Formuła Brahmagupty - Brahmagupta's formula
W geometrii euklidesowej , Brahmagupta jest wzór jest stosowany, aby znaleźć obszar jakiegokolwiek cyklicznego czworoboku (taki, który można wpisać w okrąg), biorąc pod uwagę długości boków.
Formuła
Wzór Brahmagupta daje się obszar K o cyklicznym czworoboku , którego boki mają długość , b , c , d , jak
gdzie s , półobwód , jest zdefiniowany jako
Ten wzór uogólnia wzór Herona na pole trójkąta . Trójkąt można traktować jako czworobok o jednym boku o długości zerowej. Z tej perspektywy, gdy d zbliża się do zera, cykliczny czworokąt zbiega się w cykliczny trójkąt (wszystkie trójkąty są cykliczne), a formuła Brahmagupty upraszcza się do formuły Herona.
Jeśli nie używa się półobwodu, wzór Brahmagupty to
Inną równoważną wersją jest
Dowód
Dowód trygonometryczny
Tutaj używane są zapisy na rysunku po prawej stronie. Pole K cyklicznego czworoboku jest równe sumie pól △ ADB i △ BDC :
Ale ponieważ □ABCD jest cyklicznym czworokątem, ∠ DAB = 180° − ∠ DCB . Stąd grzech A = grzech C . W związku z tym,
(przy użyciu tożsamości trygonometrycznej )
Rozwiązywanie dla wspólnej strony DB , w △ ADB i △ BDC , prawo cosinusów daje
Podstawiając cos C = −cos A (ponieważ kąty A i C są uzupełniające ) i przestawiając, otrzymujemy
Zastępując to w równaniu dla powierzchni,
Prawa strona ma postać a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) i dlatego można ją zapisać jako
co po przestawieniu terminów w nawiasach kwadratowych daje
Przedstawiamy półobwód S = p + q + r + s/2,
Biorąc pierwiastek kwadratowy, otrzymujemy
Dowód nietrygonometryczny
Alternatywny dowód nietrygonometryczny wykorzystuje dwa zastosowania wzoru powierzchni trójkąta Herona na podobnych trójkątach.
Rozszerzenie na niecykliczne czworokąty
W przypadku niecyklicznych czworokątów wzór Brahmagupty można rozszerzyć, biorąc pod uwagę miary dwóch przeciwnych kątów czworokąta:
gdzie θ jest połową sumy dowolnych dwóch przeciwnych kątów. (Wybór pary przeciwnych kątów nie ma znaczenia: jeśli weźmiemy dwa pozostałe kąty, połowa ich sumy wynosi 180° − θ . Ponieważ cos(180° − θ ) = −cos θ , mamy cos 2 (180° − θ ) = cos 2 θ .) Ten bardziej ogólny wzór jest znany jako wzór Bretschneidera .
Jest to właściwość czworokątów cyklicznych (i ostatecznie kątów wpisanych ), że przeciwstawne kąty sumy czworokątów do 180°. W konsekwencji, w przypadku czworokąta wpisanego, θ wynosi 90°, skąd wyraz
podając podstawową formę formuły Brahmagupty. Z tego ostatniego równania wynika, że powierzchnia czworokąta cyklicznego jest maksymalną możliwą powierzchnią dowolnego czworokąta o danych długościach boków.
Pokrewny wzór, który został udowodniony przez Coolidge'a , również podaje pole wypukłego czworokąta. To jest
gdzie p i q są długościami przekątnych czworokąta. W cyklicznej czworokąta , pq = ac + bd według twierdzenia ptolemeuszowskich i formuły Coolidge zmniejsza wzorze Brahmagupta'S.
Powiązane twierdzenia
- Wzór Herona na pole trójkąta jest szczególnym przypadkiem otrzymanym przez przyjęcie d = 0 .
- Związek między ogólną i rozszerzoną formą wzoru Brahmagupty jest podobny do tego, jak prawo cosinusów rozszerza twierdzenie Pitagorasa .
- Coraz bardziej skomplikowane formuły formy zamkniętej istnieją dla obszaru ogólnych wielokątów na okręgach, jak opisali Maley i in.
Bibliografia
Linki zewnętrzne
- Formuła Brahmagupty w ProofWiki
- Weisstein, Eric W. „Formuła Brahmagupty” . MatematykaŚwiat .
Ten artykuł zawiera materiał z dowodu formuły Brahmagupty na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .