Twierdzenie Boole'a pierwszego idealnego - Boolean prime ideal theorem

W matematyce , twierdzenie o ideale pierwszym stanowi, że ideały w algebrze Boole'a można rozszerzyć na ideał pierwszy . Odmiana tego stwierdzenia dla filtrów w zestawach jest znana jako lemat ultrafiltracji . Inne twierdzenia uzyskuje się, rozważając różne struktury matematyczne z odpowiednimi pojęciami ideałów, na przykład pierścienie i ideały pierwsze (teoria pierścieni) lub kraty rozdzielcze i ideały maksymalne ( teorii rzędów ). Ten artykuł skupia się na głównych twierdzeniach idealnych z teorii rzędów.

Chociaż różne twierdzenia o ideałach pierwotnych mogą wydawać się proste i intuicyjne, nie można ich generalnie wyprowadzić z aksjomatów teorii mnogości Zermelo-Fraenkla bez aksjomatu wyboru (w skrócie ZF). Zamiast tego, niektóre twierdzenia okazują się równoważne aksjomatowi wyboru (AC), podczas gdy inne — na przykład twierdzenie Boole’a o ideałach pierwotnych — reprezentują własność, która jest ściśle słabsza niż AC. To właśnie z powodu tego pośredniego statusu pomiędzy ZF i ZF + AC (ZFC) boolowskie twierdzenie o ideałach pierwotnych jest często traktowane jako aksjomat teorii mnogości. Skróty BPI lub PIT (dla algebr Boole'a) są czasami używane w odniesieniu do tego dodatkowego aksjomatu.

Twierdzenia o ideałach pierwotnych

Celu idealnie jest (niepusty) skierowane dolny zestaw . Jeśli rozważany częściowo uporządkowany zbiór (poset) ma supremę binarną (aka łączy ), podobnie jak posety w tym artykule, to jest to równoważnie scharakteryzowane jako niepusty niższy zbiór I, który jest zamknięty dla supremy binarnej (czyli implikuje ) . Idealne I jest pierwsze, jeśli jego dopełnieniem teoretycznym w posecie jest filtr (czyli implikuje lub ). Ideały są słuszne, jeśli nie są równe całej pozie.

Historycznie pierwsze stwierdzenie odnoszące się do późniejszych twierdzeń o ideałach pierwotnych odnosiło się w rzeczywistości do filtrów — podzbiorów, które są ideałami w odniesieniu do podwójnego porządku. Lemat o ultrafiltrze mówi, że każdy filtr w zestawie jest zawarty w jakimś maksymalnym (właściwym) filtrze – ultrafiltrze . Przypomnij sobie, że filtry w zbiorach są właściwymi filtrami algebry Boole'a jej powersetu . W tym szczególnym przypadku, filtry maksymalne (tzn. filtry, które nie są ścisłymi podzbiorami żadnego właściwego filtra) i filtry główne (tzn. filtry, które w każdym połączeniu podzbiorów X i Y zawierają również X lub Y ) pokrywają się. Dualizm tego stwierdzenia zapewnia zatem, że każdy ideał zbioru władzy zawiera się w ideale pierwszym.

Powyższe stwierdzenie doprowadziło do różnych uogólnionych twierdzeń o ideałach pierwszych, z których każde istnieje w formie słabej i silnej. Twierdzenia o słabych ideałach pierwszych mówią, że każda nietrywialna algebra pewnej klasy ma przynajmniej jeden ideał pierwszy. W przeciwieństwie do tego, twierdzenia o silnych ideałach pierwszych wymagają, aby każdy ideał, który jest rozłączny z danym filtrem, mógł zostać rozszerzony do ideału pierwszego, który jest nadal rozłączny z tym filtrem. W przypadku algebr, które nie są posetami, zamiast filtrów używa się różnych podstruktur. Wiele form tych twierdzeń jest faktycznie równoważnych, tak więc twierdzenie, że „PIT” jest słuszne, jest zwykle traktowane jako twierdzenie, że odpowiednie zdanie dla algebr Boole'a (BPI) jest prawidłowe.

Inną odmianę podobnych twierdzeń uzyskuje się przez zastąpienie każdego wystąpienia ideału pierwszego przez ideał maksymalny . Odpowiadające im twierdzenia o maksymalnych ideałach (MIT) są często – choć nie zawsze – silniejsze niż ich odpowiedniki PIT.

Twierdzenie Boole'a pierwszego idealnego

Twierdzenie Boole'a o ideałach pierwszych jest twierdzeniem o silnych ideałach pierwszych dla algebr Boole'a. Zatem formalne oświadczenie brzmi:

Niech B będzie algebrą Boole'a , ja niech będzie ideałem i niech F będzie filtrem B , takim że I i F są rozłączne . Wtedy I jest zawarty w jakimś idealnym ideale B, który jest rozłączny od F .

Twierdzenie o słabych liczbach pierwszych dla algebr Boole'a mówi po prostu:

Każda algebra Boole'a zawiera ideał pierwszy.

Oświadczenia te nazywamy słabym i silnym BPI . Oba są równoważne, ponieważ silny BPI wyraźnie implikuje słaby BPI, a odwrotną implikację można osiągnąć za pomocą słabego BPI, aby znaleźć pierwsze ideały w odpowiedniej algebrze ilorazu.

BPI można wyrazić na różne sposoby. W tym celu przypomnij sobie następujące twierdzenie:

Dla dowolnego ideału I algebry Boole'a B , następujące są równoważne:

  • Ja jestem ideałem podstawowym.
  • I jest ideałem maksymalnym, tj. dla dowolnego ideału właściwego J , jeśli I jest zawarty w J to I = J .
  • Dla każdego elementu A z B , I zawiera dokładnie jeden { , ¬ }.

Twierdzenie to jest dobrze znanym faktem dla algebr Boole'a. Jego podwójność stanowi równoważność filtrów wstępnych i ultrafiltrów. Zauważ, że ta ostatnia własność jest w rzeczywistości samodwoista — tylko uprzednie założenie, że ja jestem ideałem, daje pełną charakterystykę. Wszystkie implikacje zawarte w tym twierdzeniu można udowodnić w ZF.

Zatem następujące (silne) maksymalne twierdzenie idealne (MIT) dla algebr Boole'a jest równoważne BPI:

Niech B będzie algebrą Boole'a, ja niech będzie ideałem i niech F będzie filtrem B , takim, że I i F są rozłączne. Wtedy ja jest zawarty w jakimś maksymalnym ideale B, który jest rozłączny z F .

Zauważ, że wymaga się „globalnej” maksymalizacji, a nie tylko maksymalizacji w odniesieniu do bycia rozłącznym od F . Jednak ta zmiana daje inną równoważną charakterystykę BPI:

Niech B będzie algebrą Boole'a, ja niech będzie ideałem i niech F będzie filtrem B , takim, że I i F są rozłączne. Wtedy ja zawarty jest w jakimś ideale B, który jest maksymalny wśród wszystkich ideałów rozłącznych od F .

Fakt, że to stwierdzenie jest równoważne BPI, można łatwo ustalić, odnotowując następujące twierdzenie: Dla dowolnej sieci rozdzielczej L , jeśli ideał I jest maksymalny wśród wszystkich ideałów L, które są rozłączne z danym filtrem F , wtedy I jest ideałem pierwszym . Dowód na to twierdzenie (co znowu można przeprowadzić w teorii mnogości ZF) znajduje się w artykule o ideałach. Ponieważ każda algebra Boole'a jest kratą rozdzielczą, pokazuje to pożądaną implikację.

Wszystkie powyższe stwierdzenia są teraz łatwo równoważne. Idąc dalej, można wykorzystać fakt, że podwójne rzędy algebr Boole'a są dokładnie samymi algebrami Boole'a. Stąd, biorąc równoważne liczby dualne wszystkich poprzednich zdań, otrzymujemy pewną liczbę twierdzeń, które w równym stopniu odnoszą się do algebr Boole'a, ale gdzie każde wystąpienie ideału jest zastępowane przez filtr . Warto zauważyć, że w szczególnym przypadku, w którym rozważana algebra Boole'a jest zbiorem potęgowym z porządkowaniem podzbiorów , „twierdzenie o maksymalnym filtrze” nazywa się lematem o ultrafiltrze.

Podsumowując, dla algebr Boole'a słaby i silny MIT, słaby i silny PIT oraz te stwierdzenia z filtrami zamiast ideałów są równoważne. Wiadomym jest, że wszystkie te stwierdzenia są konsekwencje aksjomatu wyboru , AC , (łatwa dowód korzysta z lematu Zorna ), ale nie można udowodnić w ZF (aksjomaty zermelo-fraenkela bez AC ), jeśli ZF jest spójna . Jednak BPI jest zdecydowanie słabszy niż aksjomat wyboru, choć dowód tego stwierdzenia, ze względu na JD Halperna i Azriela Lévy'ego, jest raczej nietrywialny.

Dalsze twierdzenia o ideałach pierwszych

Prototypowe własności , które zostały omówione dla algebr Boole'a w powyższej sekcji , mogą być łatwo modyfikowane , aby zawierały bardziej ogólne kraty , takie jak kraty rozdzielcze lub algebry Heytinga . Jednak w tych przypadkach ideały maksymalne różnią się od ideałów pierwotnych, a związek między PIT i MIT nie jest oczywisty.

Rzeczywiście, okazuje się, że MIT dla krat rozdzielczych, a nawet dla algebr Heytinga, są równoważne aksjomatowi wyboru. Z drugiej strony wiadomo, że silny PIT dla krat rozdzielczych jest równoważny BPI (tj. MIT i PIT dla algebr Boole'a). Stąd stwierdzenie to jest ściśle słabsze niż aksjomat wyboru. Co więcej, zauważ, że algebry Heytinga nie są samopodwójne, a zatem użycie filtrów zamiast ideałów daje różne twierdzenia w tym układzie. Może zaskakujące, że MIT dla podwójnych algebr Heytinga nie jest silniejszy niż BPI, co jest w ostrym kontraście do wspomnianego powyżej MIT dla algebr Heytinga.

Wreszcie, twierdzenia o ideałach pierwszych istnieją również dla innych (nie opartych na teorii porządku) algebr abstrakcyjnych. Na przykład MIT dla pierścieni implikuje aksjomat wyboru. Ta sytuacja wymaga zastąpienia terminu „filtr” w teorii rzędów innymi pojęciami — w przypadku pierścieni odpowiedni jest „podzbiór multiplikatywnie zamknięty”.

Lemat ultrafiltra

Główny artykuł: lemat o ultrafiltracji
Zobacz też: Topologia mnogościowa

Filtr na zbiorze X to niepusty zbiór niepustych podzbiorów zbioru X, który jest zamknięty pod skończonym przecięciem i pod nadzbiorem. Ultrafiltr to filtr maksymalny. Lemat ultrafiltru mówi, że każdy filtr w zbiorze X jest podzbiorem jakiegoś ultrafiltra w X . Ultrafiltr, który nie zawiera skończonych zestawów, nazywany jest „niegłównym”. Lemat ultrafiltracji, aw szczególności istnienie niegłównych ultrafiltrów (rozważ filtr wszystkich zestawów ze skończonymi dopełnieniami), można udowodnić za pomocą lematu Zorna .

Lemat ultrafiltra jest równoważny twierdzeniu logicznemu o ideałach pierwotnych, z równoważnością możliwą do udowodnienia w teorii mnogości ZF bez aksjomatu wyboru. Ideą dowodu jest to, że podzbiory dowolnego zbioru tworzą algebrę Boole'a częściowo uporządkowaną przez inkluzję, a każda algebra Boole'a jest reprezentowana jako algebra zbiorów przez twierdzenie Stone'a o reprezentacji .

Jeżeli zbiór X jest skończony, to lemat ultrafiltra można udowodnić z aksjomatów ZF. Nie dotyczy to już zbiorów nieskończonych; należy przyjąć dodatkowy aksjomat . Lemat Zorna , aksjomat wyboru i twierdzenie Tychonoffa mogą być wykorzystane do udowodnienia lematu ultrafiltracji. Lemat ultrafiltra jest ściśle słabszy niż aksjomat wyboru.

Lemat ultrafiltracji ma wiele zastosowań w topologii . Lemat ultrafiltra może być użyty do udowodnienia twierdzenia Hahna-Banacha i twierdzenia o podstawie podrzędnej Alexandra .

Aplikacje

Intuicyjnie, twierdzenie o ideałach pierwszych Boole'a stwierdza, że ​​w algebrze Boole'a jest „wystarczająco” ideałów pierwszych w tym sensie, że możemy rozszerzyć każdy ideał do maksymalnego. Ma to praktyczne znaczenie dla udowodnienia twierdzenia Stone'a o reprezentacji dla algebr Boole'a , szczególny przypadek dualizmu Stone'a , w którym wyposaża się zbiór wszystkich ideałów pierwszych w pewną topologię i rzeczywiście można z tego odzyskać oryginalną algebrę Boole'a ( aż do izomorfizmu ). dane. Ponadto okazuje się, że w zastosowaniach można dowolnie wybierać pracę z ideałami pierwszymi lub z filtrami pierwszymi, ponieważ każdy ideał jednoznacznie określa filtr: zbiór wszystkich boolowskich dopełnień jego elementów. W literaturze można znaleźć oba podejścia.

Wiele innych twierdzeń z ogólnej topologii, o których często mówi się, że opierają się na aksjomie wyboru, jest w rzeczywistości równoważnych BPI. Na przykład twierdzenie, że iloczyn zwartych przestrzeni Hausdorffa jest zwarty, jest mu równoważne. Jeśli pominiemy „Hausdorffa”, otrzymamy twierdzenie równoważne pełnemu aksjomatowi wyboru.

W teorii wykres The de Bruijn-Erdősa twierdzenie jest inny równoważny PBI. Stwierdza, że ​​jeśli dany graf nieskończony wymaga przynajmniej pewnej skończonej liczby k w dowolnym kolorowaniu grafu , to ma skończony podgraf, który również wymaga k .

Niezbyt dobrze znanym zastosowaniem twierdzenia o ideałach pierwotnych Boole'a jest istnienie zbioru niemierzalnego (zwykle podawanym przykładem jest zbiór Vitali , który wymaga aksjomatu wyboru). Z tego oraz z faktu, że BPI jest ściśle słabszy niż aksjomat wyboru, wynika, że ​​istnienie zbiorów niemierzalnych jest ściśle słabsze niż aksjomat wyboru.

W algebrze liniowej twierdzenie Boole'a o ideałach pierwszych może być użyte do udowodnienia, że ​​dowolne dwie bazy danej przestrzeni wektorowej mają tę samą kardynalność .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Łatwe do odczytania wprowadzenie, pokazujące równoważność PIT dla algebr Boole'a i krat rozdzielczych.
Teoria zawarta w tej książce często wymaga zasad wyboru. Notatki w różnych rozdziałach omawiają ogólny związek twierdzeń z PIT i MIT dla różnych struktur (choć głównie krat) i dają wskazówki do dalszej literatury.
Omawia stan lematu ultrafiltra.
Podaje wiele równoważnych stwierdzeń dla BPI, w tym twierdzenia o ideałach pierwszych dla innych struktur algebraicznych. PIT są uważane za szczególne przypadki lematów separacyjnych.