Funkcja wyboru - Choice function

Funkcja wyboru ( selektor , selekcja ) jest funkcją matematyczną f, która jest zdefiniowana w pewnym zbiorze X niepustych zbiorów i przypisuje jakiś element każdego zbioru S w tym zbiorze do S przez f ( S ); F. ( S ) odwzorowuje S do pewnego elementu S . Innymi słowy, f jest funkcją wyboru dla X wtedy i tylko wtedy, gdy należy do bezpośredniego produktu z X .

Przykład

Niech X  = {{1,4,7}, {9}, {2,7}}. Wtedy funkcja przypisująca 7 do zbioru {1,4,7}, 9 do {9}, a 2 do {2,7} jest funkcją wyboru na X .

Historia i znaczenie

Ernst Zermelo (1904) wprowadził funkcje wyboru oraz aksjomat wyboru (AC) i udowodnił twierdzenie o dobrym uporządkowaniu , które mówi, że każdy zbiór może być dobrze uporządkowany . AC stwierdza, że ​​każdy zbiór niepustych zbiorów ma funkcję wyboru. Słabsza forma AC, aksjomat przeliczalnego wyboru (AC _ω ) mówi, że każdy policzalny zbiór niepustych zbiorów ma funkcję wyboru. Jednak w przypadku braku AC lub AC _ω , niektóre zbiory mogą nadal mieć funkcję wyboru.

• Jeśli jest skończonym zbiorem niepustych zbiorów, to można skonstruować funkcję wyboru for wybierając jeden element z każdego elementu To wymaga tylko skończenie wielu wyborów, więc ani AC, ani AC _{ω nie} są potrzebne.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• Jeśli każdy członek jest zbiorem niepustym, a związek jest dobrze uporządkowany, to można wybrać najmniejszy element każdego członka . W tym przypadku można było jednocześnie dobrze uporządkować każdego członka , dokonując tylko jednego wyboru dobrego uporządkowania związku, więc ani AC, ani AC _{ω nie} były potrzebne. (Ten przykład pokazuje, że twierdzenie o dobrym porządku implikuje AC. Odwrotność jest również prawdziwa, ale mniej trywialna.)${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Funkcja wyboru mapy wielowartościowej

Biorąc pod uwagę dwa zbiory X i Y , niech F będzie wielowartościowym mapa z X i Y (równoważnie, to funkcja od X do zestawu zasilającego z Y ). ${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$

Funkcja mówi się wybór z F , jeżeli: ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

${\displaystyle \forall x\in X\,(f(x)\in F(x))\,.}$

Istnienie bardziej regularnych funkcji wyboru, a mianowicie selekcji ciągłych lub mierzalnych, jest ważne w teorii wtrąceń różniczkowych , kontroli optymalnej i ekonomii matematycznej . Zobacz Twierdzenie o selekcji .

Funkcja tau Bourbaki

Nicolas Bourbaki użył rachunku epsilon do swoich fundamentów, które miały symbol, który można interpretować jako wybór przedmiotu (jeśli taki istnieje), który spełnia daną propozycję. Więc jeśli jest predykatem, to jest jeden konkretny obiekt, który spełnia (jeśli istnieje, w przeciwnym razie zwraca dowolny obiekt). Stąd możemy otrzymać kwantyfikatory z funkcji wyboru, na przykład był równoważny . ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle \tau _{x}(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P(\tau _{x}(P))}$${\displaystyle (\exists x)(P(x))}$

Jednak operator wyboru Bourbakiego jest silniejszy niż zwykle: jest to globalny operator wyboru. Oznacza to, że implikuje aksjomat globalnego wyboru . Hilbert zdał sobie z tego sprawę, wprowadzając rachunek epsilon.

Zobacz też

• Aksjomat wyboru policzalnego
• Paradoks Hausdorffa
• Półciągłość

Uwagi

Bibliografia

Ten artykuł zawiera materiał z funkcji Choice w PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .