Łuk kołowy - Circular arc

Sektor kołowy jest zacieniony na zielono. Jej zakrzywiona granica długości L jest łukiem kołowym.

Łuku koła jest łuk o kole pomiędzy parą różnych punktach. Jeżeli te dwa punkty nie są naprzeciw siebie, jedna z tych łukami, podczas gdy mniejszy łuk , to znajdują się naprzeciwko kąta w środku okręgu, który jest mniejszy niż $gatunku$ radianach (180 stopni), a drugi w łuk, większy łuk , założy kąt większy niż $π$ radianów.

Długość

Długość (a dokładniej długość łuku ) łuku koła o promieniu r, leżącego pod kątem θ (mierzonym w radianach) ze środkiem koła - czyli kątem środkowym - wynosi

{\ Displaystyle L = \ theta r.}

To dlatego, że

{\ Displaystyle {\ Frac {L} {\ mathrm {obwód}}} = {\ Frac {\ theta} {2 \ pi}}.}

Zastępowanie w obwodzie

{\ Displaystyle {\ Frac {L} {2 \ pi r}} = {\ Frac {\ theta} {2 \ pi}},}

i gdzie α jest tym samym kątem mierzonym w stopniach, ponieważ θ = α / 180 $π$ , długość łuku jest równa

{\ Displaystyle L = {\ Frac {\ alpha \ pi r} {180}}.}

Praktycznym sposobem określenia długości łuku na okręgu jest wykreślenie dwóch linii od końców łuku do środka okręgu, zmierzenie kąta, w którym dwie linie stykają się ze środkiem, a następnie obliczenie L, mnożąc przez krzyżyk zdanie :

miara kąta w stopniach / 360 ° = L / obwód.

Na przykład, jeśli miara kąta wynosi 60 stopni, a obwód 24 cale, to

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} {\ Frac {60} {360}} & = {\ Frac {L} {24}} \\ [6pt] 360L & = 1440 \\ [6pt] L & = 4. \ koniec {aligned}}}

Dzieje się tak, ponieważ obwód koła i stopnie koła, których jest zawsze 360, są wprost proporcjonalne.

Górną połowę koła można sparametryzować jako

{\ Displaystyle y = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}.}

Wtedy długość łuku od do wynosi ${\ displaystyle x = a}$ ${\ displaystyle x = b}$

{\ Displaystyle L = r {\ duży [} \ arcsin \ lewo ({\ Frac {x} {r}} \ prawo) {\ duży]} _ {a} ^ {b}.}

Obszar sektora

Obszar sektora utworzony przez łuk i środek koła (ograniczony łukiem i dwoma promieniami narysowanymi do jego punktów końcowych) jest

{\ Displaystyle A = {\ Frac {r ^ {2} \ theta} {2}}.}

Pole A ma taką samą proporcję do pola koła jak kąt θ do pełnego koła:

{\ Displaystyle {\ Frac {A} {\ pi r ^ {2}}} = {\ Frac {\ theta} {2 \ pi}}.}

Możemy anulować $π$ po obu stronach:

{\ Displaystyle {\ Frac {A} {r ^ {2}}} = {\ Frac {\ theta} {2}}.}

Mnożąc obie strony przez r ² , otrzymujemy wynik końcowy:

{\ Displaystyle A = {\ Frac {1} {2}} r ^ {2} \ theta.}

Korzystając z konwersji opisanej powyżej, stwierdzamy, że powierzchnia sektora dla kąta środkowego mierzona w stopniach wynosi

{\ Displaystyle A = {\ Frac {\ alfa} {360}} \ pi r ^ {2}.}

Obszar segmentu

Obszar kształtu ograniczony łukiem i linią prostą między jego dwoma punktami końcowymi to

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} r ^ {2} (\ theta - \ sin \ theta).}

Aby uzyskać pole segmentu łuku , musimy od tego pola odjąć powierzchnię trójkąta, określoną przez środek okręgu i dwa punkty końcowe łuku . Aby uzyskać szczegółowe informacje, patrz Segment kołowy . ${\ displaystyle A}$

Promień

Produkt z segmentów linii PA i PB równa produkt Cp segmenty linii i PD. Jeśli łuk ma szerokość AB i wysokość CP, to średnica okręgu

{\ Displaystyle CD = {\ Frac {AP \ cdot PB} {CP}} + CP}

Korzystając z twierdzenia o przecinających się akordach (znanego również jako twierdzenie o potędze punktu lub siecznej stycznej) można obliczyć promień r okręgu biorąc pod uwagę wysokość H i szerokość W łuku:

Rozważmy cięciwę z tymi samymi końcami co łuk. Jego prostopadła dwusieczna to kolejny akord, który jest średnicą koła. Długość pierwszego cięciwy wynosi W i jest podzielona dwusieczną na dwie równe połowy, każda o długości W / 2 . Całkowita długość średnicy wynosi 2 r i jest podzielona na dwie części przez pierwszą cięciwę. Długość jednej strony jest sagitta łuku, H , a druga część jest reszta średnicy, o długości 2 R - H . Zastosowanie twierdzenia o przecinających się akordach do tych dwóch akordów daje