Formuła Brahmagupty - Brahmagupta's formula

W geometrii euklidesowej , Brahmagupta jest wzór jest stosowany, aby znaleźć obszar jakiegokolwiek cyklicznego czworoboku (taki, który można wpisać w okrąg), biorąc pod uwagę długości boków.

Formuła

Wzór Brahmagupta daje się obszar K o cyklicznym czworoboku , którego boki mają długość , b , c , d , jak

gdzie s , półobwód , jest zdefiniowany jako

Ten wzór uogólnia wzór Herona na pole trójkąta . Trójkąt można traktować jako czworobok o jednym boku o długości zerowej. Z tej perspektywy, gdy d zbliża się do zera, cykliczny czworokąt zbiega się w cykliczny trójkąt (wszystkie trójkąty są cykliczne), a formuła Brahmagupty upraszcza się do formuły Herona.

Jeśli nie używa się półobwodu, wzór Brahmagupty to

Inną równoważną wersją jest

Dowód

Schemat w celach informacyjnych

Dowód trygonometryczny

Tutaj używane są zapisy na rysunku po prawej stronie. Pole K cyklicznego czworoboku jest równe sumie pól △ ADB i BDC :

Ale ponieważ □ABCD jest cyklicznym czworokątem, DAB = 180° − ∠ DCB . Stąd grzech A = grzech C . W związku z tym,

(przy użyciu  tożsamości trygonometrycznej )

Rozwiązywanie dla wspólnej strony DB , w ADB i BDC , prawo cosinusów daje

Podstawiając cos C = −cos A (ponieważ kąty A i Cuzupełniające ) i przestawiając, otrzymujemy

Zastępując to w równaniu dla powierzchni,

Prawa strona ma postać a 2b 2 = ( ab )( a + b ) i dlatego można ją zapisać jako

co po przestawieniu terminów w nawiasach kwadratowych daje

Przedstawiamy półobwód S = p + q + r + s/2,

Biorąc pierwiastek kwadratowy, otrzymujemy

Dowód nietrygonometryczny

Alternatywny dowód nietrygonometryczny wykorzystuje dwa zastosowania wzoru powierzchni trójkąta Herona na podobnych trójkątach.

Rozszerzenie na niecykliczne czworokąty

W przypadku niecyklicznych czworokątów wzór Brahmagupty można rozszerzyć, biorąc pod uwagę miary dwóch przeciwnych kątów czworokąta:

gdzie θ jest połową sumy dowolnych dwóch przeciwnych kątów. (Wybór pary przeciwnych kątów nie ma znaczenia: jeśli weźmiemy dwa pozostałe kąty, połowa ich sumy wynosi 180° − θ . Ponieważ cos(180° − θ ) = −cos θ , mamy cos 2 (180° − θ ) = cos 2 θ .) Ten bardziej ogólny wzór jest znany jako wzór Bretschneidera .

Jest to właściwość czworokątów cyklicznych (i ostatecznie kątów wpisanych ), że przeciwstawne kąty sumy czworokątów do 180°. W konsekwencji, w przypadku czworokąta wpisanego, θ wynosi 90°, skąd wyraz

podając podstawową formę formuły Brahmagupty. Z tego ostatniego równania wynika, że ​​powierzchnia czworokąta cyklicznego jest maksymalną możliwą powierzchnią dowolnego czworokąta o danych długościach boków.

Pokrewny wzór, który został udowodniony przez Coolidge'a , również podaje pole wypukłego czworokąta. To jest

gdzie p i q są długościami przekątnych czworokąta. W cyklicznej czworokąta , pq = ac + bd według twierdzenia ptolemeuszowskich i formuły Coolidge zmniejsza wzorze Brahmagupta'S.

Powiązane twierdzenia

  • Wzór Herona na pole trójkąta jest szczególnym przypadkiem otrzymanym przez przyjęcie d = 0 .
  • Związek między ogólną i rozszerzoną formą wzoru Brahmagupty jest podobny do tego, jak prawo cosinusów rozszerza twierdzenie Pitagorasa .
  • Coraz bardziej skomplikowane formuły formy zamkniętej istnieją dla obszaru ogólnych wielokątów na okręgach, jak opisali Maley i in.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Ten artykuł zawiera materiał z dowodu formuły Brahmagupty na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .