Centroida — Centroid

Centroida trójkąta

W matematyce i fizyce The ciężkości i geometryczny środek z figury płaskiej jest średnią arytmetyczną pozycję wszystkich punktów na rysunku. Nieformalnie jest to punkt, w którym wycięcie kształtu (o równomiernie rozłożonej masie) może być idealnie wyważone na czubku szpilki. Ta sama definicja rozciąga się na każdy obiekt w przestrzeni n - wymiarowej .

Podczas gdy w geometrii słowo barycenter jest synonimem centroidu , w astrofizyce i astronomii barycenter jest środkiem masy dwóch lub więcej ciał krążących wokół siebie. W fizyce środek masy jest średnią arytmetyczną wszystkich punktów ważonych gęstością lokalną lub ciężarem właściwym . Jeśli obiekt fizyczny ma jednolitą gęstość, to jego środek masy jest taki sam jak środek ciężkości jego kształtu.

W geografii środek ciężkości rzutu promieniowego regionu powierzchni Ziemi na poziom morza jest środkiem geograficznym regionu .

Historia

Termin „centroid” pochodzi z ostatnich lat (1814). Jest używany jako substytut starszych terminów „ środek ciężkości ” i „ środek masy ”, gdy należy podkreślić czysto geometryczne aspekty tego punktu. Termin jest specyficzny dla języka angielskiego. Francuzi używają w większości przypadków „ center de gravité ”, a inni używają terminów o podobnym znaczeniu.

Środek ciężkości, jak sama nazwa wskazuje, to pojęcie powstałe w mechanice, najprawdopodobniej w związku z czynnościami budowlanymi. Kiedy, gdzie i przez kogo została wynaleziona, nie wiadomo, ponieważ jest to koncepcja, która prawdopodobnie przyszło wielu osobom indywidualnie z niewielkimi różnicami.

Choć Archimedes nie formułuje tej propozycji wprost, nawiązuje do niej pośrednio, sugerując, że był z nią zaznajomiony. Jednak Jean-Étienne Montucla (1725–1799), autor pierwszej historii matematyki (1758) stwierdza kategorycznie (t. I, s. 463), że środek ciężkości brył jest tematem, którego Archimedes nie dotykał.

W 1802 Charles Bossut (1730-1813) opublikował dwutomowy Essai sur l'histoire générale des mathématiques. Książka ta cieszyła się dużym uznaniem współczesnych, sądząc po tym, że w ciągu dwóch lat po wydaniu była już dostępna w tłumaczeniu na język włoski (1802–03), angielski (1803) i niemiecki (1804). Bossut przypisuje Archimedesowi znalezienie środka ciężkości figur płaskich, ale nie ma nic do powiedzenia na temat brył.

Chociaż możliwe jest, że Euklides był nadal aktywny w Aleksandrii w dzieciństwie Archimedesa (287–212 pne), jest pewne, że kiedy Archimedes odwiedził Aleksandrię , Euklidesa już tam nie było. Tak więc Archimedes nie mógł nauczyć się twierdzenia, że ​​mediany trójkąta spotykają się w punkcie — środku ciężkości trójkąta — bezpośrednio od Euklidesa, ponieważ twierdzenia tego nie ma w Elementach Euklidesa . Pierwsze jednoznaczne stwierdzenie tej tezy pochodzi od Herona z Aleksandrii (być może I wieku n.e.) i występuje w jego mechanice. Na marginesie można dodać, że teza ta nie była powszechna w podręcznikach geometrii płaskiej aż do XIX wieku.

Nieruchomości

Geometryczny środek ciężkości obiektu wypukłego zawsze leży w obiekcie. Obiekt niewypukły może mieć środek ciężkości znajdujący się poza samą figurą. Na przykład środek ciężkości pierścienia lub misy znajduje się w centralnej pustce obiektu.

Jeśli środek ciężkości jest zdefiniowany, jest to stały punkt wszystkich izometrii w swojej grupie symetrii . W szczególności, geometryczny środek ciężkości przedmiotu leży w przecięcia wszystkich hiperplaszczyzn od symetrii . Środek ciężkości wielu figur ( wielokąt foremny , wielościan foremny , cylinder , prostokąt , romb , okrąg , sfera , elipsa , elipsoida , superelipsa , superelipsoida , itp.) może być wyznaczona wyłącznie na podstawie tej zasady.

W szczególności środek ciężkości równoległoboku jest miejscem spotkania jego dwóch przekątnych . Nie dotyczy to innych czworokątów .

Z tego samego powodu środek ciężkości obiektu o symetrii translacyjnej jest niezdefiniowany (lub leży poza otaczającą go przestrzenią), ponieważ translacja nie ma ustalonego punktu.

Przykłady

Środek ciężkości trójkąta to przecięcie trzech środkowych trójkąta (każda środkowa łącząca wierzchołek z punktem środkowym przeciwnej strony).

Inne właściwości centroidy trójkąta znajdziesz poniżej .

Lokowanie

Metoda pionu

Środek ciężkości blaszki płaskiej o jednolitej gęstości , taki jak na rysunku (a) poniżej, można wyznaczyć eksperymentalnie za pomocą pionu i szpilki w celu znalezienia wspólnego środka masy cienkiego ciała o jednolitej gęstości o tym samym kształcie. Korpus jest utrzymywany przez szpilkę wsuniętą punktowo poza domniemany środek ciężkości w taki sposób, że może swobodnie obracać się wokół szpilki; pion jest następnie zrzucany z kołka (rysunek b). Położenie pionu jest śledzone na powierzchni, a procedura jest powtarzana z kołkiem włożonym w dowolnym innym punkcie (lub kilku punktach) poza środkiem ciężkości obiektu. Unikalnym punktem przecięcia tych linii będzie środek ciężkości (rysunek c). Zakładając, że ciało ma jednakową gęstość, wszystkie wykonane w ten sposób linie będą zawierały środek ciężkości i wszystkie linie będą się przecinać dokładnie w tym samym miejscu.

Środek ciężkości 0.svg
Środek ciężkości 1.svg
Środek ciężkości 2.svg
(a) (b) (C)

Metoda ta może zostać rozszerzona (teoretycznie) na kształty wklęsłe, w których środek ciężkości może leżeć na zewnątrz kształtu, i praktycznie na bryły (ponownie, o jednolitej gęstości), gdzie środek ciężkości może leżeć w ciele. (Wirtualne) pozycje pionów należy rejestrować w inny sposób niż rysowanie ich wzdłuż kształtu.

Metoda równoważenia

W przypadku wypukłych kształtów dwuwymiarowych środek ciężkości można znaleźć, równoważąc kształt na mniejszym kształcie, takim jak wierzchołek wąskiego cylindra. Środek ciężkości znajduje się gdzieś w zasięgu kontaktu między tymi dwoma kształtami (i dokładnie w punkcie, w którym kształt zrównoważyłby się na szpilce). Zasadniczo do znalezienia środka ciężkości z dowolną precyzją można użyć coraz węższych cylindrów. W praktyce prądy powietrzne sprawiają, że jest to niewykonalne. Jednak zaznaczając zakres nakładania się z wielu wag, można osiągnąć znaczny poziom dokładności.

O skończonym zbiorze punktów

Środek ciężkości skończonego zbioru punktów w to

.

Ten punkt minimalizuje sumę kwadratów odległości euklidesowych między nim a każdym punktem w zbiorze.

Przez rozkład geometryczny

Środek ciężkości figury płaskiej można obliczyć dzieląc ją na skończoną liczbę prostszych figur , obliczając środek ciężkości i pole każdej części, a następnie obliczając

Otwory w figurze , zakładki między częściami lub części wystające poza figurę można obsłużyć za pomocą obszarów ujemnych . Mianowicie miary powinny być wykonane ze znakami dodatnimi i ujemnymi w taki sposób, aby suma znaków dla wszystkich części obejmujących dany punkt wynosiła 1 jeśli należy do , a 0 w przeciwnym wypadku.

Na przykład poniższy rysunek (a) można łatwo podzielić na kwadrat i trójkąt, oba z dodatnim obszarem; oraz okrągły otwór o ujemnym polu (b).

(a) Obiekt 2D
(b) Obiekt opisany za pomocą prostszych elementów
(c) Centroidy elementów obiektu

Centroid każdej części można znaleźć na dowolnej liście centroidów o prostych kształtach (c). Wtedy środek ciężkości figury jest średnią ważoną trzech punktów. Pozioma pozycja centroidu, od lewej krawędzi figury, to

W ten sam sposób znajduje się położenie środka ciężkości w pionie.

Ten sam wzór obowiązuje dla dowolnych obiektów trójwymiarowych, z wyjątkiem tego, że każdy z nich powinien być objętością , a nie jego powierzchnią. Dotyczy to również dowolnego podzbioru , dla dowolnego wymiaru , z obszarami zastąpionymi przez -wymiarowe miary części.

Według wzoru całkowego

Centroid podzbioru X o Może być także obliczana przez całkę

gdzie całki są brane po całej przestrzeni , a g jest funkcją charakterystyczną podzbioru, który wynosi 1 wewnątrz X i 0 poza nim. Zauważ, że mianownik jest po prostu miarą zbioru X . Formuła ta nie może być zastosowana, jeśli zbiór X ma miarę zerową lub jeśli któraś z całki jest rozbieżna.

Inny wzór na środek ciężkości to

gdzie C k jest k- tą współrzędną C , a S k ( z ) jest miarą przecięcia X z hiperpłaszczyzną określoną równaniem x k = z . Ponownie, mianownik jest po prostu miarą X .

W szczególności dla figury płaskiej współrzędne barycentrum to

gdzie A jest polem figury X ; S y ( x ) jest długością przecięcia X z pionową linią na odciętej x ; a S x ( y ) jest analogiczną wielkością dla zamienionych osi.

O ograniczonym regionie

Środek ciężkości obszaru ograniczonego wykresami funkcji ciągłych i takiego, że na przedziale , , jest dany wzorem

gdzie jest obszar regionu (podany przez ).

Obiektu w kształcie litery L

Jest to metoda wyznaczania środka ciężkości obiektu w kształcie litery L.

CoG w kształcie litery L.svg

  1. Podziel kształt na dwa prostokąty, jak pokazano na rys. 2. Znajdź centroidy tych dwóch prostokątów, rysując przekątne. Narysuj linię łączącą centroidy. Środek ciężkości kształtu musi leżeć na tej prostej AB.
  2. Podziel kształt na dwa inne prostokąty, jak pokazano na rys. 3. Znajdź centroidy tych dwóch prostokątów, rysując przekątne. Narysuj linię łączącą centroidy. Środek ciężkości kształtu L musi leżeć na tej linii CD.
  3. Ponieważ środek ciężkości kształtu musi leżeć wzdłuż AB, a także wzdłuż CD, musi znajdować się na przecięciu tych dwóch linii, w O. Punkt O może leżeć wewnątrz lub na zewnątrz obiektu w kształcie litery L.

Trójkąta

Trójkąt centroid 1.svg Trójkąt centroid 2.svg

Środek ciężkości trójkąta to punkt przecięcia jego środkowych (linie łączące każdy wierzchołek ze środkiem przeciwnej strony). Środek ciężkości dzieli każdą z środkowych w stosunku 2:1, co oznacza, że ​​znajduje się w ⅓ odległości z każdej strony do przeciwległego wierzchołka (patrz rysunki po prawej). Jego współrzędne kartezjańskieśrednimi współrzędnych trzech wierzchołków. Oznacza to, że jeśli trzy wierzchołki są, a następnie środek ciężkości (oznaczony tutaj jako C , ale najczęściej oznaczany jako G w geometrii trójkąta ) jest

Środek ciężkości znajduje się zatem we współrzędnych barycentrycznych .

We współrzędnych trójliniowych środek ciężkości można wyrazić w dowolny z tych równoważnych sposobów w postaci długości boków a, b, c i kątów wierzchołkowych L, M, N :

Centroid jest również fizycznym środkiem masy, jeśli trójkąt jest wykonany z jednolitej warstwy materiału; lub jeśli cała masa jest skoncentrowana na trzech wierzchołkach i równo podzielona między nie. Z drugiej strony, jeśli masa jest rozprowadzane wzdłuż obwodu tego trójkąta z jednolitej gęstości liniowej , a następnie środek leży masowych w centrum Spieker (The incenter w środkowej trójkąt ), co nie jest (ogólnie) pokrywają się z geometryczną środek ciężkości pełnego trójkąta.

Powierzchnia trójkąta jest 1,5 razy większa od długości dowolnego boku razy prostopadła odległość od boku do środka ciężkości.

Centroid trójkąta leży na linii Eulera między jego ortocentrum H i jego środkiem okręgu O , dokładnie dwa razy bliżej tego ostatniego niż pierwszego:

Ponadto, dla incenter I i dziewięć-punkt środkowy N mamy

Jeżeli G jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, to:

Sprzężenie izogonalne od ciężkości trójkąta jest jego symediana punkt .

Każda z trzech median przechodzących przez środek ciężkości dzieli obszar trójkąta na pół. Nie dotyczy to innych linii przechodzących przez środek ciężkości; największe odejście od podziału równopowierzchniowego występuje, gdy prosta przechodząca przez środek ciężkości jest równoległa do boku trójkąta, tworząc mniejszy trójkąt i trapez ; w tym przypadku powierzchnia trapezu wynosi 5/9 pola pierwotnego trójkąta.

Niech P będzie dowolnym punktem na płaszczyźnie trójkąta o wierzchołkach A, B i C oraz centroidzie G . Wtedy suma kwadratów odległości P od trzech wierzchołków przekracza sumę kwadratów odległości środka ciężkości G od wierzchołków o trzykrotność kwadratu odległości między P i G :

Suma kwadratów boków trójkąta jest równa trzykrotnej sumie kwadratów odległości środka ciężkości od wierzchołków:

Centroid trójkąta to punkt, który maksymalizuje iloczyn skierowanych odległości punktu od linii bocznych trójkąta.

Niech ABC będzie trójkątem, G będzie jego środkiem ciężkości, a D , E i F będą środkami odpowiednio BC , CA i AB . Dla dowolnego punktu P na płaszczyźnie ABC wtedy

Wielokąta

Środek ciężkości nie przecinającego się zamkniętego wielokąta zdefiniowanego przez n wierzchołków ( x 0 , y 0 ), ( x 1 , y 1 ), ..., ( x n −1 , y n −1 ) jest punktem ( C x , C y ), gdzie

oraz

i gdzie A jest obszarem oznaczonym wielokątem, opisanym wzorem na sznurowadło :

We wzorach tych zakłada się, że wierzchołki są ponumerowane w kolejności ich występowania na obwodzie wielokąta; ponadto zakłada się , że wierzchołek ( x n , y n ) jest taki sam jak ( x 0 , y 0 ), co oznacza, że w ostatnim przypadku musi się zapętlić do . (Jeżeli punkty są numerowane w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara, obszar A , obliczony jak powyżej, będzie ujemny; jednak współrzędne środka ciężkości będą prawidłowe nawet w tym przypadku.)

Stożka lub piramidy

Centroid stożka lub piramidy znajduje się na odcinku linii, który łączy wierzchołek z centroidem podstawy. W przypadku pełnego stożka lub piramidy środek ciężkości wynosi 1/4 odległości od podstawy do wierzchołka. W przypadku stożka lub piramidy, która jest tylko skorupą (pustą) bez podstawy, środek ciężkości wynosi 1/3 odległości od płaszczyzny podstawy do wierzchołka.

O czworościanie i n- wymiarowym simpleksie

Czworościanu jest obiekt w przestrzeni trójwymiarowej mającej cztery trójkąty jak jego twarzy . Odcinek łączący wierzchołek czworościanu z centroidem przeciwległej ściany nazywany jest medianą , a odcinek łączący środki dwóch przeciwległych krawędzi nazywany jest bimedianą . Stąd istnieją cztery mediany i trzy bimediany. Wszystkie te siedem odcinków linii spotykają się w środku ciężkości czworościanu. Mediany są podzielone przez środek ciężkości w stosunku 3:1. Środek ciężkości czworościanu jest środkiem między jego punktem Monge a środkiem okręgu opisanego (środek ograniczonej kuli). Te trzy punkty definiują linię Eulera czworościanu, która jest analogiczna do linii Eulera trójkąta.

Wyniki te uogólniają się na dowolny n- wymiarowy simpleks w następujący sposób. Jeśli zbiór wierzchołków simpleksu to , to biorąc wierzchołki jako wektory , środek ciężkości jest

Geometryczny środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy, jeśli masa jest równomiernie rozłożona na całym simpleksie lub skoncentrowana na wierzchołkach jako n+1 równych mas.

Półkuli

Środek ciężkości półkuli pełnej (tj. połowy kuli) dzieli odcinek łączący środek kuli z biegunem półkuli w stosunku 3:5 (tj. leży 3/8 drogi od środka do bieguna). Środek ciężkości wydrążonej półkuli (tj. połowa wydrążonej kuli) dzieli na pół odcinek łączący środek kuli z biegunem półkuli.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki