Operacja binarna -Binary operation

Operacja binarna to zasada łączenia argumentów x i y w celu uzyskania

W matematyce operacja binarna lub operacja diadyczna jest zasadą łączenia dwóch elementów (zwanych operandami ) w celu utworzenia innego elementu. Bardziej formalnie, operacja binarna jest operacją arity dwa .

Dokładniej, operacja binarna na zestawie to operacja, której dwie domeny i codomena są tym samym zestawem. Przykłady obejmują znane operacje arytmetyczne dodawania , odejmowania i mnożenia . Inne przykłady można łatwo znaleźć w różnych dziedzinach matematyki, takich jak dodawanie wektorów , mnożenie macierzy i koniugacja w grupach .

Operacja arity dwa, która obejmuje kilka zbiorów, jest czasami nazywana operacją binarną . Na przykład, mnożenie przez skalar przestrzeni wektorowych wymaga skalara i wektora, aby utworzyć wektor, a iloczyn skalarny wymaga dwóch wektorów, aby utworzyć skalar. Takie operacje binarne można nazwać po prostu funkcjami binarnymi .

Operacje binarne są podstawą większości struktur algebraicznych, które są badane w algebrze , w szczególności półgrup , monoidów , grup , pierścieni , pól i przestrzeni wektorowych .

Terminologia

Dokładniej, operacja binarna na zbiorze S jest odwzorowaniem elementów iloczynu kartezjańskiego S × S na S :

Ponieważ wynik wykonania operacji na parze elementów S jest ponownie elementem S , operacja nazywana jest zamkniętą (lub wewnętrzną ) operacją binarną na S (lub czasami wyrażana jako posiadanie właściwości closure ).

Jeśli f nie jest funkcją , ale funkcją częściową , to f jest nazywane częściową operacją binarną . Na przykład dzielenie liczb rzeczywistych jest operacją częściową binarną, ponieważ nie można dzielić przez zero : a /0 jest nieokreślone dla każdej liczby rzeczywistej a . Zarówno w algebrze uniwersalnej, jak iw teorii modeli , operacje binarne muszą być zdefiniowane na wszystkich elementach S × S.

Czasami, zwłaszcza w informatyce , termin operacja binarna jest używany dla dowolnej funkcji binarnej .

Właściwości i przykłady

Typowymi przykładami operacji binarnych są dodawanie (+) i mnożenie (×) liczb i macierzy , a także składanie funkcji na pojedynczym zestawie. Na przykład,

  • Na zbiorze liczb rzeczywistych R , f ( a , b ) = a + b jest operacją binarną, ponieważ suma dwóch liczb rzeczywistych jest liczbą rzeczywistą.
  • Na zbiorze liczb naturalnych N , f ( a , b ) = a + b jest operacją binarną, ponieważ suma dwóch liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Jest to inna operacja binarna niż poprzednia, ponieważ zestawy są różne.
  • Na zbiorze M(2, R ) macierzy 2 × 2 z wpisami rzeczywistymi f ( A , B ) = A + B jest operacją binarną, ponieważ suma dwóch takich macierzy jest macierzą 2 × 2 .
  • Na zbiorze M(2, R ) macierzy 2 × 2 z wpisami rzeczywistymi f ( A , B ) = AB jest operacją binarną, ponieważ iloczyn dwóch takich macierzy jest macierzą 2 × 2 .
  • Dla danego zbioru C , niech S będzie zbiorem wszystkich funkcji h  : CC . Zdefiniuj f  : S × SS przez f ( h 1 , h 2 )( c ) = ( h 1h 2 ) ( c ) = h 1 ( h 2 ( c )) dla wszystkich cC , skład dwie funkcje h 1 i h 2 w S . Wtedy f jest operacją binarną, ponieważ złożenie tych dwóch funkcji jest ponownie funkcją na zbiorze C (to znaczy członkiem S ).

Wiele binarnych operacji będących przedmiotem zainteresowania zarówno w algebrze jak i logice formalnej jest przemiennych , spełniających f ( a , b ) = f ( b , a ) dla wszystkich elementów a i b w S lub asocjacyjnych , spełniających f ( f ( a , b ) ), c ) = f ( a , f ( b , c ) ) dla wszystkich a , b i c w S . Wiele z nich ma również elementy tożsamości i elementy odwrotne .

Pierwsze trzy powyższe przykłady są przemienne, a wszystkie powyższe są asocjacyjne.

Na zbiorze liczb rzeczywistych R , odejmowanie , czyli f ( a , b ) = ab , jest operacją binarną, która nie jest przemienna, ponieważ generalnie abba . Nie jest również asocjacyjne, ponieważ w ogólności a − ( bc ) ≠ ( ab ) − c ; na przykład 1 − (2 − 3) = 2 ale (1 − 2) − 3 = −4 .

