Centrum (teoria grup) - Center (group theory)

Tabela Cayleya dla D 4 przedstawiająca elementy środka {e, a 2 } ułożone symetrycznie wokół głównej przekątnej (ilustrujące, że każdy z nich dojeżdża do wszystkich innych elementów)
o mi b a 2 3 ab a 2 b 3 b
mi mi b a 2 3 ab a 2 b 3 b
b b mi 3 b a 2 b ab 3 2 a
a a ab 2 3 mi a 2 b 3 b b
2 2 a 2 b 3 mi a 3 b b ab
3 3 3 b mi a 2 b ab a 2 b
ab ab a b 3 b a 2 b mi 3 2
a 2 b a 2 b 2 ab b 3 b a mi 3
3 b 3 b 3 a 2 b ab b 2 a mi

W abstrakcyjnej Algebra The środek z grupy , G , jest zestaw elementów, które dojeżdżają z każdym elemencie G . Jest oznaczony jako Z( G ) , od niemieckiego Zentrum , co oznacza centrum . W notacji konstruktora zestawów ,

Z( G ) = { zG | ∀ gG , zg = gz } .

Centrum jest normalną podgrupą , Z( G ) ⊲ G . Jako podgrupa jest zawsze charakterystyczna , ale niekoniecznie w pełni charakterystyczna . Grupa iloraz , G / z ( G ) jest izomorficzny w wewnętrznej automorfizm grupy INN ( G ) .

Grupa G jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy Z( G ) = G . Z drugiej strony, grupa jest uważana za bezśrodkową, jeśli Z( G ) jest trywialne ; tzn. składa się tylko z elementu tożsamości .

Elementy centrum są czasami nazywane centralnymi .

Jako podgrupa

Centrum G zawsze jest podgrupa o G . W szczególności:

  1. Z ( G ) zawiera element neutralny z G , ponieważ dojeżdża do każdego elementu g definicji: np = g = ge , gdzie e jest tożsamość;
  2. Jeśli x i y są w Z( G ) , to tak samo jest xy , przez połączenie: ( xy ) g = x ( yg ) = x ( gy ) = ( xg ) y = ( gx ) y = g ( xy ) dla każdego gG ; tj. Z( G ) jest zamknięte;
  3. Jeśli x jest w Z( G ) , to tak samo jest x −1 ponieważ, dla wszystkich g w G , x −1 komutuje z g : ( gx = xg ) ⇒ ( x −1 gxx −1 = x −1 xgx −1 ) ( x -1 g = gx -1 ) .

Ponadto, środek G zawsze normalny podgrupa o G . Ponieważ wszystkie elementy Z( G ) komutują, jest ono zamknięte w koniugacji .

Klasy koniugatu i centralizatory

Z definicji centrum jest zbiorem elementów, dla których klasa sprzężona każdego elementu jest samym elementem; tj. Cl( g ) = { g } .

Centrum jest również przecięciem wszystkich centralizatorów każdego elementu G . Ponieważ centralizatorzy są podgrupami, to ponownie pokazuje, że centrum jest podgrupą.

Koniugacja

Rozważmy mapy, f : G → Aut ( G ) od G do grupy automorfizm z G określa f ( g ) = φ g , gdzie φ g jest automorfizmem G określa

f ( g ) ( h ) = ϕ g ( h ) = ghg -1 .

Funkcja, f jest homomorfizmem grupy , a jego jądra właśnie centrum G , a jego obraz zwany wewnętrzny grupę automorfizm z G , oznaczony INN ( G ) . Z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie otrzymujemy,

G /Z( G ) ≃ Inn( G ) .

Cokernel tej mapy jest grupą Z ( G ) z automorfizmy zewnętrznych , a te tworzą dokładna kolejność

1 ⟶ Z( G ) ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out ( G ) ⟶ 1 .

Przykłady

  • Położenie środka grupa przemienna , G , to wszystko z G .
  • Centrum grupy Heisenberga , H , jest zbiorem macierzy postaci:
  • Środek nieabelowej prostej grupy jest trywialny.
  • Środek dwuściennej grupy , D n jest trywialne dla nieparzystych n ≥ 3 . Dla parzystego n ≥ 4 , środek składa się z elementu tożsamości wraz z obrotem wielokąta o 180° .
  • Środek grupy kwaternionów , Q 8 = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} , to {1, −1} .
  • Środek grupy symetrycznej , S n , jest trywialny dla n ≥ 3 .
  • Środek grupy naprzemiennej , A n , jest trywialny dla n ≥ 4 .
  • Środek ogólnej grupy liniowej nad ciałem F , GL n (F) , jest zbiorem macierzy skalarnych , { sI n ∣ s ∈ F \ {0} } .
  • Środek ortogonalne grupy , O n (F) jest {i n , -I n } .
  • Centrum specjalnej grupy ortogonalnej , SO( n ) to cała grupa, gdy n = 2 , w przeciwnym razie {I n , −I n }, gdy n jest parzyste, a trywialne, gdy n jest nieparzyste.
  • Środek jednostkowej grupy , jest .
  • Środek Grupa Su , jest .
  • Centrum multiplikatywnej grupy niezerowych kwaternionów jest multiplikatywną grupą niezerowych liczb rzeczywistych .
  • Korzystając z równania klasy , można udowodnić, że środek dowolnej nietrywialnej skończonej grupy p jest nietrywialny.
  • Jeśli grupa ilorazowa G /Z( G ) jest cykliczna , G jest abelowa (i stąd G = Z( G ) , więc G /Z( G ) jest trywialne).
  • Centrum grupy megaminx jest cykliczną grupą rzędu 2, a środek grupy kilominx jest trywialny.

Wyższe ośrodki

Kwotowanie przez środek grupy daje ciąg grup zwany górnym szeregiem centralnym :

( G 0 = G ) ⟶ ( G 1 = G 0 /Z( G 0 )) ⟶ ( G 2 = G 1 /Z( G 1 )) ⟶ ⋯

Jądro mapy GG ı jest I th centrum z G ( drugie centrum , trzeci środek , etc.) i jest oznaczona Z i ( G ) . Konkretnie, ( i + 1 )-te centrum są terminami, które przechodzą ze wszystkimi elementami aż do elementu i- tego centrum. Zgodnie z tą definicją, można zdefiniować 0-te centrum grupy jako podgrupę tożsamości. Może to być kontynuowane do nadskończonych liczb porządkowych przez indukcję pozaskończoną ; połączenie wszystkich wyższych ośrodków nazywa się hipercentrum .

Łańcuch rosnąco podgrup

1 ≤ Z( G ) ≤ Z 2 ( G ) ≤ ⋯

stabilizuje się i (równoważnie, Z i ( G ) = Z i + 1 ( G ) ) , wtedy i tylko wtedy, G i jest bezkłowe.

Przykłady

  • Dla grupy centerless wszystkie wyższe ośrodki są równe zeru, co ma miejsce, Z 0 ( G ) = Z 1 ( G ) od stabilizacji.
  • Zgodnie z lematem Grüna , iloraz idealnej grupy według jej centrum jest bezśrodkowy, stąd wszystkie wyższe centra są równe centrum. Jest to przypadek, w stabilizacji Z 1 ( G ) = Z 2 ( G ) .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Fraleigh, John B. (2014). Pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej (7 wyd.). Osoba. Numer ISBN 978-1-292-02496-7.

Linki zewnętrzne