Konstrukcja Box – Behnken - Box–Behnken design

W statystykach , Box-Behnkena projekty są projekty eksperymentalne dla metodologii powierzchni odpowiedzi , opracowanej przez George'a EP Box i Donalda Behnken w roku 1960, aby osiągnąć następujące cele:

  • Każdy czynnik lub zmienna niezależna jest umieszczana w jednej z trzech równo rozmieszczonych wartości, zwykle zakodowanych jako −1, 0, +1. (Aby osiągnąć następujący cel, potrzebne są co najmniej trzy poziomy).
  • Projekt powinien być wystarczający, aby pasował do modelu kwadratowego , to znaczy takiego, który zawiera wyrażenia kwadratowe, iloczyn dwóch czynników, wyrazy liniowe i wyraz wolny.
  • Stosunek liczby punktów eksperymentalnych do liczby współczynników w modelu kwadratowym powinien być rozsądny (de facto ich projekty utrzymywały się w przedziale od 1,5 do 2,6).
  • Wariancji oszacowanie powinno bardziej lub mniej zależy tylko od odległości od centrum (uzyskuje się to dokładnie za projekty z 4 i 7 czynników) i nie powinno się zmieniać zbyt wiele wewnątrz najmniejszego (hiper) Cube zawierającym punktów eksperymentalnych. (Zobacz „rotowalność” w rozdziale „ Porównanie projektów powierzchni odpowiedzi ”).

Konstrukcja Boxa-Behnkena jest nadal uważana za bardziej sprawną i najpotężniejszą niż inne projekty, takie jak trójpoziomowy pełny projekt czynnikowy, centralny projekt kompozytowy (CCD) i projekt Doehlerta , pomimo słabego pokrycia narożnika nieliniowej przestrzeni projektowej.

Plan z 7 czynnikami został znaleziony jako pierwszy podczas poszukiwania projektu posiadającego pożądaną właściwość dotyczącą wariancji estymacji, a następnie znaleziono podobne plany dla innych liczb czynników.

Każdy projekt można traktować jako połączenie dwupoziomowego (pełnego lub ułamkowego) planu czynnikowego z niepełnym projektem blokowym . W każdym bloku pewna liczba czynników jest poddawana wszystkim kombinacjom w planie czynnikowym, podczas gdy inne czynniki są utrzymywane przy wartościach centralnych. Na przykład projekt Boxa – Behnkena dla 3 czynników obejmuje trzy bloki, w każdym z których 2 czynniki zmieniają się poprzez 4 możliwe kombinacje wysokich i niskich. Konieczne jest również uwzględnienie punktów środkowych (w których wszystkie czynniki mają swoje wartości centralne).

W tej tabeli m reprezentuje liczbę czynników, które są różne w każdym z bloków.

czynniki m Nie. bloków silnia pkt. za blok łącznie z 1 punktem środkowym typowa suma z dodatkowymi punktami środkowymi Nie. współczynników w modelu kwadratowym
3 2 3 4 13 15, 17 10
4 2 6 4 25 27, 29 15
5 2 10 4 41 46 21
6 3 6 8 49 54 28
7 3 7 8 57 62 36
8 4 14 8 113 120 45
9 3 12 8 97 105 55
10 4 10 16 161 170 66
11 5 11 16 177 188 78
12 4 12 16 193 204 91
16 4 24 16 385 396 153

Projekt dla 8 czynników nie był w oryginalnym artykule. Biorąc pod uwagę projekt 9-czynnikowy, usunięcie jednej kolumny i wszelkich wynikowych zduplikowanych wierszy daje projekt 81 przebiegów dla 8 czynników, jednocześnie rezygnując z pewnej "rotacji" (patrz wyżej). Wynaleziono również projekty dla innych liczb czynników (przynajmniej do 21). Istnieje projekt dla 16 czynników, który ma tylko 256 punktów silni. Wykorzystanie Placketta – Burmansa do skonstruowania projektu 16-czynnikowego (patrz poniżej) wymaga tylko 221 punktów.

Większość z tych projektów można podzielić na grupy (bloki), z których każdy model będzie miał inny składnik stały, w taki sposób, że stałe blokowe będą nieskorelowane z innymi współczynnikami.

Rozszerzone zastosowania

Plany te można rozszerzyć o dodatnie i ujemne „punkty osiowe”, jak w środkowych planach kompozytowych , ale w tym przypadku, aby oszacować jednowymiarowe efekty sześcienne i kwarcowe, o długości α = min (2, (int (1,5 +  K / 4 )) 1/2 ), dla współczynników K , przybliżone przybliżone odległości oryginalnych punktów projektowych od środka.

Można zastosować plany Placketta-Burmana , zastępując ułamkowe silnie i niekompletne projekty bloków, aby skonstruować mniejsze lub większe Box-Behnkensa, w którym to przypadku osiowe punkty długości α = (( K  + 1) / 2) 1/2 lepiej przybliżone oryginalne odległości punktów projektowych od środka. Ponieważ każda kolumna planu podstawowego ma 50% 0s i 25% każda + 1s i -1s, mnożąc każdą kolumnę j przez σ ( X j ) · 2 1/2 i dodając μ ( X j ) przed eksperymentem, pod ogólny model liniowy hipoteza, wytwarza „próbka” wydatku Y z odpowiednimi pierwszymi i drugim momentach  Y .

Bibliografia

Bibliografia