Koło - Circle

Koło
Koło-zsegmentami.svg
Okrąg (czarny), który jest mierzony przez jego obwód ( C ), średnicę ( D ) na niebiesko i promień ( R ) na czerwono; jego środek ( O ) jest zielony.

Koło jest kształt obejmujący wszystkie punkty na płaszczyźnie , które są w pewnym odstępie od danego punktowych środkowej ; równoważnie jest to krzywa wyznaczona przez punkt poruszający się na płaszczyźnie tak, że jego odległość od danego punktu jest stała . Odległość pomiędzy dowolnym punktem okręgu a środkiem nazywana jest promieniem . Ten artykuł dotyczy okręgów w geometrii euklidesowej , aw szczególności płaszczyzny euklidesowej, chyba że zaznaczono inaczej.

Okrąg to prosta zamknięta krzywa, która dzieli płaszczyznę na dwa obszary : wewnętrzny i zewnętrzny . W codziennym użyciu termin „koło” może być używany zamiennie w odniesieniu albo do granicy figury, albo do całej figury wraz z jej wnętrzem; w ścisłym użyciu technicznym okrąg jest tylko granicą, a cała figura nazywana jest dyskiem .

Okrąg można również zdefiniować jako specjalny rodzaj elipsy, w której dwa ogniska pokrywają się, a mimośród wynosi 0, lub dwuwymiarowy kształt obejmujący największą powierzchnię na jednostkę obwodu do kwadratu, przy użyciu rachunku wariacji .

Definicja Euklidesa

Okrąg to figura płaska ograniczona jedną linią krzywą i taka, że ​​wszystkie linie proste poprowadzone od pewnego punktu w jego obrębie do linii granicznej są równe. Linia graniczna nazywana jest jej obwodem, a punkt jej środkiem.

Definicja topologiczna

W dziedzinie topologii okrąg nie ogranicza się do koncepcji geometrycznej, ale do wszystkich jego homeomorfizmów . Dwa koła topologiczne są równoważne, jeśli można ją przekształcić w inny przez odkształcenie R 3 na siebie (znany jako isotopy otoczenia ).

Terminologia

  • Annulus : obiekt w kształcie pierścienia, obszar ograniczony dwoma koncentrycznymi okręgami.
  • Łuk : dowolna połączona część okręgu. Określenie dwóch punktów końcowych łuku i środka pozwala na utworzenie dwóch łuków, które razem tworzą pełny okrąg.
  • Centrum: punkt równoodległy od wszystkich punktów na okręgu.
  • Cięciwa : odcinek linii, którego punkty końcowe leżą na okręgu, dzieląc w ten sposób okrąg na dwa odcinki.
  • Obwód : długość jednego obwodu wzdłuż okręgu lub odległość wokół okręgu.
  • Średnica : odcinek linii, którego punkty końcowe leżą na okręgu i który przechodzi przez środek; lub długość takiego odcinka linii. Jest to największa odległość między dowolnymi dwoma punktami na okręgu. Jest to szczególny przypadek cięciwy, czyli najdłuższego cięciwy dla danego okręgu, a jego długość jest dwukrotnością długości promienia.
  • Dysk: obszar płaszczyzny ograniczony okręgiem.
  • Soczewka : obszar wspólny (przecięcie) dwóch zachodzących na siebie dysków.
  • Passant: współpłaszczyznowa linia prosta, która nie ma wspólnego punktu z okręgiem.
  • Promień: odcinek łączący środek okręgu z dowolnym pojedynczym punktem na samym okręgu; lub długość takiego segmentu, która jest połową (długością) średnicy.
  • Sektor : region ograniczony dwoma promieniami o równej długości ze wspólnym środkiem i jednym z dwóch możliwych łuków, wyznaczonym przez ten środek i punkty końcowe promieni.
  • Segment : region ograniczony cięciwą i jednym z łuków łączących punkty końcowe cięciwy. Długość cięciwy nakłada dolną granicę na średnicę możliwych łuków. Czasami termin segment jest używany tylko dla regionów nie zawierających środka okręgu, do którego należy ich łuk.
  • Sieczna : cięciwa wydłużona, współpłaszczyznowa linia prosta, przecinająca okrąg w dwóch punktach.
  • Półokrąg : jeden z dwóch możliwych łuków określonych przez punkty końcowe średnicy, przyjmujący punkt środkowy jako środek. W powszechnym użyciu nietechnicznym może to oznaczać wnętrze dwuwymiarowego obszaru ograniczonego średnicą i jednym z jego łuków, zwanego technicznie półdyskiem. Półtarcz to szczególny przypadek segmentu, czyli największego.
  • Styczna : współpłaszczyznowa linia prosta, która ma jeden wspólny punkt z okręgiem ("dotyka okręgu w tym punkcie").

Wszystkie określone regiony można uznać za otwarte , to znaczy niezawierające swoich granic, lub za zamknięte , w tym ich odpowiednie granice.

Cięciwa, sieczna, styczna, promień i średnica
Łuk, sektor i segment

Historia

Kompas w tym 13-wiecznym rękopisie jest symbolem aktu Bożego Stworzenia . Zwróć także uwagę na okrągły kształt aureoli .

Słowo koło pochodzi od greckich κίρκος / κύκλος ( Kirkos / Kuklos ), sama jest metatezy z tego Greka homerycka κρίκος ( krikos ), co oznacza „obręcz” lub „pierścień”. Początki słów cyrk i obwód są ze sobą ściśle powiązane.

Okrągły kawałek jedwabiu z wizerunkami mongolskimi
Koła w starym arabskim rysunku astronomicznym .

Koło znane jest jeszcze przed początkiem pisanej historii. Zaobserwowano by naturalne kręgi, takie jak Księżyc, Słońce i krótką łodygę rośliny wiejącą na wietrze na piasku, która tworzy na piasku kształt koła. Koło jest podstawą koła , które wraz z pokrewnymi wynalazkami, takimi jak koła zębate , umożliwia wiele nowoczesnych maszyn. W matematyce badanie koła pomogło zainspirować rozwój geometrii, astronomii i rachunku różniczkowego.

Wczesna nauka , szczególnie geometrii i astrologia i astronomia , został podłączony do boskości dla większości średniowiecznych uczonych , a wielu uważa, że coś wewnętrznie „boski” lub „doskonałe”, które można znaleźć w kręgach.

Niektóre wydarzenia z historii kręgu to:

  • 1700 p.n.e. – Papirus Rhinda podaje metodę znajdowania obszaru okrągłego pola. Wynik odpowiada 256/81(3.16049...) jako przybliżoną wartość π .
Wieża Tughrul od wewnątrz
  • 300 pne - Book 3 Euklidesa Elementy zajmuje się właściwościami kręgach.
  • W Plato „s Seventh Letter jest szczegółowe określenie i wyjaśnienie kręgu. Platon wyjaśnia idealne koło i jak różni się od jakiegokolwiek rysunku, słów, definicji lub wyjaśnienia.
  • 1880 n.e. – Lindemann udowadnia, że π jest transcendentalne , skutecznie rozwiązując tysiącletni problem kwadratury koła.

Wyniki analityczne

Obwód

Stosunek obwodu koła do jego średnicy to π (pi), stała niewymierna w przybliżeniu równa 3,141592654. Zatem obwód C jest powiązany z promieniem r i średnicą d przez:

Obszar zamknięty

Pole zamknięte okręgiem = π × pole zacieniowanego kwadratu

Jak dowiódł Archimedes , w swoim Pomiarze koła , powierzchnia otoczona przez okrąg jest równa powierzchni trójkąta, którego podstawa ma długość obwodu koła i którego wysokość równa się promieniowi koła, co daje π pomnożone przez promień do kwadratu:

Równoważnie, oznaczając średnicę przez d ,

czyli około 79% opisanego kwadratu (którego bok ma długość d ).

Okrąg jest krzywą płaską obejmującą maksymalny obszar dla danej długości łuku. Wiąże to koło z problemem w rachunku wariacyjnym, a mianowicie z nierównością izoperymetryczną .

Równania

współrzędne kartezjańskie

Okrąg o promieniu r  = 1, środek ( ab ) = (1,2, -0,5)
Równanie okręgu

W kartezjańskim układzie współrzędnych xy okrąg o współrzędnych środka ( a , b ) i promieniu r jest zbiorem wszystkich punktów ( x , y ) takich, że

To równanie , znany jako równania okręgu , wynika z Pitagorasa zastosowane do dowolnego punktu na kole: jak pokazano na rysunku obok promień stanowi przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego drugi boki mają długość | xa | i | yb |. Jeśli okrąg jest wyśrodkowany w punkcie początkowym (0, 0), to równanie upraszcza się do

Forma parametryczna

Równanie można zapisać w postaci parametrycznej za pomocą funkcji trygonometrycznych sinus i cosinus as

gdzie t jest zmienną parametryczną z zakresu od 0 do 2 π , interpretowaną geometrycznie jako kąt , jaki tworzy promień od ( ab ) do ( xy ) z dodatnią  osią x .

Alternatywna parametryzacja okręgu to

W tej parametryzacji stosunek t do r można interpretować geometrycznie jako rzut stereograficzny linii przechodzącej przez środek równolegle do  osi x (patrz Podstawienie półkąta stycznego ). Jednak ta parametryzacja działa tylko wtedy, gdy t jest ustawione w zakresie nie tylko przez wszystkie liczby rzeczywiste, ale także do punktu w nieskończoności; w przeciwnym razie skrajny lewy punkt okręgu zostałby pominięty.

Forma 3-punktowa

Równanie okręgu wyznaczonego przez trzy punkty nie na prostej otrzymuje się przez przekształcenie 3-punktowej postaci równania okręgu :

Forma jednorodna

We współrzędnych jednorodnych każdy odcinek stożkowy z równaniem koła ma postać

Można udowodnić, że przekrój stożkowy jest kołem dokładnie wtedy, gdy zawiera (po rozciągnięciu do zespolonej płaszczyzny rzutowej ) punkty I (1: i : 0) oraz J (1: − i : 0). Punkty te nazywane są okrągłymi punktami w nieskończoności .

Współrzędne biegunowe

We współrzędnych biegunowych równanie okręgu to

gdzie a jest promieniem okręgu, są współrzędnymi biegunowymi ogólnego punktu na okręgu i są współrzędnymi biegunowymi środka okręgu (tzn. r 0 jest odległością od początku do środka okręgu, a φ jest kątem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od dodatniej  osi x do linii łączącej początek ze środkiem okręgu). Dla okręgu wyśrodkowanego na początku, tj. r 0 = 0 , redukuje się to po prostu do r = a . Gdy r 0 = a , lub gdy początek leży na okręgu, równanie staje się

W ogólnym przypadku równanie można rozwiązać dla r , podając

Zauważ, że bez znaku ± równanie w niektórych przypadkach opisuje tylko pół koła.

Złożona płaszczyzna

W płaszczyźnie zespolonej okrąg o środku w punkcie c i promieniu r ma równanie

W postaci parametrycznej można to zapisać jako

Nieco uogólnione równanie

dla rzeczywistego p , q i zespolonego g jest czasami nazywany uogólnionym kołem . To staje się powyższym równaniem dla okręgu z , ponieważ . Nie wszystkie uogólnione okręgi są w rzeczywistości okręgami: uogólniony okrąg jest albo (prawdziwym) okręgiem, albo linią .

Linie styczne

Linia styczna przechodząca przez punkt P na okręgu jest prostopadła do średnicy przechodzącej przez P . Jeśli P = ( x 1 , y 1 ) i okrąg ma środek ( a , b ) i promień r , to prosta styczna jest prostopadła do prostej od ( a , b ) do ( x 1 , y 1 ), więc ma postać ( x 1a ) x + ( y 1b ) y = c . Obliczenie w ( x 1 , y 1 ) wyznacza wartość c , a wynik jest taki , że równanie tangensa jest

lub

Jeśli y 1b , to nachylenie tej prostej wynosi

Można to również znaleźć za pomocą niejawnego różnicowania .

Gdy środek okręgu znajduje się w punkcie początkowym, równanie linii stycznej staje się

a jego nachylenie jest

Nieruchomości

Akord

  • Akordy znajdują się w równej odległości od środka koła wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą długość.
  • Symetralnej cięciwy przechodzi przez środek koła; równoważnymi stwierdzeniami wynikającymi z wyjątkowości dwusiecznej prostopadłej są:
    • Linia prostopadła ze środka koła przecina cięciwę na pół.
    • Odcinek linii przechodzący przez środek dzielący cięciwę na pół jest prostopadły do cięciwy.
  • Jeżeli kąt środkowy i kąt wpisany okręgu są oparte na tym samym cięciwie i po tej samej stronie cięciwy, to kąt środkowy jest dwukrotnie większy od kąta wpisanego.
  • Jeżeli dwa kąty są wpisane na tym samym cięciwie i po tej samej stronie cięciwy, to są one równe.
  • Jeżeli dwa kątowniki są wpisane na tym samym cięciwie i po przeciwnych stronach cięciwy, to są one uzupełniające .
  • Kąt wpisany z średnicą jest kątem prostym (patrz twierdzenie Thalesa ).
  • Średnica to najdłuższa cięciwa koła.
    • Spośród wszystkich okręgów o wspólnej cięciwie AB okrąg o minimalnym promieniu jest okręgiem o średnicy AB.
  • Jeżeli przecięcie dowolnych dwóch pasów dzieli jeden pas na długości a i b , a drugi na długości c i d , to ab = cd .
  • Jeżeli przecięcie dowolnych dwóch prostopadłych pasów dzieli jeden pas na długości a i b oraz drugi na długości c i d , to a 2 + b 2 + c 2 + d 2 równa się kwadratowi średnicy.
  • Suma kwadratów długości dowolnych dwóch pasów przecinających się pod kątem prostym w danym punkcie jest taka sama, jak dowolnych pozostałych dwóch prostopadłych pasów przecinających się w tym samym punkcie i jest wyrażona wzorem 8 r 2 − 4 p 2 , gdzie r jest promień okręgu, a p to odległość od punktu środkowego do punktu przecięcia.
  • Odległość od punktu na okręgu do danej cięciwy razy średnica okręgu równa się iloczynowi odległości od punktu do końców cięciwy.

Tangens

  • Linia narysowana prostopadle do promienia przechodzącego przez punkt końcowy promienia leżącego na okręgu jest styczną do okręgu.
  • Linia poprowadzona prostopadle do stycznej przez punkt styku z okręgiem przechodzi przez środek okręgu.
  • Dwie styczne można zawsze narysować do okręgu z dowolnego punktu poza okręgiem, a styczne te mają jednakową długość.
  • Jeżeli styczna w A i styczna w B przecinają się w zewnętrznym punkcie P , oznaczając środek jako O , kąty ∠ BOA i ∠ BPA są uzupełniające.
  • Jeśli AD jest styczna do okręgu w punkcie A i jeśli AQ jest cięciwą okręgu, to DAQ =1/2łuk ( AQ ) .

Twierdzenia

Twierdzenie secans-secans
  • Twierdzenie o akordach mówi, że jeśli dwa akordy CD i EB przecinają się w punkcie A , to AC × AD = AB × AE .
  • Jeśli dwie sieczne, AE i AD , również przecinają okrąg odpowiednio w punktach B i C , to AC × AD = AB × AE (wniosek z twierdzenia o cięciwach).
  • Styczną można uznać za graniczny przypadek siecznej, której końce są zbieżne. Jeżeli styczna z zewnętrznego punktu A styka się z okręgiem na F i siecznej od zewnętrznego punktu A styka się z okręgiem w C i D, odpowiednio, po czym AF 2 = AC × AD (stycznej sieczny twierdzenie).
  • Kąt pomiędzy cięciwą a styczną w jednym z jego punktów końcowych jest równy połowie kąta leżącego w środku okręgu, po przeciwnej stronie cięciwy (kąt stycznej cięciwy).
  • Jeżeli kąt leżący na środku cięciwy wynosi 90 ° , to = r 2 , gdzie jest długością cięciwy, a r jest promieniem okręgu.
  • Jeżeli dwie sieczne są wpisane w okrąg, jak pokazano po prawej stronie, to pomiar kąta A jest równy połowie różnicy wymiarów zamkniętych łuków ( i ). To znaczy , gdzie O jest środkiem okręgu (twierdzenie siecznej-siecznej).

