Kategoria (matematyka) - Category (mathematics)
W matematyce , A kategoria (czasami nazywany abstrakcyjną kategorię , aby odróżnić je od kategorii betonowej ) jest zbiorem „obiektów”, które są połączone przez „strzałki”. Kategoria ma dwie podstawowe właściwości: zdolność do skojarzonego komponowania strzałek oraz istnienie strzałki tożsamości dla każdego obiektu. Prostym przykładem jest kategoria zbiorów , której obiektami są zbiory, a strzałkami funkcjami .
Teoria kategorii jest gałęzią matematyki, która stara się uogólnić całą matematykę w kategoriach kategorii, niezależnie od tego, co reprezentują ich obiekty i strzałki. Praktycznie każdą gałąź współczesnej matematyki można opisać w kategoriach kategorii, a robienie tego często ujawnia głębokie spostrzeżenia i podobieństwa między pozornie różnymi dziedzinami matematyki. Jako taka, teoria kategorii zapewnia alternatywną podstawę dla matematyki do tworzenia teorii i innych proponowanych podstaw aksjomatycznych. Ogólnie rzecz biorąc, obiekty i strzałki mogą być dowolnymi abstrakcyjnymi bytami, a pojęcie kategorii zapewnia podstawowy i abstrakcyjny sposób opisu bytów matematycznych i ich relacji.
Oprócz formalizowania matematyki teoria kategorii jest również wykorzystywana do formalizowania wielu innych systemów w informatyce, takich jak semantyka języków programowania .
Dwie kategorie są takie same, jeśli mają ten sam zbiór obiektów, ten sam zbiór strzałek i tę samą skojarzoną metodę tworzenia dowolnej pary strzałek. Dwie różne kategorie mogą być również uważane za „ równoważne ” dla celów teorii kategorii, nawet jeśli nie mają dokładnie takiej samej struktury.
Dobrze znane kategorie są oznaczone krótkim słowem pisanym wielką literą lub skrótem pogrubionym lub kursywą: przykłady to Set , kategoria zbiorów i funkcje zbiorów ; Ring , kategoria pierścieni i homomorfizmy pierścieni ; i Top , kategoria przestrzeni topologicznych i ciągłych map . Wszystkie powyższe kategorie mają mapę tożsamości jako strzałki tożsamości i kompozycję jako operację asocjacyjną na strzałkach.
Klasyczny i nadal dużo używany tekst o teorii kategorii jest Kategorie dla matematyk roboczej przez Saunders Mac Lane . Inne odniesienia podano w poniższych Bibliografiach . Podstawowe definicje zawarte w tym artykule są zawarte w pierwszych kilku rozdziałach każdej z tych książek.
Struktury grupowe | |||||
---|---|---|---|---|---|
Całość | Łączność | Tożsamość | Odwracalność | Przemienność | |
Semigroupoid | Niepotrzebne | Wymagany | Niepotrzebne | Niepotrzebne | Niepotrzebne |
Mała kategoria | Niepotrzebne | Wymagany | Wymagany | Niepotrzebne | Niepotrzebne |
Groupoid | Niepotrzebne | Wymagany | Wymagany | Wymagany | Niepotrzebne |
Magma | Wymagany | Niepotrzebne | Niepotrzebne | Niepotrzebne | Niepotrzebne |
Quasigrupa | Wymagany | Niepotrzebne | Niepotrzebne | Wymagany | Niepotrzebne |
Jednolita Magma | Wymagany | Niepotrzebne | Wymagany | Niepotrzebne | Niepotrzebne |
Pętla | Wymagany | Niepotrzebne | Wymagany | Wymagany | Niepotrzebne |
Półgrupa | Wymagany | Wymagany | Niepotrzebne | Niepotrzebne | Niepotrzebne |
Odwrotna półgrupa | Wymagany | Wymagany | Niepotrzebne | Wymagany | Niepotrzebne |
Monoid | Wymagany | Wymagany | Wymagany | Niepotrzebne | Niepotrzebne |
Monoid przemienny | Wymagany | Wymagany | Wymagany | Niepotrzebne | Wymagany |
Grupa | Wymagany | Wymagany | Wymagany | Wymagany | Niepotrzebne |
Grupa abelowa | Wymagany | Wymagany | Wymagany | Wymagany | Wymagany |
^α Zamknięcie, które jest używane w wielu źródłach, jest równoważnym aksjomatem dla całości, choć różnie definiowanym. |
Każdy monoid może być rozumiany jako specjalny rodzaj kategorii (z pojedynczym obiektem, którego automorfizmy są reprezentowane przez elementy monoidu), podobnie jak każdy preorder .
Definicja
Istnieje wiele równoważnych definicji kategorii. Jedna z powszechnie stosowanych definicji jest następująca. Kategoria C składa się z
- klasy OB ( C ) z przedmiotów ,
- klasa hom( C ) morfizmów , strzałek , map między obiektami,
- domeny lub źródło obiektu funkcji klasy ,
- codomain lub docelowy obiekt funkcja klasy ,
- dla każdych trzech obiektów a , b i c , binarna operacja hom( a , b ) × hom( b , c ) → hom( a , c ) nazywana złożeniem morfizmów ; złożenie f : a → b i g : b → c jest zapisane jako g ∘ f lub gf . (Niektórzy autorzy stosują „porządek schematyczny”, pisząc f;g lub fg ).
Uwaga: Tutaj hom( a , b ) oznacza podklasę morfizmów f w hom( C ) taką, że i . Takie morfizmy są często zapisywane jako f : a → b .
tak, że następujące aksjomaty mają zastosowanie:
- ( asocjatywność ) jeśli f : a → b , g : b → c i h : c → d to h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f , i
- ( identyczność ) dla każdego obiektu x istnieje morfizm 1 x : x → x (niektórzy autorzy piszą id x ) zwany morfizmem tożsamości dla x , taki że każdy morfizm f : a → x spełnia 1 x ∘ f = f , oraz każdy morfizm g : x → b spełnia g ∘ 1 x = g .
Piszemy f : a → b i mówimy " f jest morfizmem od a do b " . Piszemy hom( a , b ) (lub hom C ( a , b ), gdy może być niejasne, do której kategorii odnosi się hom( a , b ) w celu oznaczenia klasy hom wszystkich morfizmów od a do b . Z tych aksjomatów można wykazać, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm tożsamości. Niektórzy autorzy stosują niewielką odmianę definicji, w której każdy obiekt jest identyfikowany z odpowiadającym mu morfizmem tożsamości.
Małe i duże kategorie
Kategoria C nazywana jest small, jeśli zarówno ob( C ) jak i hom( C ) są w rzeczywistości zbiorami, a nie klasami właściwymi , a large w przeciwnym razie. Lokalnie mała kategoria jest kategorią takie, że dla wszystkich obiektów, a i b , z Hom hom-klasy ( , b ) to zestaw, zwany homset . Wiele ważnych kategorii w matematyce (takich jak kategoria zbiorów), choć niemałe, to przynajmniej lokalnie małe. Ponieważ w małych kategoriach obiekty tworzą zbiór, mała kategoria może być postrzegana jako struktura algebraiczna podobna do monoidu, ale bez konieczności posiadania właściwości domknięcia . Z drugiej strony duże kategorie mogą być używane do tworzenia „struktur” struktur algebraicznych.
Przykłady
Klasa wszystkich zbiorów (jako obiekty) wraz ze wszystkimi funkcjami między nimi (jak morfizmów), w której skład morfizmów jest zwykle złożenie funkcji , tworzy dużą kategorię Set . Jest to najbardziej podstawowa i najczęściej używana kategoria w matematyce. Kategoria Rel składa się ze wszystkich zbiorów (jako obiektów) z binarnymi relacjami między nimi (jako morfizmy). Abstrahowanie od relacji zamiast funkcji daje alegorie , specjalną klasę kategorii.
Każda klasa może być postrzegana jako kategoria, której jedynymi morfizmami są morfizmy tożsamości. Takie kategorie nazywane są dyskretnymi . Dla każdej zadanej I The dyskretna kategoria na I jest mała kategoria, która zawiera elementy I jak przedmioty i tylko morfizmów tożsamość jako morfizmów. Kategorie dyskretne to najprostszy rodzaj kategorii.
Każdy wcześniej uporządkowany zbiór ( P , ≤) tworzy małą kategorię, w której obiekty są członkami P , morfizmami są strzałki wskazujące od x do y, gdy x ≤ y . Ponadto, jeśli ≤ jest antysymetryczne , może istnieć co najwyżej jeden morfizm między dowolnymi dwoma obiektami. Istnienie morfizmów tożsamości i kompozycyjność morfizmów są gwarantowane przez refleksyjność i przechodniość preorderu. Z tego samego argumentu każdy częściowo uporządkowany zbiór i każda relacja równoważności może być postrzegana jako mała kategoria. Dowolny numer porządkowy może być postrzegany jako kategoria, gdy jest oglądany jako uporządkowany zestaw .
Dowolny monoid (dowolna struktura algebraiczna z pojedynczą asocjacyjną operacją binarną i elementem tożsamości ) tworzy małą kategorię z pojedynczym obiektem x . (Tutaj x jest dowolnym ustalonym zbiorem.) Morfizmy od x do x są dokładnie elementami monoidu, morfizm tożsamości x jest identycznością monoidu, a kategoryczne złożenie morfizmów jest podane przez operację monoidu. Kilka definicji i twierdzeń o monoidach można uogólnić na kategorie.
Podobnie każda grupa może być postrzegana jako kategoria z pojedynczym obiektem, w której każdy morfizm jest odwracalny , to znaczy dla każdego morfizmu f istnieje morfizm g, który jest zarówno lewostronny, jak i prawostronny odwrotny do fw kompozycji. Morfizm, który jest w tym sensie odwracalny, nazywa się izomorfizmem .
Groupoid to kategoria, w której każdy morfizmem jest izomorfizmem. Groupoidy to uogólnienia grup, akcji grupowych i relacji równoważności . Właściwie z punktu widzenia kategorii jedyną różnicą między groupoidem a grupą jest to, że groupoid może mieć więcej niż jeden obiekt, ale grupa musi mieć tylko jeden. Rozważmy topologii przestrzeni X i ustalić punkt początkowy w X , wówczas jest podstawowym grupę o topologii przestrzeni X i punktu bazowego , a w zestawie ma strukturę grupy; jeśli pozwól punktu bazowego przebiega przez wszystkich punktach X i podjąć Unii wszystkich , to zbiór dostajemy ma tylko strukturę groupoid (który jest nazywany jako fundamentalnej groupoid z X ): dwie pętle (pod równoważności relacji homotopia) mogą nie mieć tego samego punktu bazowego, więc nie mogą się wzajemnie mnożyć. W języku kategorii oznacza to tutaj, że dwa morfizmy mogą nie mieć tego samego obiektu źródłowego (lub docelowego, ponieważ w tym przypadku dla dowolnego morfizmu obiekt źródłowy i docelowy są takie same: punkt bazowy), więc nie mogą się składać z wzajemnie.
Każdy graf skierowany generuje małą kategorię: obiekty są wierzchołkami grafu, a morfizmy są ścieżkami na grafie ( w razie potrzeby wzbogaconymi o pętle ), gdzie kompozycja morfizmów jest konkatenacją ścieżek. Taka kategoria nazywana jest kategorią swobodną generowaną przez wykres.
Klasa wszystkich wcześniej uporządkowanych zbiorów z monotonicznymi funkcjami jako morfizmami tworzy kategorię Ord . Jest to kategoria konkretna , tj. kategoria uzyskana przez dodanie pewnego typu struktury do Set , wymagająca, aby morfizmy były funkcjami, które respektują tę dodaną strukturę.
Klasa wszystkich grup z homomorfizmami grup jako morfizmami i złożeniem funkcji jako operacją składania tworzy dużą kategorię, Grp . Podobnie jak Ord , Grp jest konkretną kategorią. Kategoria Ab , składający się z wszystkich grup abelowych i ich grup homomorfizmów, jest pełen podkategorii z Grp i prototypu Abelowych kategorii . Inne przykłady konkretnych kategorii podano w poniższej tabeli.
Kategoria | Obiekty | morfizmy |
---|---|---|
Grp | grupy | homomorfizmy grupowe |
Mag | magmy | homomorfizmy magmy |
człowiek p | gładkie kolektory | p -razy ciągle różniczkowalnych map |
Spotkał | spacje metryczne | krótkie mapy |
R -Mod | R -moduły , gdzie R jest pierścieniem | R - homomorfizmy modułów |
pon | monoidy | homomorfizmy monoidalne |
Dzwonić | pierścionki | homomorfizmy pierścieniowe |
Ustawić | zestawy | Funkcje |
Szczyt | przestrzenie topologiczne | funkcje ciągłe |
Uni | jednolite przestrzenie | funkcje jednostajnie ciągłe |
Vect K | przestrzenie wektorowe nad ciałem K | K - mapy liniowe |
Wiązki światłowodów z mapami wiązek pomiędzy nimi tworzą konkretną kategorię.
Kategoria Kot składa się ze wszystkich małych kategorii, z funktorami pomiędzy nimi jako morfizmami.
Budowa nowych kategorii
Podwójna kategoria
Każda kategoria C może być sama w sobie uważana za nową kategorię w inny sposób: obiekty są takie same jak w oryginalnej kategorii, ale strzałki są odwrócone w pierwotnej kategorii. Nazywa się to kategorią dualną lub przeciwną i jest oznaczone C op .
Kategorie produktów
Jeśli C i D są kategoriami, można utworzyć kategorię produktu C × D : obiekty są parami składającymi się z jednego obiektu z C i jednego z D , a morfizmy są również parami, składającymi się z jednego morfizmu w C i jednego w D . Takie pary mogą składać się z elementów składowych .
Rodzaje morfizmów
Morfizmem F : → b nazywa
- monomorfizm (lub monic ), jeżeli nie jest ono anulowaniu, tj fg 1 = FG 2 oznacza g 1 = g 2 dla morfizmów g 1 , g 2 : x → .
- epimorfizmem (lub epiczny ), jeżeli jest to słuszne i terminy, to znaczy g 1 C = g 2 M oznacza g 1 = g 2 dla morfizmów g 1 , g 2 : b → x .
- bimorphism jeśli jest to zarówno monomorfizm i epimorfizmem.
- odsunięcie jeśli to ma prawo odwrotności, czyli wtedy, gdy istnieje morfizmem g : b → się z fg = 1 b .
- sekcja jeśli ma lewą odwrotny, to znaczy, jeżeli istnieje morfizmem g : b → z GF = 1 a .
- Izomorfizm jeśli ma odwrotny, to znaczy, jeżeli istnieje morfizmem g : b → się z fg = 1 , b i gf = 1 a .
- endomorfizm jeśli = b . Klasę endomorfizmów a oznaczono jako end( a ).
- automorfizmem jeśli f jest zarówno endomorfizm i Izomorfizm. Klasa automorfizmów a jest oznaczona aut( a ).
Każde wycofanie jest epimorfizmem. Każda sekcja to monomorfizm. Poniższe trzy stwierdzenia są równoważne:
- f jest monomorfizmem i retrakcją;
- f jest epimorfizmem i sekcją;
- f jest izomorfizmem.
Relacje między morfizmami (takie jak fg = h ) najdogodniej można przedstawić za pomocą diagramów przemiennych , gdzie obiekty są reprezentowane jako punkty, a morfizmy jako strzałki.
Rodzaje kategorii
- W wielu kategoriach, np. Ab czy Vect K , hom-zbiory hom( a , b ) to nie tylko zbiory, ale właściwie grupy abelowe , a kompozycja morfizmów jest zgodna z tymi strukturami grup; tj. jest dwuliniowy . Taka kategoria nazywana jest przedaddytywną . Jeśli ponadto kategoria obejmuje wszystkie produkty skończone i produkty równoległe , nazywa się ją kategorią addytywną . Jeśli wszystkie morfizmy mają ziarno i kokerel , wszystkie epimorfizmy są kokerkami i wszystkie monomorfizmy są jądrami, wtedy mówimy o kategorii abelowej . Typowym przykładem kategorii abelowej jest kategoria grup abelowych.
- Kategorię nazywamy kompletną, jeśli istnieją w niej wszystkie małe ograniczenia . Kategorie zbiorów, grup abelowych i przestrzeni topologicznych są kompletne.
- Kategorię nazywamy domkniętą kartezjańską, jeśli ma skończone iloczyny bezpośrednie, a morfizm zdefiniowany na iloczynie skończonym może zawsze być reprezentowany przez morfizm określony tylko na jednym z czynników. Przykładami są Set i CPO , kategoria kompletnych zleceń częściowych z funkcjami ciągłymi Scotta .
- A toposem pewien rodzaj kartezjańskim kategorii zamkniętego, w którym wszystkie matematycznych można formułować (podobnie jak w klasycznym wszystkich matematyki formułować w kategorii zestawów). Topos może również służyć do reprezentowania teorii logicznej.
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Adamek, Jiří; Herrlicha Horsta; Strecker, George E. (1990), Kategorie abstrakcyjne i konkretne (PDF) , Wiley, ISBN 0-471-60922-6(teraz darmowa edycja on-line, GNU FDL ).
- Aspertiego, Andrei; Longo, Giuseppe (1991), Kategorie, Rodzaje i Struktury , MIT Press, ISBN 0-262-01125-5.
- Awodey, Steve (2006), Teoria kategorii , Oxford logic guides, 49 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856861-2.
- Barr, Michael ; Wells, Charles (2005), toposy, trójki i teorie , przedruki w teorii i zastosowaniach kategorii, 12 (wyd. poprawione), MR 2178101.
- Borceux, Francis (1994), "Podręcznik algebry kategorycznej", Encyklopedia matematyki i jej zastosowań , 50-52, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-06119-9.
- „Kategoria” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
- Herrlicha Horsta; Strecker, George E. (2007), Teoria kategorii , Heldermann Verlag, ISBN 978-3-88538-001-6.
- Jacobson, Nathan (2009), Podstawowa algebra (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
- Lawvere, William ; Schanuel, Steve (1997), Matematyka konceptualna: pierwsze wprowadzenie do kategorii , Cambridge University Press, ISBN 0-521-47249-0.
- Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician , Graduate Texts in Mathematics, 5 (wyd. 2), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8.
- Marquis, Jean-Pierre (2006), "Teoria kategorii" , w Zalta, Edward N. (red.), Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Sica, Giandomenico (2006), Czym jest teoria kategorii? , Zaawansowane studia matematyczno-logiczne, 3 , Polimetrica, ISBN 978-88-7699-031-1.
- kategoria w nLab