funkcji, jest wtedy operatorem GKW.

Haar środek operatora przesunięcia, to znaczy, że funkcja jest niezmienny podczas przesunięcia, jest przez środek Minkowskiego . Oznacza to, że mamy to , gdzie T jest przesunięciem, a E dowolnym mierzalnym podzbiorem ω ω .

Zobacz też

Bibliografia


  • Kechris, Aleksander S. (1994). Klasyczna opisowa teoria mnogości . Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-94374-9.
  • Moschovakis, Yiannis N. (1980). Opisowa teoria mnogości . Północna Holandia. Numer ISBN 0-444-70199-0.