Przypuszczenie Bauma – Connesa - Baum–Connes conjecture

W matematyce , zwłaszcza w operatora K-teorii The przypuszczenie Baum-Connes wskazuje na związek pomiędzy K-teorii o zmniejszonej C * -algebra z grupy a K homologii z przestrzeni klasyfikującym z właściwego działania tej grupy. Hipoteza ustanawia zgodność między różnymi dziedzinami matematyki, przy czym homologia K przestrzeni klasyfikacyjnej jest powiązana z geometrią, teorią operatorów różniczkowych i teorią homotopii , podczas gdy teoria K zredukowanej C * -algebry grupy jest czysto obiekt analityczny.

To przypuszczenie, jeśli jest prawdziwe, miałoby pewne starsze znane przypuszczenia jako konsekwencje. Na przykład, część suriektywności implikuje hipotezę Kadisona-Kaplansky'ego dla dyskretnych grup wolnych od skręcania , a iniekcyjność jest ściśle związana z hipotezą Novikova .

Hipoteza jest również ściśle związane z teorią indeksu , ponieważ mapa montaż jest rodzajem wskaźnika, a także odgrywa ważną rolę w Alain Connes ' nieprzemiennej geometrii programu. ${\ displaystyle \ mu}$

Początki przypuszczenia sięgają teorii Fredholma , twierdzenia o indeksie Atiyah – Singera i wzajemnych oddziaływań geometrii z teorią operatora K, wyrażonej w pracach Browna, Douglasa i Fillmore'a, wśród wielu innych motywujących tematów.

Sformułowanie

Niech Γ będzie drugą policzalną lokalnie zwartą grupą (na przykład policzalną grupą dyskretną ). Można zdefiniować morfizm

${\ Displaystyle \ mu: RK _ {*} ^ {\ Gamma} ({\ podkreślenie {E \ Gamma}}) \ do K _ {*} (C_ {r} ^ {*} (\ Gamma)),}$

zwana mapą składania , od ekwiwariantnej homologii K z -kompaktowymi podporami przestrzeni klasyfikacyjnej działań właściwych do K-teorii zredukowanej C * -algebry Γ. Indeks dolny _* może wynosić 0 lub 1. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle {\ underline {E \ Gamma}}}$

Paul Baum i Alain Connes przedstawili następującą hipotezę (1982) na temat tego morfizmu:

Hipoteza Bauma-Connesa. Mapa zespołu jest izomorfizmem .${\ displaystyle \ mu}$

Ponieważ lewa strona wydaje się być łatwiej dostępna niż prawa strona, ponieważ prawie nie ma żadnych ogólnych twierdzeń dotyczących struktury -algebry, zwykle postrzega się hipotezę jako „wyjaśnienie” prawej strony. ${\ displaystyle C ^ {*}}$

Pierwotne sformułowanie hipotezy było nieco inne, ponieważ pojęcie równoważnej homologii K nie było jeszcze powszechne w 1982 roku.

W przypadku, jest dyskretny i skręcanie, lewa strona zmniejsza się do nie-equivariant K homologii kompaktowych podpór zwykłej przestrzeni klasyfikującym z . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle B \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Istnieje również bardziej ogólna forma hipotezy, znana jako hipoteza Bauma-Connesa ze współczynnikami, w której obie strony mają współczynniki w postaci a -algebry, na którą działają przez -automorfizmy. Mówi w języku KK, że mapa zespołu ${\ displaystyle C ^ {*}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle C ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ mu _ {A, \ Gamma}: RKK _ {*} ^ {\ Gamma} ({\ podkreślenie {E \ Gamma}}, A) \ do K _ {*} (A \ rtimes _ {\ lambda} \ Gamma),}$

jest izomorfizmem, zawierającym przypadek bez współczynników jako przypadek ${\ Displaystyle A = \ mathbb {C}.}$

Jednak kontrprzykłady do przypuszczenia ze współczynnikami zostały znalezione w 2002 roku przez Nigela Higsona , Vincenta Lafforgue'a i Georges'a Skandalisa . Jednak przypuszczenie ze współczynnikami pozostaje aktywnym obszarem badań, ponieważ, podobnie jak przypuszczenie klasyczne, jest często postrzegane jako stwierdzenie dotyczące określonych grup lub klas grup.

Przykłady

Niech będą liczbami całkowitymi . Potem lewa strona jest K-homologii z którym jest koło. -Algebra z liczb całkowitych jest przez przemienne Gelfand-Naimark przekształcać, który redukuje się do transformaty Fouriera w tym przypadku, izomorficzna z algebrą funkcji ciągłych na okręgu. A więc po prawej stronie znajduje się topologiczna K-teoria koła. Można zatem wykazać, że mapą montażu jest dwoistość Poincaré oparta na teorii KK, zdefiniowana przez Gennadiego Kasparowa , która jest izomorfizmem. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle B \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle C ^ {*}}$

Wyniki

Hipoteza bez współczynników jest nadal otwarta, chociaż dziedzina ta cieszy się dużym zainteresowaniem od 1982 roku.

Przypuszczenie zostało udowodnione dla następujących klas grup:

• Dyskretne podgrupy i .${\ Displaystyle SO (n, 1)}$${\ Displaystyle SU (n, 1)}$
• Grupy z właściwością Haagerup , czasami nazywane grupami aT-menable . Są to grupy, które dopuszczają izometryczną akcję na afinicznej przestrzeni Hilberta, która jest właściwa w tym sensie, że dla wszystkich i wszystkich sekwencji elementów grupowych z . Przykłady AT menable grup są grupy podatne , grupy Coxeter , grupy działające odpowiednio na drzewach oraz grupy działające odpowiednio na wprost związanych kompleksów sześciennych.${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} g_ {n} \ xi \ do \ infty}$${\ displaystyle \ xi \ in H}$${\ displaystyle g_ {n}}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} g_ {n} \ do \ infty}$${\ Displaystyle CAT (0)}$
• Grupy, które dopuszczają skończoną prezentację z tylko jedną relacją.
• Dyskretne współkompaktowe podgrupy prawdziwych grup Liego o realnej randze 1.
• Kraty Cocompact w lub . To był długotrwały problem od pierwszych dni przypuszczenia, aby ujawnić jedną nieskończoną właściwość grupy T, która ją spełnia. Jednak taką grupę podał V. Lafforgue w 1998 r., Wykazując, że kraty kokompaktowe mają właściwość szybkiego rozpadu i tym samym spełniają przypuszczenie.${\ Displaystyle SL (3 \ mathbb {R}), SL (3 \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle SL (3, \ mathbb {Q} _ {p})}$${\ Displaystyle SL (3, \ mathbb {R})}$
• Grupy hiperboliczne Gromova i ich podgrupy.
• Spośród grup niedyskretnych hipotezę przedstawili w 2003 roku J.Chabert, S. Echterhoff i R. Nest dla ogromnej klasy wszystkich grup prawie połączonych (tj. Grup posiadających współkompaktowy komponent połączony) i wszystkich grup -racjonalnych punkty liniowej grupy algebraicznej nad ciałem lokalnym o charakterystycznym zerze (np .). W przypadku ważnej podklasy prawdziwych grup redukcyjnych, przypuszczenie to zostało już wykazane w 1987 roku przez Antony'ego Wassermanna .${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = \ mathbb {Q} _ {p}}$

Iniektywność jest znana ze znacznie większej klasy grup dzięki metodzie Diraca-dual-Diraca. To sięga do pomysłów Michaela Atiyah i zostało opracowane w dużej ogólności przez Gennadiego Kasparowa w 1987 roku. Injectivity jest znany z następujących klas:

• Dyskretne podgrupy połączonych grup Lie lub wirtualnie połączonych grup Lie.
• Dyskretne podgrupy grup p-adycznych .
• Grupy boliczne (pewne uogólnienie grup hiperbolicznych).
• Grupy, które przyznają się do działania na niewielkiej przestrzeni.

Najprostszym przykładem grupy, dla której nie wiadomo, czy spełnia to przypuszczenie, jest . ${\ Displaystyle SL_ {3} (\ mathbb {Z})}$

Bibliografia

• Mislin, Guido & Valette, Alain (2003), Proper Group Actions and the Baum-Connes Conjecture , Bazylea: Birkhäuser, ISBN 0-8176-0408-1.
• Valette, Alain (2002), Introduction to the Baum-Connes Conjecture , Bazylea: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6706-0.

Linki zewnętrzne

• O przypuszczeniu Bauma-Connesa Dmitrija Matsniewa.