Kategoria zestawów - Category of sets

W matematycznej dziedzinie teorii kategorii , z kategorii zbiorów , oznaczonego jako zestaw , jest kategoria , której obiektyzestawy . Strzałki lub morfizmy między zbiorami A i Bsumą funkcji od A do B , a złożenie morfizmów jest złożeniem funkcji .

Wiele innych kategorii (takich jak kategoria grup , z homomorfizmami grup jako strzałkami) nadaje strukturę obiektom kategorii zbiorów i/lub ogranicza strzałki do funkcji określonego rodzaju.

Własności kategorii zbiorów

Aksjomaty kategorii są spełnione przez Zbiór, ponieważ składanie funkcji jest asocjacyjne , a każdy zbiór X ma funkcję identyczności id X  : XX, która służy jako element identyczności przy składaniu funkcji.

W epimorfizm w Setsuriekcją mapy, gdy monomorfizminjective mapy, a isomorphismsbijective mapy.

Pusty zestaw służy jako początkowego obiektu w zestaw z pustych funkcji jak morfizmów. Każdy singleton jest obiektem końcowym , z funkcjami mapującymi wszystkie elementy zestawów źródłowych na pojedynczy element docelowy jako morfizmy. W związku z tym w Set nie ma żadnych obiektów .

Kategoria Zestaw jest kompletny i współkompletny . Produkt w tej kategorii jest przez iloczyn kartezjański zbiorów. Współprodukt jest przez Unię rozłącznego : podany zestawy I , gdzie i wynosi na niektóre zbiór indeksów I , skonstruować współprodukt jako związek A ı x { i } (iloczyn z I służy do zapewnienia, że wszystkie pobyt komponenty nieskładny).

Set jest prototypem konkretnej kategorii ; inne kategorie są konkretne, jeśli są „oparte na” Set w jakiejś ściśle określonej drodze.

Każdy dwuelementowy zestaw służy jako klasyfikator podobiektów w Set . Przedmiotem moc zbiorze A jest podana przez jego zestawu zasilającego , a wykładniczy obiekt zestawów i B jest przez zbiór wszystkich funkcji z A do B . Zbiór jest więc toposem (w szczególności kartezjańskim zamkniętym i ścisłym w sensie Barra ).

Zestaw nie jest abelowa , dodatek ani preadditive .

Każdy niepusty zbiór jest obiektem iniekcyjnym w Set . Każdy zestaw jest rzutowe obiekt w Set (zakładając, że aksjomat wyboru ).

Na skończenie reprezentacyjne obiekty w Set są skończone zestawy. Ponieważ każdy zbiór jest bezpośrednim ograniczeniem jego skończonych podzbiorów, kategoria Zbiór jest kategorią lokalnie skończoną .

Jeśli C jest kategorią arbitralną, to funktory kontrawariantne od C do zbioru są często ważnym przedmiotem badań. Jeśli A jest obiektem C , to funktor z C do Seta wysyłający X do Hom C ( X , A ) (zbiór morfizmów w C od X do A ) jest przykładem takiego funktora. Jeśli C jest małą kategorią (tzn. zbiór jej obiektów tworzy zbiór), to kontrawariantne funktory od C do zbioru wraz z naturalnymi przekształceniami jako morfizmy tworzą nową kategorię, kategorię funktorową zwaną kategorią snopów na C .

Fundamenty dla kategorii zestawów

W teorii mnogości Zermelo-Fraenkla zbiór wszystkich zbiorów nie jest zbiorem; wynika to z aksjomatu fundacji . Jeden odnosi się do kolekcji, które nie są zbiorami, jako do właściwych klas . Nie można obsługiwać odpowiednich klas, tak jak obsługuje się zbiory; w szczególności nie można napisać, że te właściwe klasy należą do kolekcji (albo zbioru, albo właściwej klasy). Jest to problem, ponieważ oznacza to, że kategorii zbiorów nie da się sformalizować wprost w tym układzie. Kategorie takie jak Set, których kolekcja obiektów tworzy odpowiednią klasę, są znane jako duże kategorie , aby odróżnić je od małych kategorii, których obiekty tworzą zbiór.

Jednym ze sposobów rozwiązania tego problemu jest praca w systemie, który nadaje formalny status odpowiednim klasom, takim jak teoria zbiorów NBG . W tym ustawieniu kategorie utworzone z zestawów są określane jako małe, a te (takie jak Set ), które są tworzone z odpowiednich klas, są określane jako duże .

Innym rozwiązaniem jest założenie istnienia wszechświatów Grothendiecka . Z grubsza mówiąc, wszechświat Grothendiecka jest zbiorem, który sam jest modelem ZF(C) (na przykład, jeśli zbiór należy do wszechświata, jego elementy i jego zestaw mocy będą należeć do wszechświata). Istnienie wszechświatów Grothendiecka (innych niż zbiór pusty i zbiór wszystkich zbiorów dziedzicznie skończonych ) nie jest implikowane przez zwykłe aksjomaty ZF; jest to dodatkowy, niezależny aksjomat, z grubsza równoważny istnieniu silnie niedostępnych kardynałów . Zakładając ten dodatkowy aksjomat, można ograniczyć obiekty Zbioru do elementów określonego wszechświata. (Nie ma „zbioru wszystkich zbiorów” w modelu, ale nadal można wnioskować o klasie U wszystkich zbiorów wewnętrznych, tj. elementów U ).

W jednym z wariantów tego schematu klasa zestawów jest połączeniem całej wieży wszechświatów Grothendiecka. (Jest to koniecznie właściwa klasa , ale każdy wszechświat Grothendiecka jest zbiorem, ponieważ jest elementem jakiegoś większego wszechświata Grothendiecka.) Jednak nie pracuje się bezpośrednio z „kategorią wszystkich zbiorów”. Zamiast tego twierdzenia są wyrażane w kategoriach zbioru U , którego obiekty są elementami wystarczająco dużego wszechświata Grothendiecka U , a następnie okazuje się, że nie zależą od konkretnego wyboru U . Jako podstawa teorii kategorii , podejście to jest dobrze dopasowane do systemu takiego jak teoria mnogości Tarskiego-Grothendiecka, w którym nie można rozumować bezpośrednio o odpowiednich klasach; jego główną wadą jest to, że twierdzenie może być prawdziwe dla całego zbioru U , ale nie dla zbioru .

Zaproponowano różne inne rozwiązania i odmiany powyższego.

Te same problemy pojawiają się w przypadku innych konkretnych kategorii, takich jak kategoria grup czy kategoria przestrzeni topologicznych .

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ Mac Lane 1969
  2. ^ Feferman 1969
  3. ^ Blass 1984

Bibliografia

  • Blass, A. Interakcja między teorią kategorii a teorią mnogości . Matematyka współczesna 30 (1984).
  • Feferman, S. Mnogościowe podstawy teorii kategorii. Springer Wykład. Uwagi Matematyka. 106 (1969): 201-247.
  • Lawvere, FW Elementarna teoria kategorii zbiorów (wersja długa) z komentarzem
  • Mac Lane, S. Jeden wszechświat jako podstawa teorii kategorii. Springer Wykład. Uwagi Matematyka. 106 (1969): 192-200.
  • Mac Lane, Saunders (wrzesień 1998). Kategorie dla Matematyka Pracującego . Skoczek. Numer ISBN 0-387-98403-8.(Tom 5 z serii Teksty magisterskie z matematyki )
  • Pareigis, Bodo (1970), Kategorie i funktory , Matematyka czysta i stosowana, 39 , Academic Press , ISBN 978-0-12-545150-5

Zewnętrzne linki