Na zbiorze liczb naturalnych N , potęgowanie operacji binarnej , f ( a , b ) = a b , nie jest przemienne, ponieważ a bb a (por. równanie x y = y x ), a także nie jest asocjacyjne, ponieważ f ( f ( a , b ), c ​​) ≠ f ( a , f ( b , c ) ) . Na przykład przy a = 2 , b = 3 i c = 2 , f (2 3 ,2) = f (8,2) = 8 2 = 64 , ale f (2,3 2 ) = f (2, 9) = 2 9 = 512 . Zmieniając zestaw N na zestaw liczb całkowitych Z , ta operacja binarna staje się częściową operacją binarną, ponieważ jest teraz niezdefiniowana, gdy a = 0 i b jest dowolną ujemną liczbą całkowitą. Dla każdego zbioru ta operacja ma właściwą tożsamość (czyli 1), ponieważ f ( a , 1) = a dla wszystkich a ze zbioru, który nie jest identycznością (tożsamość dwustronna), ponieważ f (1, b ) ≠ b ogólnie.

Dzielenie (/), częściowa operacja binarna na zbiorze liczb rzeczywistych lub wymiernych, nie jest przemienna ani łączona. Tetracja (↑↑), jako operacja binarna na liczbach naturalnych, nie jest przemienna ani asocjacyjna i nie ma elementu tożsamości.

Notacja

Operacje binarne są często zapisywane przy użyciu notacji infiksowej , takiej jak a b , a + b , a · b lub (przez zestawienie bez symbolu) ab , a nie za pomocą notacji funkcjonalnej w postaci f ( a , b ) . Potęgi są zwykle zapisywane bez operatora, ale z drugim argumentem w postaci indeksu górnego .

Operacje binarne są czasami zapisywane przy użyciu notacji przedrostkowej lub (częściej) przyrostkowej, z których oba nie wymagają nawiasów. Nazywa się je również odpowiednio notacją polską i notacją odwrotną polską .

Para i krotka

Operacja binarna, ab , zależy od uporządkowanej pary ( a , b ) i tak ( ab ) c (gdzie nawiasy oznaczają tutaj najpierw operowanie na uporządkowanej parze ( a , b ), a następnie operowanie na wyniku tego przy użyciu uporządkowanej para (( ab ), c ​​)) zależy ogólnie od pary uporządkowanej (( a , b ), c ​​). Tak więc w ogólnym, nieskojarzonym przypadku operacje binarne mogą być reprezentowane przez drzewa binarne .

Jednakże:

  • Jeśli operacja jest asocjacyjna ( ab ) c = a ( bc ), to wartość ( ab ) c zależy tylko od krotki ( a , b , c ).
  • Jeśli operacja jest przemienna, ab = ba , to wartość ( ab ) c zależy tylko od { { a , b } , c } , gdzie nawiasy klamrowe oznaczają multisets .
  • Jeśli operacja jest zarówno asocjacyjna, jak i przemienna, wówczas wartość ( ab ) c zależy tylko od wielozbioru { a , b , c }.
  • Jeśli operacja jest asocjacyjna, przemienna i idempotentna , aa = a , to wartość ( ab ) c zależy tylko od zbioru { a , b , c }.

Operacje binarne jako relacje trójskładnikowe

Operację binarną f na zbiorze S można postrzegać jako relację trójskładnikową na S , czyli zbiór trójek ( a , b , f ( a, b )) w S × S × S dla wszystkich a i b w S .

Zewnętrzne operacje binarne

Zewnętrzna operacja binarna to funkcja binarna od K × S do S . Różni się to od operacji binarnej na zbiorze w tym sensie, że K nie musi być S ; jego elementy pochodzą z zewnątrz .

Przykładem zewnętrznej operacji binarnej jest mnożenie przez skalar w algebrze liniowej . Tutaj K jest polem, a S jest przestrzenią wektorową nad tym polem.

Niektóre zewnętrzne operacje binarne mogą być alternatywnie postrzegane jako działanie K na S . Wymaga to istnienia mnożenia asocjacyjnego w K oraz zasady zgodności postaci gdzie i (tu zarówno operacja zewnętrzna, jak i mnożenie w K są oznaczone przez zestawienie).

Iloczyn skalarny dwóch wektorów odwzorowuje S × S na K , gdzie K jest polem, a S jest przestrzenią wektorową nad K . Od autorów zależy, czy jest to operacja binarna.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Fraleigh, John B. (1976), Pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej (2nd ed.), Czytanie: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
  • Hall Jr., Marshall (1959), Teoria grup , New York: Macmillan
  • Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Algebra stosowana: kody, szyfry i algorytmy dyskretne , Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
  • Rotman, Joseph J. (1973), Teoria grup: wprowadzenie (2nd ed.), Boston: Allyn i Bacon

Linki zewnętrzne