Nierówności Czebyszewa – Markowa – Stieltjesa - Chebyshev–Markov–Stieltjes inequalities

W analizie matematycznej , że Czebyszewa-Markowa-Stieltjes nierówności są nierówności związane z problemem momentów , które zostały sformułowane w 1880 roku przez Pafnutij Czebyszow i okazały niezależnie przez Andriej Markow i (nieco później) przez Thomasa Jan Stieltjes . Nieformalnie zapewniają ostre granice miary z góry i z dołu w pierwszych chwilach .

Sformułowanie

Biorąc pod uwagę m ₀ , ..., m _{2 m -1} ∈ R , rozważ zbiór C miar μ na R taki, że

${\ Displaystyle \ int x ^ {k} d \ mu (x) = m_ {k}}$

dla k = 0,1, ..., 2 m  - 1 (a zwłaszcza całka jest określona i skończona).

Niech P ₀ , P ₁ , ..., P _m będą pierwszymi m + 1 wielomianami ortogonalnymi względem μ ∈ C i niech ξ ₁ , ... ξ _m będą zerami P _m . Nietrudno zauważyć, że wielomiany P ₀ , P ₁ , ..., P _{m -1} i liczby ξ ₁ , ... ξ _m są takie same dla każdego μ ∈ C , a zatem są jednoznacznie określane przez m ₀ , ..., m _{2 m -1} .

Oznaczać

${\ Displaystyle \ rho _ {m-1} (z) = 1 {\ duży /} \ suma _ {k = 0} ^ {m-1} | P_ {k} (z) | ^ {2}}$ .

Twierdzenie dla j = 1,2, ..., m i dowolnego μ ∈ C ,

${\ Displaystyle \ mu (- \ infty, \ xi _ {j}] \ leq \ rho _ {m-1} (\ xi _ {1}) + \ cdots + \ rho _ {m- 1} (\ xi _ {j}) \ leq \ mu (- \ infty, \ xi _ {j + 1}).}$

Bibliografia