Brahmagupta - Brahmagupta

Brahmagupta
Urodzić się C.  598 n.e
Zmarł C.  668 n.e. (w wieku ok. 59-60 lat)
Znany z
Kariera naukowa
Pola astronomia , matematyka
Pod wpływem Praktycznie wszystkie późniejsze matematyka szczególnie Indian i islamskie matematyka

Brahmagupta ( ok.  598ok.  668 n.e. ) był indyjskim matematykiem i astronomem . Jest autorem dwóch pierwszych prac na matematyce i astronomii : the Brāhmasphuṭasiddhānta (BSS „prawidłowo ustalona doktryna od Brahmy ”, datowany 628), teoretyczna rozprawa, a Khaṇḍakhādyaka ( „jadalne kęs”, datowany 665), bardziej praktyczny tekst.

Brahmagupta był pierwszym, który podał zasady obliczania z zerem . Teksty skomponowane przez Brahmaguptę były pisane wierszem eliptycznym w sanskrycie , co było powszechną praktyką w matematyce indyjskiej . Ponieważ nie podano żadnych dowodów, nie wiadomo, w jaki sposób uzyskano wyniki Brahmagupty.

życie i kariera

Według własnego oświadczenia Brahmagupta urodził się w 598 roku n.e. Mieszkał w Bhillamāla w Gurjaradesa (obecnie Bhinmal w Radżastanie w Indiach) za panowania władcy dynastii Chavda , Vyagrahamukhy . Był synem Jishnugupta i był Hindusem z religii, w szczególności Shaivite . Mieszkał i pracował tam przez sporą część swojego życia. Prithudaka Swamin , późniejszy komentator, nazwał go Bhillamalacharyą , nauczycielem z Bhillamali.

Bhillamala była stolicą Gurjaradesa , drugiego co do wielkości królestwa Indii Zachodnich, obejmującego południowy Radżastan i północny Gujarat we współczesnych Indiach. Był także ośrodkiem nauki matematyki i astronomii. Brahmagupta został astronomem szkoły Brahmapaksha , jednej z czterech głównych szkół indyjskiej astronomii w tym okresie. Studiował pięć tradycyjnych siddhant z indyjskiej astronomii, a także prace innych astronomów, w tym Aryabhaty I , Latadewy, Pradyumny, Varahamihiry , Simhy, Sriseny, Vijayanandina i Vishnuchandry.

W roku 628, w wieku 30 lat, skomponował Brāhmasphuṭasiddhānta ( „ulepszona traktat Brahmy”), która jest uważana za zmienioną wersją odbieranego siddhanty z Brahmapaksha szkoły astronomii. Uczeni twierdzą, że do swojej korekty włączył wiele oryginalności, dodając znaczną ilość nowego materiału. Księga składa się z 24 rozdziałów ze 1008 wersami w metryce aryi . Wiele z nich to astronomia, ale zawiera również kluczowe rozdziały dotyczące matematyki, w tym algebry, geometrii, trygonometrii i algorytmiki, które, jak się uważa, zawierają nowe spostrzeżenia dzięki samemu Brahmagupcie.

Później Brahmagupta przeniósł się do Ujjaini , Avanti , które było również głównym ośrodkiem astronomii w środkowych Indiach. W wieku 67 lat skomponował swoje następne dobrze znane dzieło Khanda-khādyaka , praktyczny podręcznik indyjskiej astronomii w kategorii karana, przeznaczony dla uczniów.

Brahmagupta zmarł w 668 roku n.e. i przypuszcza się, że zmarł w Ujjain.

Pracuje

Brahmagupta skomponował następujące traktaty:

  • Brahmasphusasiddhanta , skomponowany w 628 roku n.e.
  • Khanakhādyaka , skomponowany w 665 roku n.e.
  • Grahaṇārkajñāna (przypisane w jednym rękopisie)

Przyjęcie

Postęp matematyczny Brahmagupty kontynuował Bhaskara II , potomek w linii Ujjain, który opisał Brahmaguptę jako ganaka-czakra-chudamani (klejnot kręgu matematyków). Prithudaka Swamin pisał komentarze do obu swoich dzieł, przekładając trudne wersety na prostszy język i dodając ilustracje. Lalla i Bhattotpala w VIII i IX wieku pisali komentarze do Khanda-khadyaka . Dalsze komentarze pisano w XII wieku.

Kilkadziesiąt lat po śmierci Brahmagupty Sindh znalazł się pod panowaniem arabskiego kalifatu w 712 r. n.e. Ekspedycje zostały wysłane do Gurjaradesa („ Al-Baylaman in Jurz ”, jak mówią historycy arabskie). Wydaje się, że królestwo Bhillamala zostało unicestwione, ale Ujjain odparł ataki . Dwór kalifa Al-Mansura (754–775) otrzymał ambasadę Sindha, w tym astrologa imieniem Kanaka, który przywiózł (być może zapamiętane) teksty astronomiczne, w tym teksty Brahmagupty. Teksty Brahmagupty zostały przetłumaczone na język arabski przez Muhammada al-Fazari , astronoma na dworze Al-Mansura pod imionami Sindhind i Arakhand . Natychmiastowym rezultatem było rozpowszechnienie dziesiętnego systemu liczbowego używanego w tekstach. Matematyk Al-Khwarizmi (800–850 n.e. ) napisał tekst zatytułowany al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind (Dodawanie i odejmowanie w arytmetyce indyjskiej), który w XIII wieku został przetłumaczony na łacinę jako Algorithmi de numero indorum . Dzięki tym tekstom system liczb dziesiętnych i algorytmy arytmetyczne Brahmagupty rozprzestrzeniły się na cały świat. Al-Khwarizmi napisał także własną wersję Sindhind , czerpiąc z wersji Al-Fazariego i włączając elementy ptolemejskie. Indyjski materiał astronomiczny krążył szeroko przez wieki, przechodząc nawet do średniowiecznych tekstów łacińskich.

Historyk nauki George Sarton nazwał Brahmaguptę „jednym z największych naukowców swojej rasy i największym z jego czasów”.

Matematyka

Algebra

Brahmagupta podał rozwiązanie ogólnego równania liniowego w rozdziale osiemnastym Brahmasphuṭasiddhanty ,

Różnica między rupas , gdy jest odwrócona i podzielona przez różnicę [współczynników] niewiadomych, jest niewiadomą w równaniu. W rupas są [odejmowana od strony] Poniżej, z którego kwadratowy i nieznane zostaną odjęte.

co jest rozwiązaniem równania bx + c = dx + e , gdzie rupas odnosi się do stałych c i e . Podane rozwiązanie jest równoważne x = ec/bd. Następnie podał dwa równoważne rozwiązania ogólnego równania kwadratowego

18.44. Zmniejsz o środek [liczba] pierwiastek kwadratowy rupii pomnożony przez czterokrotność kwadratu i powiększony przez kwadrat środka [liczba]; resztę podziel przez dwukrotność kwadratu. [Wynikiem jest] środkowa [liczba].
18.45. Jakakolwiek jest pierwiastek kwadratowy rupii pomnożony przez kwadrat [i] powiększony przez kwadrat połowy nieznanego, pomniejszony o połowę nieznanego [i] podziel [resztę] przez jej kwadrat. [Rezultatem jest] nieznane.

które są odpowiednio rozwiązaniami równania ax 2 + bx = c równoważne,

oraz

Następnie rozwiązywał układy równoczesnych nieokreślonych równań, stwierdzając, że pożądana zmienna musi być najpierw wyizolowana, a następnie równanie musi zostać podzielone przez współczynnik pożądanej zmiennej . W szczególności zalecał użycie „rozdrabniacza” do rozwiązywania równań z wieloma niewiadomymi.

18.51. Odejmij kolory inne od pierwszego koloru. [Reszta] podzielona przez pierwszy [współczynnik koloru] jest miarą pierwszego. [Terminy] dwa na dwa [są] rozważane [gdy zredukowane do] podobnych dzielników, [i tak dalej] wielokrotnie. Jeśli jest wiele [kolorów], należy użyć pulweryzatora.

Podobnie jak algebra Diofanta , algebra Brahmagupty była synkopowana. Dodawanie oznaczono umieszczając liczby obok siebie, odejmowanie umieszczając kropkę nad odliczeniem, a dzielenie umieszczając dzielnik poniżej dzielnej, podobnie jak w naszym zapisie, ale bez słupka. Mnożenie, ewolucja i nieznane wielkości były reprezentowane przez skróty odpowiednich terminów. Zakres wpływu greckiego na tę synkopę , jeśli w ogóle, nie jest znany i możliwe jest, że synkopa grecka i indyjska mogą pochodzić ze wspólnego źródła babilońskiego.

Arytmetyka

Cztery podstawowe operacje (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) były znane w wielu kulturach przed Brahmaguptą. Ten obecny system oparty jest na systemie cyfr hindusko-arabskich i po raz pierwszy pojawił się w Brahmasphuṭasiddhāncie . Brahmagupta opisuje mnożenie w następujący sposób:

Mnożnik jest powtarzany jak ciąg dla bydła, tak często, jak w mnożniku znajdują się części integrujące i jest wielokrotnie przez nie mnożony, a produkty są dodawane do siebie. To mnożenie. Lub mnożnik powtarza się tyle razy, ile jest części składowych w mnożniku.

Arytmetyka indyjska była znana w średniowiecznej Europie jako modus Indorum, co oznacza „metodę Indian”. W Brahmasphusasiddhancie zostały opisane cztery metody rozmnażania, łącznie z gomritriką , o której mówi się, że jest ona zbliżona do dzisiejszych metod. Na początku dwunastego rozdziału swojej Brahmasphusasiddhanty , zatytułowanego "Obliczanie", Brahmagupta szczegółowo opisuje operacje na ułamkach. Od czytelnika oczekuje się znajomości podstawowych operacji arytmetycznych aż do wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego, chociaż wyjaśnia, jak znaleźć sześcian i pierwiastek sześcienny liczby całkowitej, a później podaje zasady ułatwiające obliczanie kwadratów i pierwiastków kwadratowych. Następnie podaje zasady postępowania z pięcioma rodzajami kombinacji ułamków:a/C + b/C; a/C × b/D; a/1 + b/D; a/C + b/D × a/C = a ( d + b )/Płyta CD; oraza/Cb/D × a/C = a ( d - b )/Płyta CD.

Seria

Następnie Brahmagupta podaje sumę kwadratów i sześcianów pierwszych n liczb całkowitych.

12.20. Suma kwadratów jest taka, że ​​[suma] pomnożona przez dwukrotność [liczby] kroków [kroków] powiększona o jeden [i] podzielona przez trzy. Suma kostek jest kwadratem tej [suma] Stosy tych z identycznymi kulami [można również obliczyć].

Tutaj Brahmagupta znalazł wynik w kategoriach sumy pierwszych n liczb całkowitych, a nie w kategoriach n, jak to jest w dzisiejszej praktyce.

Podaje sumę kwadratów pierwszych n liczb naturalnych jakon ( n + 1) (2 n + 1)/6i suma sześcianów pierwszych n liczb naturalnych jako (n ( n + 1)/2)2
.

Zero

Brahmagupta Brahmasphusasiddhanta jest pierwszą książką, która zawiera zasady manipulacji arytmetycznych, które odnoszą się do zera i do liczb ujemnych . Brāhmasphuṭasiddhānta to najwcześniejszy znany tekst traktować zera jako liczby w sobie, a nie po prostu jako cyfrę zastępczego w reprezentująca inny numer, jak zostało zrobione przez Babilończyków lub jako symbol braku ilości co zostało zrobione przez Ptolemeusza i że Rzymianie . W osiemnastym rozdziale swojej Brahmasphusasiddhanty Brahmagupta opisuje operacje na liczbach ujemnych. Najpierw opisuje dodawanie i odejmowanie,

18.30. [Suma] dwóch pozytywów jest pozytywami, dwóch negatywów jest negatywna; dodatniej i ujemnej [suma] jest ich różnicą; jeśli są równe, jest to zero. Suma ujemnego i zera jest ujemna, [to] dodatniego i zerowego dodatniego, [i] dwóch zer zerowych.

[...]

18.32. Ujemna minus zero jest ujemna, dodatnia [minus zero] jest dodatnia; zero [minus zero] to zero. Kiedy pozytyw ma być odjęty od negatywu lub negatyw od pozytywu, to należy go dodać.

Dalej opisuje mnożenie,

18.33. Iloczyn negatywu i pozytywu jest negatywny, dwóch negatywów pozytywnych i pozytywów pozytywnych; iloczyn zera i ujemnego, zera i dodatniego lub dwóch zer wynosi zero.

Ale jego opis dzielenia przez zero różni się od naszego współczesnego rozumienia:

18.34. Pozytyw podzielony przez pozytyw lub negatyw podzielony przez negatyw jest pozytywny; zero podzielone przez zero to zero; pozytyw podzielona przez negatyw jest negatywna; ujemna podzielona przez dodatnia jest [również] ujemna.
18.35. Ujemna lub dodatnia dzielona przez zero ma to [zero] jako dzielnik lub zero podzielone przez ujemną lub dodatnią [ma to ujemne lub dodatnie jako dzielnik]. Kwadrat negatywu lub pozytywu jest pozytywny; [kwadrat] zera to zero. To, z czego [kwadrat] jest kwadratem, jest [jego] pierwiastkiem kwadratowym.

Tutaj Brahmagupta stwierdza, że 0/0 = 0 i co do pytania o a/0gdzie a 0 sam się nie popełnił. Jego zasady arytmetyki na liczbach ujemnych i zera są dość bliskie współczesnemu rozumieniu, z tym wyjątkiem, że we współczesnej matematyce dzielenie przez zero pozostaje niezdefiniowane .

Analiza diofantyny

Trojaczki pitagorejskie

W dwunastym rozdziale swojej Brahmasphusasiddhanty Brahmagupta podaje wzór przydatny do generowania trójek pitagorejskich :

12.39. Wysokość góry pomnożona przez dany mnożnik to odległość do miasta; nie jest wymazany. Kiedy jest podzielony przez mnożnik powiększony o dwa, jest to skok jednego z dwóch, którzy odbywają tę samą podróż.

Innymi słowy, jeśli d =mx/x + 2, to podróżnik, który „skacze” pionowo w górę na odległość d ze szczytu góry o wysokości m , a następnie podróżuje w linii prostej do miasta w odległości poziomej mx od podstawy góry, pokonuje taką samą odległość jak ten, który schodzi pionowo w dół z góry, a następnie podróżuje poziomo do miasta. Mówiąc geometrycznie, to mówi, że jeśli trójkąt prostokątny ma podstawę o długości a = mx i wysokości o długości b = m + d , to długość c , jego przeciwprostokątnej jest dana przez c = m (1 + x ) − d . I rzeczywiście, elementarne manipulacje algebraiczne pokazują, że a 2 + b 2 = c 2 zawsze, gdy d ma podaną wartość. Ponadto, jeśli m i x są wymierne, to d , a , b i c . Pitagorasa potrójne mogą zostać uzyskane z a , b i c przez mnożenie każdej z nich przez najmniejszą wspólną wielokrotność ich mianownika .

równanie Pella

Następnie Brahmagupta podał relację powtarzalności do generowania rozwiązań niektórych przypadków równań diofantycznych drugiego stopnia, takich jak Nx 2 + 1 = y 2 (nazywane równaniem Pella ) przy użyciu algorytmu euklidesowego . Algorytm Euklidesa był mu znany jako „pulweryzator”, ponieważ rozkłada liczby na coraz mniejsze kawałki.

Charakter kwadratów:
18,64. [Odłóż] dwukrotność pierwiastka kwadratowego danego kwadratu o mnożnik i powiększony lub pomniejszony o dowolną [liczbę]. Iloczyn pierwszej [pary] pomnożony przez mnożnik przez iloczyn ostatniej [pary] jest obliczany jako ostatni.
18.65. Suma iloczynów pioruna jest pierwsza. Dodatek jest równy produktowi dodatków. Dwa pierwiastki kwadratowe, podzielone przez dodatek lub odjęcie, to rupas addytywny .

Kluczem do jego rozwiązania była tożsamość,

będące uogólnieniem tożsamości, którą odkrył Diophantus ,

Wykorzystując swoją tożsamość i fakt, że jeśli ( x 1 , y 1 ) i ( x 2 , y 2 ) są rozwiązaniami odpowiednio równań x 2Ny 2 = k 1 i x 2Ny 2 = k 2 , wtedy ( x 1 x 2 + Ny 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ) jest rozwiązaniem x 2Ny 2 = k 1 k 2 , był w stanie znaleźć integralne rozwiązania równania Pella za pomocą szeregu równań postaci x 2Ny 2 = k i . Brahmagupta nie był w stanie zastosować swojego rozwiązania jednolicie dla wszystkich możliwych wartości N , był raczej w stanie wykazać, że jeśli x 2Ny 2 = k ma rozwiązanie całkowite dla k = ±1, ±2 lub ±4, to x 2Ny 2 = 1 ma rozwiązanie. Rozwiązanie ogólnego równania Pella musiałoby poczekać na Bhaskarę II w c.  1150 CE .

Geometria

Formuła Brahmagupty

Schemat w celach informacyjnych

Najbardziej znanym osiągnięciem Brahmagupty w dziedzinie geometrii jest jego wzór na cykliczne czworokąty . Biorąc pod uwagę długości boków każdego cyklicznego czworoboku, Brahmagupta podał przybliżony i dokładny wzór na powierzchnię figury,

12.21. Przybliżony obszar jest iloczynem połówek sum boków i przeciwległych boków trójkąta i czworoboku. Dokładny [obszar] jest pierwiastkiem kwadratowym z iloczynu połówek sum boków pomniejszonych o [każdy] bok czworoboku.

Zatem biorąc pod uwagę długości p , q , r i s cyklicznego czworoboku, przybliżona powierzchnia wynosip + r/2 · q + s/2podczas gdy t =p + q + r + s/2, dokładny obszar to

( t - t ) ( T - Q ) ( T - R ) ( t - y ) .

Chociaż Brahmagupta nie stwierdza wyraźnie, że te czworokąty są cykliczne, z jego zasad jasno wynika, że ​​tak właśnie jest. Wzór Herona jest szczególnym przypadkiem tego wzoru i można go wyprowadzić ustawiając jeden z boków na zero.

Trójkąty

Brahmagupta poświęcił znaczną część swojej pracy geometrii. Jedno z twierdzeń podaje długości dwóch odcinków, na które podstawa trójkąta jest podzielona przez jego wysokość:

12.22. Podstawa zmniejszała się i zwiększała o różnicę między kwadratami boków podzielonymi przez podstawę; podzielone przez dwa są prawdziwymi segmentami. Prostopadła [wysokość] jest pierwiastkiem kwadratowym z kwadratu boku pomniejszonego o kwadrat jego odcinka.

Zatem długości dwóch odcinków są 1/2( b ±c 2a 2/b) .

Dalej podaje twierdzenie o trójkątach wymiernych . Trójkąt o bokach wymiernych a , b , c i polu wymiernym ma postać:

dla niektórych liczb wymiernych u , v i w .

Twierdzenie Brahmagupty

Twierdzenie Brahmagupty mówi, że AF = FD .

Brahmagupta kontynuuje,

12.23. Pierwiastek kwadratowy z sumy dwóch iloczynów boków i przeciwległych boków nierównego czworoboku jest przekątną. Kwadrat przekątnej jest pomniejszony o kwadrat połowy sumy podstawy i góry; pierwiastek kwadratowy to prostopadłość [wysokości].

Tak więc w „nierównym” cyklicznym czworoboku (czyli trapezie równoramiennym ) długość każdej przekątnej wynosi pr + qs .

Nadal podaje wzory na długości i obszary figur geometrycznych, takie jak promień okręgu trapezu równoramiennego i czworokąta połamanego oraz długości przekątnych w czworoboku cyklicznym pochylenia. Prowadzi to do słynnego twierdzenia Brahmagupty ,

12.30–31. Odwzorowując dwa trójkąty w [cyklicznym czworoboku] o nierównych bokach, dwie przekątne są dwiema podstawami. Ich dwa segmenty są oddzielnie segmentem górnym i dolnym [uformowanym] na przecięciu przekątnych. Dwa [dolne segmenty] dwóch przekątnych to dwa boki w trójkącie; podstawa [czworokąta jest podstawą trójkąta]. Jego prostopadłość jest dolną częścią [centralnego] prostopadłego; górna część [centralnej] pionu stanowi połowę sumy [boków] pionów pomniejszonych o dolną [część środkowej pionu].

Liczba Pi

W wersecie 40 podaje wartości π ,

12.40. Średnica i kwadrat promienia [każdy] pomnożony przez 3 są [odpowiednio] obwodem praktycznym i polem [koła]. Dokładne [wartości] to pierwiastki kwadratowe z kwadratów tych dwóch pomnożone przez dziesięć.

Zatem Brahmagupta używa 3 jako „praktycznej” wartości π i jako „dokładnej” wartości π , z błędem mniejszym niż 1%.

Pomiary i konstrukcje

W niektórych wersetach przed wersetem 40 Brahmagupta podaje konstrukcje różnych postaci o dowolnych bokach. Zasadniczo manipulował trójkątami prostokątnymi, aby wytworzyć trójkąty równoramienne, trójkąty pochyłe, prostokąty, trapezy równoramienne, trapezy równoramienne z trzema równymi bokami i cykliczny czworobok pochyły.

Po podaniu wartości pi zajmuje się geometrią figur płaskich i brył, np. znajdowaniem objętości i pól powierzchni (lub pustych przestrzeni wykopanych z brył). Znajduje objętość prostokątnych graniastosłupów, ostrosłupów i ściętego ostrosłupa kwadratowego ostrosłupa. Następnie znajduje średnią głębokość serii dołów. Dla objętości ściętego ostrosłupa podaje wartość „pragmatyczną” jako głębokość pomnożoną przez kwadrat średniej krawędzi górnej i dolnej ściany, a „powierzchowną” objętość jako głębokość razy ich średnią powierzchnia.

Trygonometria

Tabela sinusowa

W Rozdziale 2 swojej Brahmasphusasiddhanty , zatytułowanym Planetarne Prawdziwe Długości Geograficzne , Brahmagupta przedstawia tabelę sinusów:

2.2-5. Sinusy: Progenitorzy, bliźniacy; Ursa Major, bliźnięta, Wedy; bogowie, ognie, sześć; smaki, kostki, bogowie; księżyc, pięć, niebo, księżyc; księżyc, strzały, słońca [...]

Tutaj Brahmagupta używa nazw przedmiotów do reprezentowania cyfr cyfr wartości miejscowych, jak to było wspólne z danymi liczbowymi w traktatach sanskryckich. Progenitors reprezentuje 14 Progenitors („Manu”) w indyjskiej kosmologii lub 14, „bliźniaki” oznaczają 2, „Wielka Niedźwiedzica” reprezentuje siedem gwiazd Wielkiej Niedźwiedzicy lub 7, „Wedy” odnoszą się do 4 Wed lub 4, kości reprezentują liczba boków tradycyjnej kostki lub 6 i tak dalej. Te informacje można przetłumaczyć na listę sinusów, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159 , 3207, 3242, 3263 i 3270, przy czym promień jest 3270 (te liczby oznaczają na ).

Wzór na interpolację

W 665 Brahmagupta opracował i zastosował specjalny przypadek formuły interpolacyjnej Newtona-Stirlinga drugiego rzędu, aby interpolować nowe wartości funkcji sinus z innych wartości już zestawionych. Wzór daje oszacowanie wartości funkcji f przy wartości a + xh jej argumentu (przy h > 0 i −1 ≤ x ≤ 1 ), gdy jej wartość jest już znana przy ah , a i a + h .

Wzór na oszacowanie to:

gdzie Δ jest operatorem różnicy wyprzedzającej pierwszego rzędu , tj

Astronomia

Brahmagupta bardzo krytykował prace rywalizujących astronomów, a jego Brahmagupta wykazuje jedną z najwcześniejszych schizm wśród indyjskich matematyków. Podział dotyczył przede wszystkim zastosowania matematyki do świata fizycznego, a nie samej matematyki. W przypadku Brahmagupty spory wynikały w dużej mierze z wyboru parametrów i teorii astronomicznych. Krytyka konkurencyjnych teorii pojawia się w pierwszych dziesięciu rozdziałach astronomicznych, a rozdział jedenasty jest w całości poświęcony krytyce tych teorii, chociaż w rozdziałach dwunastym i osiemnastym nie pojawia się żadna krytyka.

Niektóre z ważnych wkładów, jakie Brahmagupta wniósł do astronomii, to jego metody obliczania położenia ciał niebieskich w czasie ( efemerydy ), ich wschodu i zachodu, koniunkcji oraz obliczania zaćmień Słońca i Księżyca .

W siódmym rozdziale swojej Brahmasphuṭasiddhanty , zatytułowanym Księżycowy Półksiężyc , Brahmagupta obala ideę, że Księżyc jest dalej od Ziemi niż Słońce. Robi to, wyjaśniając oświetlenie Księżyca przez Słońce.

1. Gdyby księżyc znajdował się nad słońcem, w jaki sposób z obliczenia długości geograficznej księżyca wytworzyłaby się moc przybywania i zanikania itd.? Prawie połowa zawsze byłaby jasna.

2. W ten sam sposób, w jaki połowa naczynia stojącego w słońcu widziana przez słońce jest jasna, a niewidzialna połowa ciemna, tak samo jest [oświetlenie] księżyca [jeśli jest] pod słońcem.

3. Jasność wzrasta w kierunku słońca. Pod koniec jasnego [tj. woskowania] pół miesiąca, bliższa połowa jest jasna, a dalsza połowa ciemna. Stąd wysokość rogów [można wyprowadzić z półksiężyca] z obliczeń. [...]

Wyjaśnia, że ​​ponieważ Księżyc jest bliżej Ziemi niż Słońce, stopień oświetlonej części Księżyca zależy od względnych pozycji Słońca i Księżyca, a to można obliczyć na podstawie wielkości kąta między nimi. ciała.

Dalsze prace badające długości geograficzne planet, rotację dobową, zaćmienia Księżyca i Słońca, wschody i zachody , sierp księżyca i koniunkcje planet zostały omówione w jego traktacie Khandakhadyaka .

Zobacz też

Cytaty i przypisy

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki