Zestaw Borel - Borel set

W matematyce , A set Borel jest dowolny zestaw w przestrzeni topologicznej , które mogą być wytwarzane z otwartych odbiorników (lub, równoważnie, z zamkniętymi zestawów ) przez wykonanie operacji przedstawionych policzalnych jedności , policzalnych przecięcia i względnej dopełniacza . Zestawy Borel noszą imię Émile Borel .

Dla przestrzeni topologicznej X zbiór wszystkich zbiorów borelowskich na X tworzy σ-algebrę , znaną jako algebra Borela lub Borel σ-algebra . Algebra Borela na X jest najmniejszą σ-algebrą zawierającą wszystkie zbiory otwarte (lub równoważnie wszystkie zbiory zamknięte).

Zbiory borelowskie są ważne w teorii miary , ponieważ każda miara zdefiniowana na otwartych zbiorach przestrzeni lub na zbiorach domkniętych przestrzeni, musi być również zdefiniowana na wszystkich zbiorach borelowskich tej przestrzeni. Każda miara zdefiniowana w zbiorach borelowskich nazywana jest miarą borelowską . Zbiory borelowskie i związana z nimi hierarchia borelowska również odgrywają fundamentalną rolę w opisowej teorii zbiorów .

W niektórych kontekstach zbiory borelowskie są definiowane jako generowane przez zwarte zbiory przestrzeni topologicznej, a nie zbiory otwarte. Te dwie definicje są równoważne dla wielu dobrze zachowujących się przestrzeni, w tym wszystkich σ-zwartych przestrzeni Hausdorffa , ale mogą być różne w bardziej patologicznych przestrzeniach.

Generowanie algebry Borela

W przypadku, gdy X jest przestrzenią metryczną , algebra Borela w pierwszym sensie może być opisana generatywnie w następujący sposób.

Dla zbioru T podzbiorów zbioru X (to znaczy dla dowolnego podzbioru zbioru potęgowego P( X ) zbioru X ), niech

• ${\displaystyle T_{\sigma}}$być wszystkimi policzalnymi sumami elementów T
• ${\displaystyle T_{\delta}}$być wszystkimi policzalnymi przecięciami elementów T
• ${\ Displaystyle T_ {\ delta \ sigma} = (T_ {\ delta}) _ {\ sigma}.}$

Teraz zdefiniuj przez indukcję pozaskończoną ciąg G ^m , gdzie m jest liczbą porządkową , w następujący sposób:

• Dla przypadku bazowego definicji niech będzie kolekcja otwartych podzbiorów X .${\ Displaystyle G ^ {0}}$
• Jeśli i nie jest liczbą porządkową graniczną , to i ma bezpośrednio poprzedzającą liczbę porządkową i − 1. Niech
  $${\ Displaystyle G ^ {i} = [G ^ {i-1}] _ {\ delta \ sigma}.}$$

  
• Jeśli i jest limitem porządkowym, ustaw
  $${\ Displaystyle G ^ {i} = \ bigcup _ {j<i} G ^ {j}.}$$

  

Twierdzi się, że algebra Borela to G ^{ω ₁} , gdzie ω ₁ jest pierwszą niepoliczalną liczbą porządkową . Oznacza to, że algebrę Borela można wygenerować z klasy zbiorów otwartych przez iterację operacji

$${\ Displaystyle G \ mapsto G_ {\ delta \ sigma}.}$$

Aby udowodnić to twierdzenie, zauważ, że każdy otwarty zbiór w przestrzeni metrycznej jest sumą rosnącej sekwencji zbiorów zamkniętych. W szczególności komplementacja zbiorów odwzorowuje G ^m na siebie dla dowolnej granicznej liczby porządkowej m ; ponadto, jeśli m jest niepoliczalną liczbą porządkową limitu, G ^m jest zamknięty w ramach policzalnych związków.

Należy zauważyć, że dla każdego Borel zestaw B , istnieją pewne policzalny porządkowej α _B tak, że B może być uzyskane przez powtarzanie operacji w alfa _B . Jednakże, ponieważ B zmienia się we wszystkich zbiorach borelowskich, α _B będzie się zmieniać we wszystkich policzalnych liczbach porządkowych, a zatem pierwszą liczbą porządkową, przy której otrzymuje się wszystkie zbiory borelowskie, jest ω ₁ , pierwsza niepoliczalna liczba porządkowa.

Przykład

Ważnym przykładem, zwłaszcza w teorii prawdopodobieństwa , jest algebra Borela na zbiorze liczb rzeczywistych . Jest to algebra, na której definiowana jest miara borelowska . Biorąc pod uwagę rzeczywistą zmienną losową określoną na przestrzeni prawdopodobieństwa , jej rozkład prawdopodobieństwa jest z definicji również miarą algebry Borela.

Algebra Borela na liczbach rzeczywistych jest najmniejszą σ-algebrą na R, która zawiera wszystkie przedziały .

W konstrukcji przez indukcję pozaskończoną można wykazać, że w każdym kroku liczba zbiorów jest co najwyżej licznością kontinuum . Zatem całkowita liczba zbiorów borelowskich jest mniejsza lub równa

$${\ Displaystyle \ aleph _ {1} \ cdot 2 ^ {\ aleph _ {0}} \ = 2 ^ {\ aleph _ {0}}.}$$

W rzeczywistości liczność zbioru zbiorów borelowskich jest równa liczności kontinuum (porównaj liczbę istniejących zbiorów mierzalnych Lebesgue'a , która jest ściśle większa i równa ). ${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ aleph _ {0}}}}$

Standardowe przestrzenie borelowskie i twierdzenia Kuratowskiego

Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Przestrzeń borelowska skojarzona z X jest parą ( X , B ), gdzie B jest σ-algebrą zbiorów borelowskich X .

George Mackey nieco inaczej zdefiniował przestrzeń borelowską, pisząc, że jest to „zbiór wraz z wyróżnionym ciałem σ podzbiorów, zwanymi zbiorami borelowskimi”. Jednak współczesne zastosowanie polega na nazywaniu wyróżnionej podalgebry zbiorami mierzalnymi i takimi przestrzeniami przestrzeniami mierzalnymi . Powodem tego rozróżnienia jest to, że zbiory borelowskie są σ-algebrą generowaną przez zbiory otwarte (przestrzeni topologicznej), podczas gdy definicja Mackeya odnosi się do zbioru wyposażonego w dowolną σ-algebrę. Istnieją przestrzenie mierzalne, które nie są przestrzeniami borelowskimi, dla dowolnego wyboru topologii w przestrzeni bazowej.

Przestrzenie mierzalne tworzą kategorię, w której morfizmy są funkcjami mierzalnymi pomiędzy przestrzeniami mierzalnymi. Funkcja jest mierzalna, jeśli cofa zbiory mierzalne, tj. dla wszystkich zbiorów mierzalnych B w Y zbiór jest mierzalny w X . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\ Displaystyle f ^ {-1} (B)}$

Twierdzenie . Niech X będzie przestrzenią polską , to znaczy przestrzenią topologiczną taką, że istnieje metryka d na X, która definiuje topologię X i sprawia, że X będzie całkowitą przestrzenią metryczną separowalną . Wtedy X jako przestrzeń borelowska jest izomorficzna z jednym z

1. R ,
2. Z ,
3. skończona przestrzeń.

(Ten wynik przypomina twierdzenie Maharama .)

Rozważane jako przestrzenie borelowskie, prosta rzeczywista R , suma R ze zbiorem przeliczalnym oraz R ⁿ są izomorficzne.

Standardowa przestrzeń Borel jest przestrzeń Borel związany z polskiej przestrzeni . Standardowa przestrzeń borelowska charakteryzuje się aż do izomorfizmu przez swoją kardynalność, a każda niepoliczalna standardowa przestrzeń borelowska ma kardynalność kontinuum.

Dla podzbiorów przestrzeni polskich zbiory borelowskie można scharakteryzować jako zbiory będące zasięgami ciągłych map iniektywnych określonych na przestrzeniach polskich. Zauważ jednak, że zasięg ciągłej mapy nieiniekcyjnej może nie być borelowski. Zobacz zestaw analityczny .

Każda miara prawdopodobieństwa na standardowej przestrzeni Borela zamienia ją w standardową przestrzeń prawdopodobieństwa .

Zestawy nieborelowskie

Poniżej opisano przykład podzbioru liczb rzeczywistych nieborelskich ze względu na Lusin . W przeciwieństwie do tego przykładu zbioru niemierzalnego nie da się pokazać, choć jego istnienie można udowodnić.

Każda liczba niewymierna ma unikalną reprezentację przez nieskończony ułamek ciągły

${\ Displaystyle x = a_ {0}+ {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + {\ cfrac { 1}{\dkropki \,}}}}}}}}}$

gdzie jest pewną liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe są liczbami całkowitymi dodatnimi . Niech będzie zbiorem wszystkich liczb niewymiernych, które odpowiadają ciągom o następującej własności: istnieje nieskończony podciąg, taki, że każdy element jest dzielnikiem następnego elementu. Ten zestaw to nie Borel. W rzeczywistości jest analityczny i kompletny w klasie zbiorów analitycznych. Po więcej szczegółów zobacz opisową teorię mnogości i książkę Kechris , zwłaszcza Ćwiczenie (27.2) na stronie 209, Definicja (22.9) na stronie 169 oraz Ćwiczenie (3.4)(ii) na stronie 14. ${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{k}}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle (a_{0},a_{1},\kropki)}$ ${\ Displaystyle (a_ {k_ {0}}, a_ {k_ {1}}, \ kropki)}$${\ Displaystyle A}$

Należy zauważyć, że chociaż może być skonstruowany w ZF, nie można udowodnić, że nie jest borelski w samym ZF. W rzeczywistości jest to zgodne z ZF, który jest policzalną sumą zbiorów policzalnych, tak że każdy podzbiór jest zbiorem borelowskim. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Inny zestaw non-Borel jest odwrotny obraz o nieskończonej funkcji parzystości . Jest to jednak dowód istnienia (poprzez aksjomat wyboru), a nie wyraźny przykład. ${\ Displaystyle f ^ {-1} [0]}$ ${\ Displaystyle f \ okrężnica \ {0,1 \} ^ {\ omega} \ do \ {0,1 \}}$

Alternatywne nierównoważne definicje

Według Paula Halmosa podzbiór lokalnie zwartej przestrzeni topologicznej Hausdorffa nazywamy zbiorem borelowskim, jeśli należy do najmniejszego pierścienia σ zawierającego wszystkie zbiory zwarte.

Norberg i Vervaat redefiniują algebrę Borela przestrzeni topologicznej jako –algebrę generowaną przez jej otwarte podzbiory i jej zwarte podzbiory nasycone . Ta definicja dobrze nadaje się do zastosowań w przypadku, gdy nie jest Hausdorff. Zbiega się to ze zwykłą definicją, jeśli jest przeliczalna do sekund lub jeśli każdy zwarty nasycony podzbiór jest domknięty (co ma miejsce w szczególności, jeśli jest to Hausdorff). ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Zobacz też

• Zestaw Baire
• Cylindryczna σ-algebra
• Polska przestrzeń
• Opisowa teoria mnogości
• Hierarchia borelowska

Uwagi

Bibliografia

• William Arveson , An Invitation to C*-algebrs , Springer-Verlag, 1981. (Doskonałe przedstawienie topologii polskiej można znaleźć w rozdziale 3 ).
• Richard Dudley , Analiza rzeczywista i prawdopodobieństwo . Wadsworth, Brooks i Cole, 1989
• Halmos, Paul R. (1950). Teoria miary . D. van Nostrand Co. Zobacz zwłaszcza rozdz. 51 „Zestawy Borela i Baire'a”.
• Halsey Royden , Analiza rzeczywista , Prentice Hall, 1988
• Alexander S. Kechris , Klasyczna opisowa teoria mnogości , Springer-Verlag, 1995 (Teksty magisterskie z matematyki, t. 156)

Linki zewnętrzne

• "Zestaw Borel" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Formalna definicja zbiorów Borel w systemie Mizar oraz lista twierdzeń Archived 2020-06-01 w Wayback Machine , które zostały formalnie udowodnione.
• Weisstein, Eric W. "Zestaw Borel" . MatematykaŚwiat .