Wpisane kąty

Twierdzenie o kącie wpisanym

Wpisany kąt (przykładami są kąty niebieski i zielony na rysunku) jest dokładnie połową odpowiedniego kąta środkowego (czerwony). W związku z tym wszystkie kąty wpisane pod tym samym łukiem (różowe) są równe. Kąty wpisane na łuku (brązowy) mają charakter uzupełniający. W szczególności, każdy kąt wpisany, który stanowi podstawę średnicy, jest kątem prostym (ponieważ kąt środkowy wynosi 180°).

Strzelec

Strzałka to segment pionowy.

Sagitta (znany również jako versine ) jest odcinek prostopadłą do cięciwy, pomiędzy środkowym tej cięciwy i łuku koła.

Mając długość y cięciwy i długość x strzałki, twierdzenie Pitagorasa może być użyte do obliczenia promienia unikalnego okręgu, który będzie pasował wokół dwóch linii:

Inny dowód tego wyniku, który opiera się tylko na dwóch podanych wyżej własnościach akordów, jest następujący. Mając cięciwę o długości yi strzałkę o długości x , ponieważ strzałka przecina środek cięciwy, wiemy, że jest to część średnicy okręgu. Ponieważ średnica jest dwukrotnie większa od promienia, „brakująca” część średnicy ma długość ( 2 rx ). Korzystając z faktu, że jedna część jednego akordu razy druga część jest równa temu samemu iloczynowi wzdłuż cięciwy przecinającej pierwszy cięciwę, stwierdzamy, że ( 2 rx ) x = ( y / 2) 2 . Rozwiązując r , znajdujemy żądany wynik.

Konstrukcje kompasowe i prostoliniowe

Istnieje wiele konstrukcji kompasowych i prostych, które tworzą koła.

Najprostsza i najbardziej podstawowa jest konstrukcja mająca środek okręgu i punkt na okręgu. Umieść nieruchomą nogę kompasu w punkcie środkowym, ruchomą nogę w punkcie na okręgu i obróć kompas.

Konstrukcja o podanej średnicy

  • Skonstruuj punkt środkowy M średnicy.
  • Skonstruuj okrąg o środku M przechodzący przez jeden z punktów końcowych średnicy (przechodzi również przez drugi punkt końcowy).
Skonstruuj okrąg przechodzący przez punkty A, B i C, znajdując prostopadłe dwusieczne (kolor czerwony) boków trójkąta (kolor niebieski). Do odnalezienia centrum potrzebne są tylko dwa z trzech dwusieci.

Budowa przez trzy niewspółliniowe punkty

  • Nazwij punkty P , Q i R ,
  • Skonstruuj prostopadłą dwusieczną odcinka PQ .
  • Skonstruuj prostopadłą dwusieczną segmentu PR .
  • Oznacz punkt przecięcia tych dwóch prostopadłych dwusiecznych M . (Spotykają się, ponieważ punkty nie są współliniowe ).
  • Skonstruuj okrąg o środku M przechodzący przez jeden z punktów P , Q lub R (przechodzi również przez pozostałe dwa punkty).

Krąg Apoloniusza

Definicja koła Apoloniusza: d 1 / d 2 stała

Apoloniusz z Pergi wykazał, że okrąg można również zdefiniować jako zbiór punktów na płaszczyźnie o stałym stosunku (innym niż 1) odległości do dwóch stałych ognisk A i B . (Zbiór punktów, w których odległości są równe, to prostopadła dwusieczna odcinka AB , czyli prosta.) Mówi się, że ten okrąg jest narysowany wokół dwóch punktów.

Dowód składa się z dwóch części. Najpierw trzeba udowodnić, że przy danych dwóch ogniskach A i B oraz stosunku odległości każdy punkt P spełniający stosunek odległości musi leżeć na określonym okręgu. Niech C będzie kolejnym punktem, również spełniającym stosunek i leżącym na odcinku AB . Zgodnie z twierdzeniem o dwusiecznej kąta odcinek PC podzieli kąt wewnętrzny APB , ponieważ odcinki są podobne:

Analogicznie, odcinek linii PD przechodzący przez pewien punkt D na rozciągniętym AB przecina odpowiedni kąt zewnętrzny BPQ, gdzie Q jest na rozciągniętym AP . Ponieważ kąty wewnętrzne i zewnętrzne sumują się do 180 stopni, kąt CPD wynosi dokładnie 90 stopni; czyli pod kątem prostym. Zbiór punktów P taki, że kąt CPD jest kątem prostym, tworzy okrąg, którego CD jest średnicą.

Po drugie, zobacz dowód, że każdy punkt na wskazanym okręgu spełnia zadany stosunek.

Stosunki krzyżowe

Ściśle powiązana właściwość okręgów dotyczy geometrii stosunku krzyżowego punktów na płaszczyźnie zespolonej. Jeżeli A , B , i C są jak wyżej, to okrąg Apoloniusza dla tych trzech punktów jest zbiorem punktów P, dla których bezwzględna wartość współczynnika krzyżowego jest równa jeden:

Inaczej mówiąc, P jest punktem na okręgu Apoloniusza wtedy i tylko wtedy, gdy stosunek krzyżowy [ A , B ; C , P ] znajduje się na okręgu jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej.

Uogólnione kręgi

Jeżeli C jest środkiem odcinka AB , to zbiór punktów P spełniających warunek Apoloniusza

 

nie jest kołem, ale linią.

Tak więc, jeśli A , B i C są dane różne punkty na płaszczyźnie, to miejsce punktów P spełniających powyższe równanie nazywamy „uogólnionym okręgiem”. Może to być prawdziwy okrąg lub linia. W tym sensie linia jest uogólnionym okręgiem o nieskończonym promieniu.

Inskrypcja lub opis innych postaci

W każdym trójkącie można wpisać unikalny okrąg zwany incircle , który jest styczny do każdego z trzech boków trójkąta.

O każdym trójkącie unikalny okrąg, zwany okręgiem opisanym, może być opisany w taki sposób, że przechodzi przez każdy z trzech wierzchołków trójkąta .

Styczna wielokąta , na przykład jako styczna czworoboku jest dowolny wypukła wielokąta , wewnątrz której można okrąg wpisany który jest styczny do każdego boku wielokąta. Każdy wielokąt foremny i każdy trójkąt jest wielokątem stycznym.

Cykliczny wielokąt jest każda wypukła wielokąt o których koło może być ograniczone , przez każde wierzchołka. Dobrze zbadanym przykładem jest cykliczny czworobok. Każdy wielokąt foremny i każdy trójkąt jest wielokątem cyklicznym. Wielokąt, który jest zarówno cykliczny, jak i styczny, nazywany jest wielokątem bicentrycznym .

Cykloidy jest krzywą, która wpisuje się w danym kole śledząc stałego punktu na mniejszym kole że rolki wewnątrz obiektu i stycznej do danego koła.

Przypadek graniczny innych liczb

Okrąg może być postrzegany jako graniczny przypadek każdej z innych figur:

  • Kartezjański owal jest zbiorem punktów, tak że ważona suma od odległości z jednego z jego punktów do dwóch punktów stałych (fokusa) jest stała. Elipsa to przypadek, w którym wagi są równe. Okrąg to elipsa z mimośrodem równym zero, co oznacza, że ​​oba ogniska pokrywają się ze sobą jako środek okręgu. Okrąg to także inny szczególny przypadek owalu kartezjańskiego, w którym jedna z wag wynosi zero.
  • Superelipsa ma równanie postaci pozytywnej a , b i n . Superokrąg ma b = a . Okrąg to szczególny przypadek superokręgu, w którym n = 2 .
  • Cassini owalny jest zbiorem punktów, tak że iloczyn odległości od jednego z jej punktów na dwóch stałych punktach, jest stała. Kiedy dwa stałe punkty się pokrywają, powstaje okrąg.
  • Krzywa stałą szerokość jest postać, której szerokość określona jako odległość prostopadła między dwoma różnymi liniami równoległymi każdy przecinające jego brzegu w jednym punkcie, jest taki sam bez względu na kierunek z tych dwóch równoległych linii. Kółko jest najprostszym przykładem tego typu figury.

W innych p -normach

Ilustracje okręgów jednostkowych (patrz także superelipsa ) w różnych p -normach (każdy wektor od początku do okręgu jednostkowego ma długość równą jeden, długość obliczana jest za pomocą wzoru długości odpowiedniego p ).

Definiując okrąg jako zbiór punktów o stałej odległości od punktu, różne kształty mogą być uważane za okręgi przy różnych definicjach odległości. W p -norm odległość jest określona przez

W geometrii euklidesowej p = 2, co daje znajomy

W geometrii taksówki , p = 1. Okręgi taksówek to kwadraty o bokach zorientowanych pod kątem 45° do osi współrzędnych. Podczas gdy każdy bok miałby długość według metryki euklidesowej , gdzie r jest promieniem okręgu, jego długość w geometrii taksówki wynosi 2 r . Zatem obwód koła wynosi 8 r . Zatem wartość geometrycznego analogu to wynosi 4 w tej geometrii. Wzór na okręg jednostkowy w geometrii taksówki jest we współrzędnych kartezjańskich i

we współrzędnych biegunowych.

Okrąg o promieniu 1 (przy użyciu tej odległości) jest sąsiedztwem von Neumanna jego środka.

Okrąg o promieniu r dla odległości Czebyszewa ( L metryka ) na płaszczyźnie jest również kwadratem o boku 2 r równoległym do osi współrzędnych, więc planarna odległość Czebyszewa może być postrzegana jako równoważna przez obrót i skalowanie do planarnej odległości taksówki. Jednak ta równoważność między metrykami L 1 i L nie dotyczy wyższych wymiarów.

Miejsce o stałej sumie

Rozważmy skończony zbiór punktów na płaszczyźnie. Umiejscowienie punktów, w których suma kwadratów odległości do danych punktów jest stała, jest okręgiem, którego środek znajduje się w centroidzie danych punktów. Uogólnienie na wyższe potęgi odległości uzyskuje się, jeśli pod punktami brane są wierzchołki wielokąta foremnego . Umiejscowienie punktów, w których suma -tej potęgi odległości do wierzchołków danego wielokąta foremnego o promieniu okręgu jest stała, jest kołem, jeśli

, gdzie =1,2,…, -1;

którego centrum jest środkiem ciężkości .

W przypadku trójkąta równobocznego loci stałych sum drugiej i czwartej potęgi są okręgami, natomiast dla kwadratu loci są okręgami stałych sum drugiej, czwartej i szóstej potęgi. Dla pięciokąta foremnego zostanie dodana stała suma ósmych potęg odległości i tak dalej.

Kwadratura koła

Kwadratura koła to zaproponowany przez starożytnych geometrów problem skonstruowania kwadratu o takiej samej powierzchni jak dany okrąg przy użyciu tylko skończonej liczby kroków za pomocą cyrkla i linijki .

W 1882 roku zadanie to okazało się niemożliwe w wyniku twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa , które dowodzi, że pi ( π ) jest liczbą przestępną , a nie algebraiczną liczbą niewymierną ; to znaczy nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach wymiernych . Pomimo niemożliwości temat ten nadal jest interesujący dla entuzjastów pseudomatematyki .

Znaczenie w sztuce i symbolice

Od najwcześniejszych znanych cywilizacji – takich jak Asyryjczycy i starożytni Egipcjanie, te w Dolinie Indusu i wzdłuż Żółtej Rzeki w Chinach oraz zachodnie cywilizacje starożytnej Grecji i Rzymu w starożytności – okrąg był używany bezpośrednio lub pośrednio w sztukach wizualnych, aby przekazać przesłanie artysty i wyrazić określone idee. Jednak różnice światopoglądowe (przekonania i kultura) miały duży wpływ na postrzeganie artystów. Podczas gdy niektórzy podkreślali obwód koła, aby zademonstrować ich demokratyczną manifestację, inni skupili się na jego środku, aby symbolizować koncepcję kosmicznej jedności. W doktrynach mistycznych okrąg symbolizuje głównie nieskończoną i cykliczną naturę istnienia, ale w tradycjach religijnych reprezentuje ciała niebieskie i boskie duchy. Okrąg oznacza wiele świętych i duchowych pojęć, w tym między innymi jedność, nieskończoność, całość, wszechświat, boskość, równowagę, stabilność i doskonałość. Takie koncepcje były przekazywane w kulturach na całym świecie za pomocą symboli, na przykład kompasu, aureoli, vesica piscis i jej pochodnych (ryba, oko, aureola, mandorla itp.), uroboros, koło Dharmy , tęcza, mandale, rozety i tak dalej.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki