Właściwość anulowania - Cancellation property
W matematyce pojęcie anulowania jest uogólnieniem pojęcia odwracalności .
Element a w magmie ( M , ∗) ma lewą właściwość anulowania (lub jest lewostronny ), jeśli dla wszystkich b i c w M , a ∗ b = a ∗ c zawsze implikuje, że b = c .
Element a w magmie ( M , ∗) ma właściwą właściwość anulowania (lub jest prawostronny ), jeśli dla wszystkich b i c w M , b ∗ a = c ∗ a zawsze implikuje, że b = c .
Element a w magmie ( M , ∗) ma dwustronną właściwość anulowania (lub jest anulujący ), jeśli jest anulowany zarówno z lewej, jak iz prawej strony.
Magma ( M , ∗) ma lewą właściwość anulowania (lub jest lewostronnie anulująca), jeśli wszystkie a w magmie są pozostawione jako anulujące, a podobne definicje mają zastosowanie do prawych właściwości anulujących lub dwustronnych.
Element odwracalny lewostronny jest lewostronny i analogicznie dla prawego i dwustronnego.
Na przykład każda quasi - grupa , a zatem każda grupa , jest anulująca.
Interpretacja
Powiedzieć, że element a w magmie ( M , ∗) jest lewostronny, to znaczy, że funkcja g : x ↦ a ∗ x jest iniekcyjna . To, że funkcja g jest iniekcyjna, oznacza, że przy pewnej równości postaci a ∗ x = b , gdzie jedyną niewiadomą jest x , istnieje tylko jedna możliwa wartość x spełniająca tę równość. Dokładniej, jesteśmy w stanie zdefiniować jakąś funkcję f , odwrotność g , taką, że dla wszystkich x f ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x . Innymi słowy, dla wszystkich x i y w M , jeśli a * x = a * y , to x = y .
Przykłady monoidów anulujących i półgrup
Dodatnie (równie nieujemne) liczby całkowite tworzą w trakcie dodawania półgrupę anulującą . Nieujemne liczby całkowite tworzą podczas dodawania monoid kasujący .
W rzeczywistości każda wolna półgrupa lub monoid podlega prawu anulowania i ogólnie każda półgrupa lub monoid osadzony w grupie (jak wyraźnie robią powyższe przykłady) będzie podlegał prawu anulowania.
W innym duchu (podgrupa) multiplikatywna półgrupa elementów pierścienia , które nie są zerowymi dzielnikami (która jest po prostu zbiorem wszystkich niezerowych elementów, jeśli dany pierścień jest domeną , podobnie jak liczby całkowite) ma właściwość anulowania . Zauważ, że pozostaje to ważne nawet jeśli dany pierścień jest nieprzemienny i / lub niejednostkowy.
Niekasujące struktury algebraiczne
Chociaż prawo anulowania dotyczy dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb rzeczywistych i zespolonych (z jednym wyjątkiem mnożenia przez zero i dzielenia zera przez inną liczbę), istnieje wiele struktur algebraicznych, w których prawo anulowania nie jest ważne .
Iloczyn dwóch wektorów nie przestrzegać prawa anulowania. Jeśli a × b = a × c , to nie wynika z tego, że b = c, nawet jeśli a ≠ 0 .
Mnożenie macierzy również niekoniecznie jest zgodne z prawem anulowania. Jeśli AB = AC i A ≠ 0 , wtedy trzeba pokazują, że matryca jest odwracalna (IE det ( ) ≠ 0 ), zanim można stwierdzić, że B = C . Jeśli det ( ) = 0 , a B nie może równy C , ponieważ matryca równanie AX = B nie posiada unikalne rozwiązanie nie-odwracania sygnału macierzy A .
Należy również zauważyć, że jeśli AB = CA i ≠ 0 i matryca jest odwracalna (IE det ( ) ≠ 0 ), nie jest to prawda, że B = C . Anulowanie działa tylko dla AB = AC i BA = CA (pod warunkiem, że macierz A jest odwracalna ), a nie dla AB = CA i BA = AC .