Centrum (teoria grup) - Center (group theory)
o | mi | b | a | 2 | 3 | ab | a 2 b | 3 b |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
mi | mi | b | a | 2 | 3 | ab | a 2 b | 3 b |
b | b | mi | 3 b | a 2 b | ab | 3 | 2 | a |
a | a | ab | 2 | 3 | mi | a 2 b | 3 b | b |
2 | 2 | a 2 b | 3 | mi | a | 3 b | b | ab |
3 | 3 | 3 b | mi | a | 2 | b | ab | a 2 b |
ab | ab | a | b | 3 b | a 2 b | mi | 3 | 2 |
a 2 b | a 2 b | 2 | ab | b | 3 b | a | mi | 3 |
3 b | 3 b | 3 | a 2 b | ab | b | 2 | a | mi |
W abstrakcyjnej Algebra The środek z grupy , G , jest zestaw elementów, które dojeżdżają z każdym elemencie G . Jest oznaczony jako Z( G ) , od niemieckiego Zentrum , co oznacza centrum . W notacji konstruktora zestawów ,
- Z( G ) = { z ∈ G | ∀ g ∈ G , zg = gz } .
Centrum jest normalną podgrupą , Z( G ) ⊲ G . Jako podgrupa jest zawsze charakterystyczna , ale niekoniecznie w pełni charakterystyczna . Grupa iloraz , G / z ( G ) jest izomorficzny w wewnętrznej automorfizm grupy INN ( G ) .
Grupa G jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy Z( G ) = G . Z drugiej strony, grupa jest uważana za bezśrodkową, jeśli Z( G ) jest trywialne ; tzn. składa się tylko z elementu tożsamości .
Elementy centrum są czasami nazywane centralnymi .
Jako podgrupa
Centrum G zawsze jest podgrupa o G . W szczególności:
- Z ( G ) zawiera element neutralny z G , ponieważ dojeżdża do każdego elementu g definicji: np = g = ge , gdzie e jest tożsamość;
- Jeśli x i y są w Z( G ) , to tak samo jest xy , przez połączenie: ( xy ) g = x ( yg ) = x ( gy ) = ( xg ) y = ( gx ) y = g ( xy ) dla każdego g ∈ G ; tj. Z( G ) jest zamknięte;
- Jeśli x jest w Z( G ) , to tak samo jest x −1 ponieważ, dla wszystkich g w G , x −1 komutuje z g : ( gx = xg ) ⇒ ( x −1 gxx −1 = x −1 xgx −1 ) ( x -1 g = gx -1 ) .
Ponadto, środek G zawsze normalny podgrupa o G . Ponieważ wszystkie elementy Z( G ) komutują, jest ono zamknięte w koniugacji .
Klasy koniugatu i centralizatory
Z definicji centrum jest zbiorem elementów, dla których klasa sprzężona każdego elementu jest samym elementem; tj. Cl( g ) = { g } .
Centrum jest również przecięciem wszystkich centralizatorów każdego elementu G . Ponieważ centralizatorzy są podgrupami, to ponownie pokazuje, że centrum jest podgrupą.
Koniugacja
Rozważmy mapy, f : G → Aut ( G ) od G do grupy automorfizm z G określa f ( g ) = φ g , gdzie φ g jest automorfizmem G określa
- f ( g ) ( h ) = ϕ g ( h ) = ghg -1 .
Funkcja, f jest homomorfizmem grupy , a jego jądra właśnie centrum G , a jego obraz zwany wewnętrzny grupę automorfizm z G , oznaczony INN ( G ) . Z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie otrzymujemy,
- G /Z( G ) ≃ Inn( G ) .
Cokernel tej mapy jest grupą Z ( G ) z automorfizmy zewnętrznych , a te tworzą dokładna kolejność
- 1 ⟶ Z( G ) ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out ( G ) ⟶ 1 .
Przykłady
- Położenie środka grupa przemienna , G , to wszystko z G .
- Centrum grupy Heisenberga , H , jest zbiorem macierzy postaci:
- Środek nieabelowej prostej grupy jest trywialny.
- Środek dwuściennej grupy , D n jest trywialne dla nieparzystych n ≥ 3 . Dla parzystego n ≥ 4 , środek składa się z elementu tożsamości wraz z obrotem wielokąta o 180° .
- Środek grupy kwaternionów , Q 8 = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} , to {1, −1} .
- Środek grupy symetrycznej , S n , jest trywialny dla n ≥ 3 .
- Środek grupy naprzemiennej , A n , jest trywialny dla n ≥ 4 .
- Środek ogólnej grupy liniowej nad ciałem F , GL n (F) , jest zbiorem macierzy skalarnych , { sI n ∣ s ∈ F \ {0} } .
- Środek ortogonalne grupy , O n (F) jest {i n , -I n } .
- Centrum specjalnej grupy ortogonalnej , SO( n ) to cała grupa, gdy n = 2 , w przeciwnym razie {I n , −I n }, gdy n jest parzyste, a trywialne, gdy n jest nieparzyste.
- Środek jednostkowej grupy , jest .
- Środek Grupa Su , jest .
- Centrum multiplikatywnej grupy niezerowych kwaternionów jest multiplikatywną grupą niezerowych liczb rzeczywistych .
- Korzystając z równania klasy , można udowodnić, że środek dowolnej nietrywialnej skończonej grupy p jest nietrywialny.
- Jeśli grupa ilorazowa G /Z( G ) jest cykliczna , G jest abelowa (i stąd G = Z( G ) , więc G /Z( G ) jest trywialne).
- Centrum grupy megaminx jest cykliczną grupą rzędu 2, a środek grupy kilominx jest trywialny.
Wyższe ośrodki
Kwotowanie przez środek grupy daje ciąg grup zwany górnym szeregiem centralnym :
- ( G 0 = G ) ⟶ ( G 1 = G 0 /Z( G 0 )) ⟶ ( G 2 = G 1 /Z( G 1 )) ⟶ ⋯
Jądro mapy G → G ı jest I th centrum z G ( drugie centrum , trzeci środek , etc.) i jest oznaczona Z i ( G ) . Konkretnie, ( i + 1 )-te centrum są terminami, które przechodzą ze wszystkimi elementami aż do elementu i- tego centrum. Zgodnie z tą definicją, można zdefiniować 0-te centrum grupy jako podgrupę tożsamości. Może to być kontynuowane do nadskończonych liczb porządkowych przez indukcję pozaskończoną ; połączenie wszystkich wyższych ośrodków nazywa się hipercentrum .
Łańcuch rosnąco podgrup
- 1 ≤ Z( G ) ≤ Z 2 ( G ) ≤ ⋯
stabilizuje się i (równoważnie, Z i ( G ) = Z i + 1 ( G ) ) , wtedy i tylko wtedy, G i jest bezkłowe.
Przykłady
- Dla grupy centerless wszystkie wyższe ośrodki są równe zeru, co ma miejsce, Z 0 ( G ) = Z 1 ( G ) od stabilizacji.
- Zgodnie z lematem Grüna , iloraz idealnej grupy według jej centrum jest bezśrodkowy, stąd wszystkie wyższe centra są równe centrum. Jest to przypadek, w stabilizacji Z 1 ( G ) = Z 2 ( G ) .
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Fraleigh, John B. (2014). Pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej (7 wyd.). Osoba. Numer ISBN 978-1-292-02496-7.
Linki zewnętrzne
- "Centrum grupy" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]